楊 勇 孫 群 沈曄湖 蔡曉童 李 華 張子鉞

(1.蘇州科技大學(xué)機械工程學(xué)院， 蘇州 215009； 2.蘇州科技大學(xué)蘇州市精密與高效加工技術(shù)重點實驗室， 蘇州 215009；3.上海電機學(xué)院機械工程學(xué)院， 上海 201306)

0 引言

隨著市場發(fā)展及汽車、船舶、軍工等行業(yè)需求的不斷提高，其對現(xiàn)代數(shù)控機床性能提出了更高的要求[1-3]，而通過其結(jié)構(gòu)部件的優(yōu)化設(shè)計來提高機床性能一直是相關(guān)研究的熱點[4-6]。

根據(jù)機床結(jié)構(gòu)部件優(yōu)化設(shè)計方法中優(yōu)化目標(biāo)評價尺度的不同，可以將機床結(jié)構(gòu)部件優(yōu)化設(shè)計方法大致分為兩類：第1類是以結(jié)構(gòu)件自身性能作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化評價指標(biāo)，采用元結(jié)構(gòu)法[7-8]、靈敏度分析法[9]、仿生法[10-11]、拓撲法[12-13]等，面向結(jié)構(gòu)件自身動靜態(tài)性能進行結(jié)構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計。第2類是以機床整機動靜態(tài)性能等作為評價指標(biāo)，面向整機性能進行結(jié)構(gòu)部件的優(yōu)化設(shè)計[5,14-16]。

在第1類研究中，由于其僅針對單個機床結(jié)構(gòu)件自身動靜態(tài)性能且在非實際裝配條件下對結(jié)構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計，忽略了裝配邊界約束影響，邊界條件設(shè)置不準(zhǔn)確，無法判定結(jié)構(gòu)件在裝配約束工況下的結(jié)構(gòu)性能；此外，數(shù)控機床整機包含有多個結(jié)構(gòu)部件，無法通過單個結(jié)構(gòu)部件性能優(yōu)化精確反映整機性能；且優(yōu)化結(jié)構(gòu)對象的選取存在一定的盲目性，無法判定該結(jié)構(gòu)件是否屬于整機薄弱環(huán)節(jié)，優(yōu)化效率偏低。

在第2類研究中，部分研究通過對整機的動靜態(tài)性能分析，找出其薄弱結(jié)構(gòu)部件，并通過對該薄弱結(jié)構(gòu)件的優(yōu)化設(shè)計實現(xiàn)整機性能的改善。這種基于整機分析對結(jié)構(gòu)件指導(dǎo)優(yōu)化的思路可以有效提高優(yōu)化效率。但因其無法構(gòu)建裝配工況下薄弱結(jié)構(gòu)件參數(shù)與整機性能之間的映射關(guān)系，其在整機分析確定薄弱結(jié)構(gòu)件的基礎(chǔ)上，仍然只能選取薄弱結(jié)構(gòu)件自身動靜態(tài)性能作為結(jié)構(gòu)件優(yōu)化評價指標(biāo)，對薄弱結(jié)構(gòu)件進行類似于第1類方法的孤立式結(jié)構(gòu)優(yōu)化，依然無法真正實現(xiàn)面向整機性能的薄弱件結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

此外，部分商用軟件[17]可以實現(xiàn)整機裝配約束工況下對特定部件的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，但其優(yōu)化評價指標(biāo)選擇多受限于軟件本身，且隨著產(chǎn)品復(fù)雜程度的不斷增加，整個優(yōu)化過程十分耗時甚至無法實現(xiàn)，其普適性受到一定制約。

