張青山， 陳偉民， 董國祥

(上海船舶運輸科學研究所 航運技術(shù)與安全國家重點實驗室， 上海 200135)

0 引 言

尾流、射流和分離流等流體在流動過程中表現(xiàn)出的主要特征是具有不同空間尺度和時間尺度的相干結(jié)構(gòu)。流體在流動過程中多主體結(jié)構(gòu)的共同存在使得識別每個相干結(jié)構(gòu)的時空特征具有一定的難度，這種識別在研究傳熱、傳質(zhì)和流動噪聲等物理過程方面具有重要作用。近年來，大渦模擬(Large Eddy Simulation, LES)和直接數(shù)值模擬(Direct Numerical Simulation, DNS)的廣泛應用及時間分辨粒子圖像測速儀(Time Resolved-Particle Image Velocimetry, TR-PIV)的迅速發(fā)展使得以合理的空間分辨率和時間分辨率來精確捕獲瞬時變化的流量成為可能，進而使得從大量的數(shù)值和試驗數(shù)據(jù)中提取顯著的相干結(jié)構(gòu)更加顯著、精確。

SIROVICH[1]和LUMLEY[2]的研究證實本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition, POD)在近幾十年被廣泛用于從流場中提取并確定相干結(jié)構(gòu)。LUMLEY[2]、NOACK等[3]和LIU等[4]的研究結(jié)果表明，POD算法通過對采用快照序列計算得到的時間和空間相關(guān)矩陣進行對角化，能提取最有能量的結(jié)構(gòu)，按照其自身的能量和相關(guān)結(jié)構(gòu)的層次進行排序。MEYER等[5]使用立體PIV獲得的橫流中的湍流和射流的瞬時速度場進行POD分析，結(jié)果表明尾渦是主要的動力學結(jié)構(gòu)，與噴流核心的強相互作用有關(guān)，而噴流剪切層旋渦是局部的，且不占優(yōu)勢。PROTHIN等[6]根據(jù)基于時間分辨立體粒子圖像測速儀(TR-SPIV)獲得的NACA0015翼型周圍的流動，采用基于POD系數(shù)的相位平均來強調(diào)尾流的不穩(wěn)定特性。DERI等[7]通過層析PIV測量得到的流場的三維POD重建，量化圍繞薄平板埋藏在高雷諾數(shù)湍流中的三維相干渦旋結(jié)構(gòu)。文獻[8]～文獻[11]基于PIV測量得到的平板繞流的二維流場，利用POD分解技術(shù)提取平板兩側(cè)及下游存在的大尺度相干結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)模態(tài)系數(shù)之間有一定的聯(lián)系，可利用模型系數(shù)對流場進行相位平均分析。這些研究雖然能實現(xiàn)POD算法的功能，但需針對不同的數(shù)據(jù)結(jié)果作相應的調(diào)整，對于實際工程應用而言操作繁瑣，不能保證便捷、迅速地實現(xiàn)。

本文基于POD基礎(chǔ)理論開發(fā)POD的應用程序，設(shè)計輸入模塊、POD核心模塊和輸出模塊，并采用C++語言編制核心代碼；此外，為方便用戶使用，采用QT設(shè)計用戶界面，對功能模塊和用戶界面進行打包并形成應用程序包。

1 本征正交分解技術(shù)

POD作為一種處理大批量數(shù)據(jù)的方法，廣泛應用于天氣預報、圖像識別、信號分析、數(shù)據(jù)壓縮、隨機過程和海洋學等領(lǐng)域中。POD分解可從系統(tǒng)已知的試驗解或數(shù)值解中得到一系列基函數(shù)(這些基函數(shù)常被稱作“模態(tài)”)，并保證這些基函數(shù)在最小二乘意義下是最優(yōu)的正交基函數(shù)。在湍流速度場研究中，POD分解能將相干結(jié)構(gòu)及其包含的能量對應起來，從而使POD能用來識別湍流流場中各種能級的結(jié)構(gòu)。LUMLEY[12-14]將POD引入到湍流研究領(lǐng)域中，通過對空間速度相關(guān)函數(shù)進行正交分解來識別流場中的相干結(jié)構(gòu)。SIROVICH[1]通過對HOLMES等[15]提出的直接POD方法進行改進，提出快照方法(Snapshot POD)。該方法利用時空轉(zhuǎn)換原理解決空間點數(shù)太多造成空間矩陣龐大而難以直接用POD求解的問題，使采用POD方法處理復雜流場成為可能。

POD的基本數(shù)學思想為：假設(shè)空間上有m個離散采樣點x1,x2,…，xm，單次采樣即可同時得到這m個離散點的值u(x1),u(x2),…，u(xm)；共采集N次，得到空間場(u1(x1),u1(x2),…，u1(xm))，(u2(x1),u2(x2),…，u2(xm)),…, (uN(x1),uN(x2),…，uN(xm))，以矩陣的形式表示為

(1)

