李 明

（江西省贛州市第一中學）

著名數(shù)學家波利亞指出：拿一個有意義而又不復雜的題目去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域.幾何計算是給出已知條件，讓學生去推理計算，許多時候學生的思維盲目，難以想到解題切入點.以2017年重慶市中考試卷第18題（填空壓軸題）為例，從“幾何、代數(shù)、三角”三個不同維度探尋幾何計算的思路，讓學生感受幾何計算的多種解法，把學生引入一個幾何計算領域，提高學生解題能力和核心素養(yǎng).

題目如圖1，正方形ABCD中，AD=4，點E是對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥ED，交AB于點F，連接DF，交AC于點G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點N，若F是AB的中點，則△EMN的周長是____.

圖1

一、解法初探

此題以正方形為背景，融入翻折變換、全等、相似，難度大，計算復雜，對學生的推理要求高.為幫助學生突破難點，筆者讓學生先獨立思考、探索、發(fā)現(xiàn)，思考根據(jù)題目條件，容易求出哪些線段的長度，能推出哪些結論？

經(jīng)過探究，學生得出以下結論.

結論2：由△AGF∽△CGD，得，DG=

結論3：A，D，E，F(xiàn)四點共圓，且∠EFM=∠DFE=.

結論4：如圖2，D，N，M，B四點共線，AC⊥DN，設AC與DM的交點為點O，則.

理由：如圖2，連接MB，作GP⊥AB，MQ⊥AB，

易證得△GPF≌△FQM.

所以GP=FQ=AP，PF=QM.

因為AF=BF，所以PF=QB=QM.

所以∠QBM=∠ABD=45°.

所以D，N，M，B四點共線.所以AC⊥DN.

圖2

圖3

結論5：如圖3，∠1=∠2=∠3=∠4.

理由：由A，D，E，F(xiàn)四點共圓，AC⊥DN容易推出.

二、妙解評析

在學生獨立思考、探索的基礎上，全班開展小組討論，經(jīng)過合作交流，學生涌現(xiàn)出許多奇思妙想，探究出了很多精彩的計算方法.

1.從相似三角形與勾股定理入手

思路1：計算線段長度常?？紤]用“相似三角形中對應邊成比例”連接已知線段和未知線段的關系.相似三角形有如圖4～圖8所示的5個常用的基本圖形，筆者在教學中稱它們?yōu)椤拔宥浣鸹ā?

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

在復雜圖形中，尋找或通過輔助線構建相似基本圖形是計算線段的常用思考策略.

圖9

解法1：如圖9，由題目條件，根據(jù)勾股定理易求出DF，AC，DE，EF的長.由△AGF∽△CGD（“X”型）易求出GF，DG，AG，CG的長.通過△AGF∽△DGE（“X”型）建立未知線段和所求出線段間的等量關系，求出線段EG（即EM）的長.連接MG，MG∥DE，得出△FGH∽△FDE（“A”型），△DEN∽△MHN（“X”型），得問題轉化為求線段EH，DN的長，，從而求出線段EN，MN的長.

【評析】此題要求的線段和已知條件沒有直接聯(lián)系，為此，抓住圖中的4對相似三角形（△AGF∽△CGD，△AGF∽△DGE，△FGH∽△FDE，△DEN∽△MHN）構建線段間的等量關系，通過相似，架起溝通已知和未知的橋梁.解法1較為復雜，后3對相似三角形學生難以想到，但可以讓學生充分感受“相似法”在計算線段長度中的威力.

解法2：如圖10，在Rt△DEN中，EO⊥DN，易聯(lián)想到“母子相似形”△DOE∽△EON∽△DEN，根據(jù)OD，DE的長可以求出OE，ON，EN，DN的長.

圖10

由EM=EG=OE+OG=OE+(OA-AG)，求出EM的長.由，求出MN的長，得.

【評析】由四邊形對角互補想到四點共圓是常用的解題策略，利用圓的性質更容易發(fā)現(xiàn)題目中角之間的等量關系.由翻折得∠GFM=90°，通過添加輔助線構造“三等角相似形”證出D，N，M，B四點共線（祥見解法初探），進而發(fā)現(xiàn)OE⊥DN，OD=OA.在“母子相似形”中知任意兩條線段的長可求出其余所有線段的長，在直角三角形中運用勾股定理計算線段長度也是最常用的方法，本解法讓學生感受“母子相似形”在計算線段長度中的應用.

解法3：同解法2求出EN，EM的長.如圖10，由△MEN∽△MDE，可得求出MN的長，得.

【評析】解法1中求MN的長思考難度大，解法2中求MN的長計算量大，交流中學生又發(fā)現(xiàn)了△MEN∽△MDE（公共角型），且相似比為1∶2，從而MN=，輕松求出MN的長.

反思上述三種解法，在復雜圖形中尋找或構建相似三角形（上面用到了相似三角形的5個基本圖形），通過相似三角形得到線段間的比例關系，完成從已知向未知的過渡.在幾何計算中，“相似”好比一盞亮著的燈，利用相似得到相等關系是一個重要的解題思路.在復雜圖形的分析中，若能把圖形分解為簡單的相似基本圖形，解題思路便會豁然開朗.

2.從“面積比與線段比的互相轉化”入手

思路2：解題中為了尋找線段間的數(shù)量關系，還可以從圖形的面積入手.在面積比與線段比的相互轉化中，有兩種常用思考策略：一是相似三角形的面積比等于相似比的平方；二是等高三角形的面積比等于底的比，或等底三角形的面積比等于高的比.