針對上述問題，本文提出一種基于結(jié)構(gòu)-整機性能映射元模型的機床薄弱件結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。該方法首先通過機床整機性能分析確定薄弱結(jié)構(gòu)部件。其次，提出基于擴展常數(shù)自組織選取橢圓基函數(shù)(Elliptical basis function，EBF)的結(jié)構(gòu)-動靜態(tài)性能映射元模型建模方法，對EBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行改進，提出基于擴展常數(shù)自組織選取的EBF建模方法，通過擴展系數(shù)的自組織選取確定不同橢圓基函數(shù)合理的參與度與重疊性，避免所有橢圓基函數(shù)圖形偏平或偏尖而影響EBF建模精度；基于改進后的橢圓基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建薄弱件結(jié)構(gòu)-整機動靜態(tài)性能映射元模型。通過實例樣本數(shù)據(jù)驗證該映射元模型有效性和可靠性。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)上述薄弱件結(jié)構(gòu)-整機動靜態(tài)性能映射關(guān)系，以薄弱結(jié)構(gòu)部件為優(yōu)化對象，以整機動靜態(tài)性能為評價指標(biāo)，以期實現(xiàn)面向機床整機動靜態(tài)性能的薄弱結(jié)構(gòu)部件結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

1 基于動靜態(tài)特性分析的機床薄弱結(jié)構(gòu)件確定

通過有限元方法構(gòu)建機床結(jié)構(gòu)力學(xué)分析模型，并對其進行動靜態(tài)特性分析，確定薄弱結(jié)構(gòu)部件，以進一步實現(xiàn)基于結(jié)構(gòu)-整機性能映射元模型的機床薄弱件結(jié)構(gòu)優(yōu)化，并且將此分析結(jié)果作為約束條件，確保優(yōu)化后機床的動靜態(tài)性能優(yōu)于優(yōu)化前。

以某型號機床為例，基于商用有限元軟件構(gòu)建該機床有限元模型，床身、主軸箱、床鞍、刀架等部件采用三維實體單元進行建模，采用灰鑄鐵材料，彈性模量為118 GPa，泊松比為0.28，密度為7 200 kg/m3，其他構(gòu)件為結(jié)構(gòu)鋼材料，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7 800 kg/m3。由于機床結(jié)構(gòu)復(fù)雜，存在如小倒角、小圓角、螺紋孔、高度較小的階梯結(jié)構(gòu)等細微結(jié)構(gòu)，為便于網(wǎng)絡(luò)劃分，可以將其去除。主軸箱和床身采用固定連接，床鞍與床身之間采用導(dǎo)軌滑塊進行連接，通過查詢產(chǎn)品零件技術(shù)參數(shù)手冊，可得其導(dǎo)軌滑塊切向、垂向剛度分別為 5.66×109、3.76×109N/m，刀架與床身之間采用導(dǎo)軌滑塊進行連接，其導(dǎo)軌滑塊切向、垂向剛度分別為1.73×108、1.38×108N/m，實際建模中采用切向彈簧和垂向彈簧進行模擬，該機床結(jié)構(gòu)整體有限元模型見圖1。

圖1 某型號機床結(jié)構(gòu)整體有限元模型Fig.1 Integral finite element model of one machine tool structure

采用指數(shù)模型對切削力進行推導(dǎo)計算，其模型為[18]

(1)

式中Ff——牽引切削力

Fp——背向切削力

Fc——主切削力ap——切削深度

vc——切削速度f——進給速度

CFc、CFp、CFf——切削系數(shù)，根據(jù)加工條件決定

xF、yF、nF——各因素對切削力的影響程度指數(shù)

KFc、KFp、KFf——不同加工條件對各切削分力的影響修正系數(shù)

一般在粗加工時切削力大，故按粗加工情況進行切削力計算，根據(jù)該機床產(chǎn)品的切削指導(dǎo)手冊，將執(zhí)行粗加工的參數(shù)代入式(1)進行計算，其中所選的切削用量參數(shù)為ap=3 mm、f=0.3 mm/r、vc=325 m/min，最終得Fc=1 427.5 N、Fp=1 063.4 N、Ff=1 159.7 N，在進行靜態(tài)特性分析時，將該載荷施加在刀具中心點位置處。