具體相關(guān)矩陣為

(2)

對時間相關(guān)矩陣的特征值和特征向量進行求解，有

CA=λA

(3)

式(3)中：特征值λ為非負實數(shù)；A為對應的特征向量。由此可構(gòu)造特征函數(shù)

Φ=U·A

(4)

(5)

2 應用程序包的構(gòu)成

POD數(shù)據(jù)后處理應用程序包由數(shù)據(jù)輸入模塊、POD數(shù)據(jù)處理核心模塊和數(shù)據(jù)輸出模塊等3個功能模塊組成(見圖1)。

圖1 POD數(shù)據(jù)后處理程序結(jié)構(gòu)框圖

1) 數(shù)據(jù)輸入模塊的主要功能是從外部磁盤中讀取POD數(shù)據(jù)后處理所需的原始數(shù)據(jù)，包括文件列表管理(獲取指定目錄及子目錄中的相關(guān)信息)、文件格式篩選(根據(jù)用戶指定的格式提取相應格式的文件)、文件結(jié)構(gòu)解析及讀取(解析單個文件中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)并讀取數(shù)據(jù))和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換(將從文件中讀取的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為POD數(shù)據(jù)處理核心模塊所需的類型)等4個子模塊。

2) POD數(shù)據(jù)處理核心模塊的主要功能是對數(shù)據(jù)進行POD分析，包括POD分解(進行POD分解計算，分別計算特征值、特征模態(tài)和模態(tài)系數(shù))、POD重構(gòu)(基于POD分解得到的特征值、模態(tài)和模態(tài)系數(shù)對流場進行重構(gòu))和相位平均(基于重構(gòu)的流場進行相位平均，同時計算流場瞬態(tài)相位角和相位流場信息等)等3個子模塊[4, 8, 10-11]。

3) 數(shù)據(jù)輸出模塊的主要功能是將POD分析得到的結(jié)構(gòu)導入/保存到外部磁盤中，包含結(jié)果列表管理(根據(jù)用戶選擇的POD功能模塊生成相應的文件列表)、輸出格式管理(根據(jù)用戶指定的格式篩選相應的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方式)、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換(根據(jù)用戶指定的格式對POD分析結(jié)果進行轉(zhuǎn)換)和輸出文件解析及保存(解析用戶指定的格式，同時將轉(zhuǎn)換后得到的POD分析結(jié)果保存到外部硬盤中)等4個子模塊。

3個模塊的相關(guān)代碼都采用C++語言編制，模塊之間的調(diào)用和相關(guān)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換等都在程序內(nèi)部實現(xiàn)，無需額外生成外部文件進行頻繁的輸入/輸出操作。

為方便使用，采用QT語言設(shè)計用戶交界面，避免用戶誤輸出或誤操作導致程序崩潰，基本的界面設(shè)計見圖2。同時，為使用戶熟悉程序的使用，在界面中添加提示子模塊，在輸入?yún)?shù)時提示用戶，確保輸入的參數(shù)正確和程序運行正常。此外，設(shè)計多線程管理功能，保證程序運行時主界面不卡頓。

圖2 POD數(shù)據(jù)后處理主體界面

3 POD數(shù)據(jù)后處理程序的驗證

為驗證POD數(shù)據(jù)后處理程序的可靠性，以經(jīng)典的自由來流圓柱繞流為例，將POD數(shù)據(jù)后處理程序應用到8 000幅PIV測量得到的瞬態(tài)速度場中。

3.1 試驗布置

PIV試驗在一個低速循環(huán)水槽[17]中進行，試驗段截面尺寸為100 mm×100 mm。直徑D=8 mm的圓柱體直接橫跨在試驗段中，安裝在半深的高度上。圖3為PIV測試區(qū)域基本示意。自由來流速度為1 m/s。圓柱體的下游采用激光片光源照亮，采用高速相機拍攝，拍攝區(qū)域的大小為10D×8D。經(jīng)過PIV互相關(guān)算法計算之后即可得到速度場。

3.2 POD流場分解

在界面中設(shè)定好原始數(shù)據(jù)所在目錄、原始場數(shù)量、原始場類型、輸入格式和輸出格式等參數(shù)之后，開始進行POD分解計算，得到特征值、特征模態(tài)和模態(tài)系數(shù)等參數(shù)。

圖4為前100階POD模態(tài)對應的特征值，這些特征值代表對應模態(tài)所包含的能量。從圖4中可看出，隨著模態(tài)階數(shù)的增加，特征值逐漸減小。前4階POD模態(tài)的含能較高，因此提取前4階POD模態(tài)并繪制速度云圖(見圖5)。從圖5中可看出，前2階POD模態(tài)為卡門渦街脫落，第3階和第4階POD模態(tài)與卡門渦街脫落有關(guān)。由此可知：特征值較大的模態(tài)對應的模態(tài)結(jié)構(gòu)的空間尺度較大；特征值較小的模態(tài)對應的模態(tài)結(jié)構(gòu)的空間尺度較小。因此，只需關(guān)注大尺度的流動結(jié)構(gòu)即可。