解法4：同上求出DN，EN，EM的長.

圖11

如圖11，連接GN，由FG∶GD=1∶2，求出S△NFG∶S△NGD=1∶2. 由△NGF≌△NMF，得S△FMN∶S△FND=1∶3.進而得MN∶DN=1∶3.由此求出MN的長，得C△EMN=EN+.

3.從全等三角形與整體思想入手

思路3：利用全等三角形實現(xiàn)線段間的等量轉化，把求三邊和作為一個整體來計算，使運算更為簡便.

解法5：同解法2，求得.

如圖12，作EH⊥DF于點H，交DN于點K.由 △EKD≌△FME， 得EM=DK，F(xiàn)M=EK.由 △EKN≌△FMN，得MN=KN.所以C△EMN=EN+NM+EM=EN+NK+DK=EN+.

圖12

【評析】在前面4種解法中，學生利用相似三角形、勾股定理、面積等知識分別求出三角形的三邊長，從而求出周長.在交流中，學生思維活躍，有學生運用整體思想想到把三邊的和作為一個整體計算.學生在探究中抓住等腰直角三角形DEF，作底邊上的高EH，證出兩對全等三角形△EKD≌△FME，△EKN≌△FMN，從而EM+MN=DK+KN=DN，△EMN的周長轉化成EN+DN的長，使問題得以解決.在等腰三角形中，作底邊上的高是添加輔助線常用的方法.課堂上，教師若給學生留下思考的時間和空間，學生往往會給你帶來意外的驚喜.

4.從銳角三角函數(shù)與解直角三角形入手

思路4：在直角三角形中，知道一邊和一個銳角的三角函數(shù)值，可以求出該三角形的另外兩邊長，把要求線段放在直角三角形中計算.

圖13

解法6：如圖13，連接GM，交EF于點H，在 Rt△DAF中，易求，由tan∠4=，可求出EN的長.在Rt△EHM和Rt△NHM中， 由 tan∠2=tan∠5=，得NH∶MH∶EH=1∶2∶4，則，可求得HN的長，利用勾股定理或比值關系可求出MN，EM的長.

【評析】在解題教學中，筆者經(jīng)常向學生提起“相似”和“三角”是一對好朋友，“相似”和“三角”都和比值相關，運用“三角法”解題往往更為簡便.解法6通篇沒有用相似，而是巧妙利用三角函數(shù)建立已知線段和未知線段的等量關系，抓住tan∠4=tan∠2=與勾股定理，輕松求出了所求線段的長，讓學生領略了“三角法”在計算中的神奇表現(xiàn).

5.從直角坐標系入手

思路5：要求出三角形三邊的長，從代數(shù)角度考慮，可以建立平面直角坐標系，求出線段端點坐標，從而利用兩點間距離公式或勾股定理求出線段長.

解法7：如圖14，建立平面直角坐標系，易得D(0，4)，C(4，4)，H(2，2)，F(xiàn)(2，0).

圖14

由待定系數(shù)法求出直線AC，DF，DB的解析式，求得直線AC與DF的交點G的坐標.由ED=EF，列方程可求得點E的坐標.求出直線EF的解析式，與直線DB的解析式聯(lián)立求出點N的坐標.根據(jù)兩點間距離公式求得EG，EN，NG的長.

【評析】坐標法是通過代數(shù)計算來完成幾何證明或計算的一種解題方法.此題要計算三角形的周長，容易想到只需要確定三角形三個頂點的坐標，問題便得以解決，相比前面相似法、全等法、面積法、三角法，思維難度大大降低.在解答時，注意把求E，N，M三點的坐標轉化為求E，N，G三點的坐標，可以有效減小計算量.坐標法的學習讓學生體會代數(shù)與幾何的密切聯(lián)系，可以培養(yǎng)學生的數(shù)形結合能力，為學生高中學習解析幾何奠定基礎.

三、教學啟示

回顧此題的教學，在解法初探中教師提出一個開放性的問題，讓學生從條件出發(fā)，去探究能得出哪些正確結論，這是思考問題的常用方法.學生從題中已知的一條線段長出發(fā)，求出了一系列線段的長，并探究出了四點共圓、四點共線，為解決問題奠定了堅實的基礎.綜觀上述5種思路、7種解法，學生從相似、面積、全等、三角、坐標等不同角度探究計算思路，搭建從已知通向未知的橋梁，訓練學生從不同角度思考問題的能力，促使學生從單一的思維模式中解放出來，以創(chuàng)新思維、求異思維的方式來解決問題，較好地培養(yǎng)了學生思維的嚴密性、開闊性、發(fā)散性和靈活性.

一個令許多學生望而生畏的幾何計算填空壓軸題，課堂上學生精彩解法的展示令教師和全班學生驚嘆不已.在這道題的解法探究中，初中數(shù)學計算線段長度的常用方法在這道題中得到了淋漓盡致的呈現(xiàn).學生通過反思總結，感受了幾何線段計算領域常用到的思想方法，如勾股定理法、面積法、全等法、相似法、三角法、坐標法等.透過每種解法的表層，抓住每種解法的本質，把握不同解法之間的聯(lián)系，能讓學生觸類旁通、舉一反三，有望達到“做一題，通一類，會一片”的較高層次效果.

解題教學的最終目標是發(fā)展學生的思維，科學精神、理性思維是核心素養(yǎng)的重要成分.通過一題多解，引發(fā)學生反思幾何計算與幾何推理之間的內(nèi)在關系，發(fā)展學生的思維能力，讓學科核心素養(yǎng)的培育落實到具體的數(shù)學教學中.