圖2 靜力變形云圖(刀具中心點變形量為21.2 μm)Fig.2 Cloud chart of static deformation(tool center deformation was 21.2 μm)

對其進行動靜態(tài)特性分析，計算得到靜載變形云圖如圖2所示，其中刀具中心點變形量為21.2 μm，通過模態(tài)分析計算得到機床的前3階固有頻率及振型描述見表1，其中第1階振型云圖見圖3。從動態(tài)特性的振型描述及振型云圖可以看出，低階振型多表現(xiàn)為床鞍及其所承載托架跟隨其產(chǎn)生的運動，由此可確定床鞍即為對低階振型影響程度大的結(jié)構(gòu)件。

表1 前3階固有頻率及其振型描述Tab.1 The first three orders natural frequencies and their vibration modes description

圖3 第1階振型云圖(36.62 Hz)Fig.3 The first order vibration mode (36.62 Hz)

2 基于擴展常數(shù)自組織選取EBF的動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型建模

2.1 基于擴展常數(shù)自組織選取的改進EBF建模

(2)

將λ寫作λ=(λ1,λ2,…,λN+1)，gj(‖x-xj‖m)為橢圓基函數(shù)，可寫作gj(x)，‖x-xj‖m為馬氏距離。

對于N個輸入輸出樣本(xi，y(xi))(i=1，2，…，N)，式(2)應(yīng)滿足

(3)

將式(3)寫作矩陣形式

Y=GλT+λN+1E

(4)

其中

Y=[y(x1) …y(xi) …y(xN)]T
gj(xi)=gj(‖xi-xj‖m)

式中E——單位向量

因待求加權(quán)系數(shù)向量λ包含N+1個變量，因此增加約束方程，令

1.2.3 血壓測量:采取經(jīng)校正的臺式血壓計,在受試者靜坐5~10分鐘后采取右臂測量2次,每次間隔至少1分鐘,取3次均值為其血壓值。

(5)

若在橢圓基函數(shù)gi(xj)=gi(‖xj-xi‖m)確定的情況下，聯(lián)立式(4)、(5)便可以求解得到線性加權(quán)系數(shù)向量λ=(λ1,λ2,…,λN+1)。因Multiquadric函數(shù)具有全局性估計的特點，求解時選取其作為橢圓基函數(shù)，將其寫為

(6)

式中S——協(xié)方差矩陣

Si——S的對角線元素

σj——擴展常數(shù)

從式(6)可以看出，橢圓基函數(shù)不僅含變量x且包含擴展常數(shù)σj，因此在聯(lián)立式(4)、(5)求解線性加權(quán)系數(shù)向量λ時必須確定擴展常數(shù)σj，擴展常數(shù)σj表征了橢圓基函數(shù)的寬度，擴展常數(shù)σj越小，橢圓基函數(shù)的寬度越小，橢圓基函數(shù)的選擇性越強、參與度越大，從橢圓基函數(shù)圖形來看其就越尖；反之?dāng)U展常數(shù)σj越大，基函數(shù)寬度越大，從而其選擇性降低，不同基函數(shù)之間的重疊性較大，從橢圓基函數(shù)圖形來看其就越平坦[19-20]。因此，需要選取合適的擴展系數(shù)以確定不同橢圓基函數(shù)合理的參與度與重疊性，避免所有橢圓基函數(shù)圖形偏平或偏尖。而通常情況下，為便于求解，常設(shè)定所有的擴展常數(shù)σj相等且根據(jù)經(jīng)驗進行取值，勢必會造成不合理的橢圓基函數(shù)的參與度與重疊性，從而影響EBF建模的精度。因此，提出基于樣本點數(shù)據(jù)的擴展常數(shù)自組織選取確定方法，通過樣本點數(shù)據(jù)的訓(xùn)練學(xué)習(xí)，依賴于樣本數(shù)據(jù)自身特性來選取確定擴展常數(shù)σj。