圖3 PIV測試區(qū)域基本示意

b) 第2階模態(tài)

c) 第3階模態(tài)

d) 第4階模態(tài)

圖5從圓柱尾流中提取的前4階POD模態(tài)

圖6為前4階POD模態(tài)對應的模態(tài)系數(shù)。從圖6中可看出：前2階模態(tài)系數(shù)呈現(xiàn)周期性變化規(guī)律，同時在時間上有一定的錯位，看似存在一定的聯(lián)系；后2階模態(tài)系數(shù)同樣有一定的周期性，這是因為其模態(tài)與卡門渦街有一定的相似之處，但周期性相對前2階模態(tài)系數(shù)較差。

a) 第1階模態(tài)系數(shù)

b) 第2階模態(tài)系數(shù)

c) 第3階模態(tài)系數(shù)

3.3 POD流場重構(gòu)

由POD分解可知，圓柱尾流中包含復雜的流動，既有大尺度的卡門渦街結(jié)構(gòu)，又有大量的小渦和散渦。為更加清晰地識別流場中的主導結(jié)構(gòu)，基于POD數(shù)據(jù)后處理軟件對流場進行重構(gòu)，重構(gòu)結(jié)果見圖7。

a) 原始速度場U

c) 重構(gòu)速度場U

d) 重構(gòu)速度場V

通過比較發(fā)現(xiàn)：POD重構(gòu)保留了原始速度場的整體特性，圓柱繞流下游的卡門渦街脫落現(xiàn)象基本上與原始速度場一致；同時，重構(gòu)速度場剔除了尺度較小的旋渦結(jié)構(gòu)，使得大尺度相關(guān)結(jié)構(gòu)的空間結(jié)構(gòu)更加光滑、突顯。

3.4 相位平均

由上述分析可知，圓柱繞流尾流中卡門渦街呈現(xiàn)出周期性脫落的特征。由此確定，POD模態(tài)系數(shù)與旋渦脫落過程存在著一定的聯(lián)系。OUDHEUSDEN等[18]在研究自由來流情況下方柱分離再附流動的流動特性時發(fā)現(xiàn)POD分解方法中前2階模態(tài)系數(shù)與旋渦脫落過程之間存在特殊的關(guān)系，同時提出一種根據(jù)前2階模態(tài)的系數(shù)確定流場中相關(guān)結(jié)構(gòu)不同時刻相位的方法。因此，在進行相位分析是需有2個模態(tài)的系數(shù)，從而確定旋渦脫落過程中各時刻的相位角。

圖8為卡門渦街脫落對應模態(tài)系數(shù)的相關(guān)分布。從圖8中可看出，卡門渦街模態(tài)系數(shù)呈圓形分布。設(shè)定(0,0)為原點，即可將整個圖像分成N等分的扇形，此時有N個相位角。本文選取8個相位角，并對流場進行相位平均。

圖9為相位平均過程中參與每個相位角平均的流場個數(shù)。從圖9中可看出，在8 000個瞬態(tài)場中，參與這8個相位角平均的流場的數(shù)量基本接近，為80～100個。

圖8 卡門渦街脫落對應模態(tài)系數(shù)的相關(guān)分布

圖9 相位平均過程中參與每個相位角平均的流場個數(shù)

圖10為重構(gòu)流場的法向速度場，給出了一個卡門渦街脫落周期內(nèi)相同時間間隔的8個相位角的速度場，同時移除了平均場。從圖10中可清晰地看到圓柱繞流尾流中卡門渦街交替脫落的特性，在向下游輸運的過程中先逐漸增長，然后逐漸耗散。

a) T/8

b) 2T/8

c) 3T/8

d) 4T/8

e) 5T/8

f) 6T/8

g) 7T/8

h) 8T/8

圖10重構(gòu)流場的法向速度場(移除時均平均速度場)

4 結(jié) 語

本文基于本征正交分解理論編制POD數(shù)據(jù)后處理程序，同時以經(jīng)典的圓柱繞流為例驗證POD數(shù)據(jù)后處理程序的各項功能，得到以下結(jié)論：

1) POD數(shù)據(jù)后處理程序運行穩(wěn)定，在POD分析計算過程中不卡頓；

2) 程序的各子模塊設(shè)定基本合理，能獨立完成相應的功能，如輸入模塊只負責原始數(shù)據(jù)載入，POD核心模塊負責POD分解、POD重構(gòu)和相位平均，輸出模塊負責將POD分析結(jié)構(gòu)導出到外部硬盤中；

3) POD數(shù)據(jù)后處理程序能很好地實現(xiàn)POD數(shù)據(jù)分解、POD數(shù)據(jù)重構(gòu)和相位平均等功能；

4) 基于POD數(shù)據(jù)后處理程序，可獲取更加豐富的流場信息，是研究流場的非定常特征的新方法。