定義誤差

ek=|y(xk)-(xk)| (k=1，2，…,N)

(7)

將式(2)與式(6)代入式(7)，可得

(8)

(9)

將N個樣本點數(shù)據(jù)(xk，y(xk))代入式(9)，通過樣本點數(shù)據(jù)的訓(xùn)練學(xué)習(xí)，采用多目標(biāo)優(yōu)化算法可以求解得到當(dāng)目標(biāo)函數(shù)式(9)取得最小值時的i，從而最終實現(xiàn)了基于樣本點數(shù)據(jù)的擴展常數(shù)自組織選取，根據(jù)該求解結(jié)果可定義擴展系數(shù)向量=(1，2，…,i)，并將其代入式(6)，可以得到基于擴展常數(shù)自組織選取的橢圓基函數(shù)，在此基礎(chǔ)上進一步將式(6)代入式(2)便可以得到基于擴展常數(shù)自組織選取的改進EBF模型。

2.2 基于改進EBF的動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型構(gòu)建

基于上述改進EBF模型，構(gòu)建結(jié)構(gòu)-整機性能映射關(guān)系元模型，將改進后EBF模型的輸入向量x=(x(1),x(2),…，x(i)，…，x(n))T對應(yīng)于結(jié)構(gòu)件的一系列結(jié)構(gòu)參數(shù)變量，其中x(1)為結(jié)構(gòu)件的某一結(jié)構(gòu)參數(shù)變量；將改進后EBF模型的輸出向量y(x)=(y(1),y(2),…，y(i)，…，y(P))T對應(yīng)于一系列動靜態(tài)性能評價指標(biāo)，例如選取低階固有頻率作為動態(tài)性能評價指標(biāo)、選取刀具中心點最大變形量作為靜態(tài)變形評價指標(biāo)等，其中P為動靜態(tài)性能評價指標(biāo)個數(shù)。借助基于有限元構(gòu)建的機床力學(xué)分析模型，求解得到一系列結(jié)構(gòu)-整機性能樣本數(shù)據(jù)點(xi,y(xi))，即

y(xi)=F(xi) (i=1，2，…，N)

(10)

式中F(·)——基于機床有限元模型的動靜態(tài)特性分析求解過程

將上述得到的結(jié)構(gòu)-整體性能樣本數(shù)據(jù)點(xi,y(xi))代入式(4)～(6)、(9)，依照前述基于擴展常數(shù)自組織選取的改進EBF建模方法，可優(yōu)化求解得到自組織選取擴展系數(shù)及最終的基于擴展常數(shù)自組織選取的改進EBF模型，該模型的輸入為結(jié)構(gòu)參數(shù)變量，輸出為整機性能評價指標(biāo)，從而構(gòu)建基于改進EBF的結(jié)構(gòu)-整體性能映射關(guān)系。

綜上所述，并結(jié)合2.1節(jié)內(nèi)容，基于改進EBF的動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型建模過程如圖4所示，從圖4可以看出，在結(jié)構(gòu)-性能元模型建模的基礎(chǔ)上，通過定義各個結(jié)構(gòu)設(shè)計變量的范圍、動靜態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)、約束條件等，基于多目標(biāo)優(yōu)化算法可以實現(xiàn)基于動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型的機床薄弱件結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

圖4 動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型建模及薄弱件結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化過程Fig.4 Mapping meta modeling between dynamic and static performance and structure and also structural parameter optimization

從圖4可以看出，動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型建模及結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化過程，需要定義結(jié)構(gòu)設(shè)計變量、元模型誤差檢測方法、樣本DOE實驗設(shè)計方法等?？梢酝ㄟ^整機分析選取其薄弱結(jié)構(gòu)部件作為設(shè)計對象；常用的元模型誤差評價方法包括顯著性檢驗、復(fù)相關(guān)系數(shù)法、均方誤差法(RMSE)等[21-23]；實驗設(shè)計方法包括全因子方法、中心復(fù)合法、超拉丁方方法等[21-23]。此外可以看出，當(dāng)通過樣本檢測后結(jié)構(gòu)性能映射元模型誤差較大不滿足要求時，則需要適當(dāng)增加樣本采集點重新構(gòu)建映射關(guān)系模型，從而一定程度上實現(xiàn)了以盡可能少的樣本點設(shè)計來建立滿足誤差要求的結(jié)構(gòu)-性能映射元模型的目的，這對于求解樣本點實際值時需要耗費計算成本較大的情況是非常有利的。此外，不同于以往優(yōu)化過程中設(shè)計響應(yīng)目標(biāo)函數(shù)只能選擇商用軟件所設(shè)置提供的目標(biāo)函數(shù)類型，基于結(jié)構(gòu)-整機性能映射元模型的動靜態(tài)性能優(yōu)化過程中設(shè)計響應(yīng)目標(biāo)函數(shù)選取可以不受軟件限制，亦可以選取其他動靜態(tài)性能評價指標(biāo)如動態(tài)響應(yīng)中的結(jié)構(gòu)最大振幅、振動衰減時間等來構(gòu)建該評價指標(biāo)與結(jié)構(gòu)之間映射關(guān)系元模型，從而進一步實現(xiàn)結(jié)構(gòu)性能優(yōu)化。

3 基于薄弱件結(jié)構(gòu)-整機性能映射元模型的薄弱件結(jié)構(gòu)優(yōu)化

根據(jù)第2節(jié)中基于改進EBF的動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型建模方法，構(gòu)建所研究機床實例的薄弱件結(jié)構(gòu)-整機動靜態(tài)性能元模型，并通過實例樣本數(shù)據(jù)驗證所建立映射元模型的有效性和可靠性。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)上述薄弱件結(jié)構(gòu)-整機動靜態(tài)性能映射關(guān)系，實現(xiàn)面向機床整機動靜態(tài)性能的薄弱結(jié)構(gòu)部件結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

通過前述分析得到所研究實例機床薄弱件為床鞍，選取其結(jié)構(gòu)參數(shù)作為設(shè)計變量，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點選取其兩側(cè)板厚度為變量x1、前側(cè)板厚度為變量x2、底板厚度為變量x3、背部肋板厚度為變量x4、底部肋板為變量x5。兩側(cè)板、前側(cè)板、底板、背部肋板、底部肋板具體位置如圖5所示。所對應(yīng)的設(shè)計變量變化范圍如表2所示；選取一階固有頻率作為動態(tài)性能評價指標(biāo)；選取刀具中心點變形量作為靜態(tài)性評價能指標(biāo)。根據(jù)前述改進EBF的結(jié)構(gòu)-整機性能元模型建模方法，考慮裝配邊界約束影響，在實際裝配條件下以整機動靜態(tài)性能為評價指標(biāo)，以薄弱結(jié)構(gòu)部件為優(yōu)化對象，基于多目標(biāo)優(yōu)化算法，對所研究機床實例的床鞍結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化。

圖5 機床薄弱結(jié)構(gòu)部件實例Fig.5 Design variables for weak structural components

初始值下限上限兩側(cè)板厚度x1403050前側(cè)板厚度x2403050底板厚度x3322242背部肋板厚度x4201030底部肋板厚度x5201030

以優(yōu)化前機床的動靜態(tài)性能作為約束條件，在保證床鞍質(zhì)量不多于優(yōu)化前質(zhì)量以及刀具中心點位移不大于優(yōu)化前刀具中心點變形量的情況下，盡量使其一階固有頻率最大。定義優(yōu)化問題為

(11)

式中M0——床鞍初始質(zhì)量，為0.998 t

x1x、x2x、…、x5x——設(shè)計變量的下限值

x1s、x2s、…、x5s——設(shè)計變量的上限值

δ0——初始變形量

f0——初始頻率

基于優(yōu)化拉丁方設(shè)計方法進行試驗設(shè)計，根據(jù)

表3 結(jié)構(gòu)設(shè)計變量及動靜態(tài)性能指標(biāo)部分樣本數(shù)據(jù)Tab.3 Structural design variables and part of data samples of dynamic and static performance indicators

得到的EBF動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型協(xié)方差矩陣S為

(12)

借助機床有限元模型求解得到的檢驗用樣本數(shù)據(jù)(表5)對該動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型進行檢驗，從表5可以看出，通過結(jié)構(gòu)映射元模型得到的計算結(jié)果與實際值誤差較小，采用復(fù)相關(guān)系數(shù)評價動靜態(tài)結(jié)構(gòu)映射元模型計算結(jié)果與真實值之間誤差，通過計算可以得到其復(fù)相關(guān)系數(shù)均在0.995以上，說明所建立映射元模型的準(zhǔn)確性和有效性，從而驗證了該結(jié)構(gòu)-整機性能映射元模型構(gòu)建方法是正確的。

根據(jù)上述動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型數(shù)學(xué)映射關(guān)系，基于多目標(biāo)優(yōu)化算法，對上述優(yōu)化問題進行求解。圖6為基于動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型得到的x1-x2-y1和x1-x2-y2關(guān)系圖；優(yōu)化前后設(shè)計變量及動靜態(tài)特性評價指標(biāo)見表6，可以看出優(yōu)化后，設(shè)計變量x4較初始值增加，x1、x2、x3、x5較初始值減小，且其中x2、x3降低程度較大，優(yōu)化前后刀具中心點變形量降低了12.8%，而床鞍質(zhì)量下降了9.7%，并且整機一階固有頻率增加了6.9%。

表4 動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型部分加權(quán)系數(shù)λTab.4 Weighted coefficient value of dynamic and static performance-structure mapping meta-model

表5 動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型求解與實際值比較Tab.5 Comparison between result from structure-performance mapping meta-model and actual value

圖6 基于動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型得到的x1-x2-y1和x1-x2-y2關(guān)系圖Fig.6 Relationship graph of x1-x2-y1 and x1-x2-y2 based on mapping meta model between structure and dynamic and static performance

x1/mmx2/mmx3/mmx4/mmx5/mmδ/mmf/HzM/t優(yōu)化前40403220200.0212036.620.998優(yōu)化后35.9831.2323.1426.2115.950.0184739.180.906變化率/%-12.86.9-9.7

4 結(jié)論

(1)提出了一種基于結(jié)構(gòu)-整機性能映射元模型的機床薄弱件結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。首先通過機床動靜態(tài)特性分析確定薄弱結(jié)構(gòu)部件。其次，提出基于擴展常數(shù)自組織選取橢圓基函數(shù)的結(jié)構(gòu)-動靜態(tài)性能映射元模型建模方法，構(gòu)建薄弱件結(jié)構(gòu)-整機動靜態(tài)性能物理映射關(guān)系。最后，根據(jù)上述薄弱件結(jié)構(gòu)-整機動靜態(tài)性能物理映射關(guān)系，以薄弱結(jié)構(gòu)部件為優(yōu)化對象，基于多目標(biāo)優(yōu)化算法，實現(xiàn)面向整機動靜態(tài)性能的機床薄弱部件結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

(2)以某型號機床為例，通過樣本數(shù)據(jù)檢驗得到：所建立的動靜態(tài)性能結(jié)構(gòu)映射元模型計算結(jié)果與實際值之間復(fù)相關(guān)系數(shù)均在0.995以上，說明所建立映射元模型的準(zhǔn)確性，驗證了該結(jié)構(gòu)-整機性能映射元模型構(gòu)建方法的正確性。根據(jù)其薄弱結(jié)構(gòu)件-整機性能映射關(guān)系對薄弱件優(yōu)化后，刀具中心點變形量降低了12.8%，而床鞍質(zhì)量下降了9.7%，且整機一階固有頻率增加了6.9%。