欒 添,張雪松,陳徐宗

(1.中國電子科學(xué)研究院,北京 100041; 2.北京大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,北京 100871)

0 概述

近年來,量子模擬引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[1]提出應(yīng)用量子系統(tǒng)模擬物理問題與現(xiàn)象,通過可控的量子系統(tǒng)模擬仿真不可控的或不易解析的量子系統(tǒng),獲取被模擬量子系統(tǒng)的相關(guān)規(guī)律和信息[2]。文獻(xiàn)[3]指出實(shí)現(xiàn)量子模擬的主要技術(shù)手段有光晶格囚禁超冷原子、離子阱技術(shù)、原子核自旋操控、超導(dǎo)電路芯片、相干光子操控等。文獻(xiàn)[4-5]闡述了量子計(jì)算的研究方向,包括凝聚態(tài)物理、拓?fù)湮锢?、高能物理、宇宙學(xué)、量子化學(xué)、分子動力學(xué)等。

目前,超冷原子量子模擬技術(shù)逐漸成為量子研究領(lǐng)域的熱門方向[6-7]。超冷原子作為量子模擬載體[8-9]的優(yōu)越性主要表現(xiàn)在:超冷原子在量子模擬的過程中可以保持較好的關(guān)聯(lián)特性;應(yīng)用Feshbach共振技術(shù)可連續(xù)調(diào)節(jié)超冷原子之間的相互作用;在超冷原子的基礎(chǔ)上引入人造規(guī)范勢模擬自旋系統(tǒng)。文獻(xiàn)[10]在BEC實(shí)驗(yàn)上應(yīng)用環(huán)形勢阱實(shí)現(xiàn)對聲波黑洞的模擬。文獻(xiàn)[11]在超冷133Cs原子系統(tǒng)中引入淬火效應(yīng)模擬宇宙大爆炸模型早期的非平衡演化過程,成功觀測到Sakharov振蕩現(xiàn)象。文獻(xiàn)[12]應(yīng)用超冷原子模擬激光黑洞,并觀察到霍金輻射現(xiàn)象。文獻(xiàn)[13]提出通用對射激光形成光學(xué)晶格囚禁超冷原子模擬凝聚態(tài)理論經(jīng)典模型的構(gòu)想。文獻(xiàn)[14]利用三維光晶格囚禁超冷87Rb原子進(jìn)行超流-莫特絕緣態(tài)量子相變實(shí)驗(yàn),實(shí)現(xiàn)對三維玻色-哈伯德模型的量子模擬,以光晶格囚禁超冷原子模擬凝聚態(tài)物理中的理論模型。由于激光有“零缺陷”性,原子可以較好地囚禁在獨(dú)立分布的光學(xué)格點(diǎn)中。另外,對光晶格的強(qiáng)度、頻率、相位等關(guān)鍵參數(shù)加以調(diào)節(jié),可以模擬一些不易實(shí)現(xiàn)的晶體結(jié)構(gòu)類型,如一維鏈狀結(jié)構(gòu)、蜂巢結(jié)構(gòu)、三角形結(jié)構(gòu)、石墨烯結(jié)構(gòu)等。目前,物理學(xué)家實(shí)現(xiàn)了對玻色-哈伯德模型(Bose-Hubbard Model)、費(fèi)米-哈伯德模型(Fermi-Hubbard Model)[15]、伊辛模型(Ising Model)[16]、海森堡模型(Heisenberg Model)[17]、豪爾丹模型(Haldane Model)[18]、量子無序態(tài)模型的量子模擬[19]。

本文研究一維玻色-哈伯德模型理論及量子相變過程,應(yīng)用光晶格中的超冷原子模擬一維玻色-哈伯德模型,通過觀察超冷原子超流-莫特絕緣態(tài)相變過程測得相變發(fā)生的臨界點(diǎn),并對量子氣體擴(kuò)散過程中的動態(tài)空間干涉圖樣進(jìn)行分析和比較。

1 一維玻色-哈伯德模型

玻色-哈伯德模型可以解釋超導(dǎo)現(xiàn)象發(fā)生時導(dǎo)體中的電子在構(gòu)成晶格的原子之間的運(yùn)動狀態(tài)。利用光晶格中的一維玻色氣體對一維玻色-哈伯德模型進(jìn)行模擬,當(dāng)一維氣體在周期性外勢場Vext(x)=V0cos(kx)中時,系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為[20]:

(1)

其中,m為原子的質(zhì)量,k為光晶格的波矢。以格點(diǎn)的基態(tài)瓦尼爾函數(shù)w0(x-ia)為基對式(1)進(jìn)行二次量子化(a=2π/k為晶格常數(shù)),定義算符的矩陣元:

(2)

(3)

(4)

2 一維玻色-哈伯德模型量子相變

在一維玻色-哈伯德模型中,當(dāng)t和U連續(xù)變化時,量子系統(tǒng)經(jīng)歷超流態(tài)到絕緣態(tài)變化的過程,是一種量子相變,稱之為超流-莫特(Mott)絕緣態(tài)相變[21]。從理論上對相變進(jìn)行簡要分析,當(dāng)t/U→0時,式(4)可以簡化為[22]:

(5)

n-1<μ/U

(6)

在該取值條件下,單格點(diǎn)的囚禁原子數(shù)僅為n時系統(tǒng)能量最小。定義ΔEP表示此時格點(diǎn)內(nèi)每增加一個粒子帶來的能量變化,ΔEH表示減少一個粒子帶來的能量變化。則:

(7)

由μ/U的取值條件可知,單格點(diǎn)的原子數(shù)為n時,ΔEP與ΔEH均為正值。無論格點(diǎn)內(nèi)增加或減少一個原子都將使格點(diǎn)的整體能量增加,只有通過外界能量參與才能強(qiáng)制改變這種狀態(tài),即可以看成是格點(diǎn)內(nèi)單原子激發(fā)存在著能帶間隔。從式(4)可以看出,隧穿項(xiàng)(-t)帶來的能量變化使系統(tǒng)的能量減少,當(dāng)t

圖1 一維玻色-哈伯德模型超流-莫特絕緣態(tài)相變

3 超冷原子的一維玻色-哈伯德模型

光晶格的周期性勢阱是研究一維玻色-哈伯德模型的理想手段,一般先以超冷原子為基礎(chǔ)制備一維玻色氣體,然后在一維玻色氣體上加載一維光晶格,通過調(diào)節(jié)光晶格的勢阱深度改變原子在格點(diǎn)之間的隧穿項(xiàng),實(shí)現(xiàn)超流-莫特絕緣態(tài)的量子相變。

采用87Rb超冷原子實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)來進(jìn)行量子模擬實(shí)驗(yàn),在制備完成87Rb玻色-愛因斯坦凝聚體(Bose-Einstein Condensate,BEC)后,得到原子數(shù)為1.6×105,純度約為90%,處于|F=1,mF=-1〉超精細(xì)能態(tài)上的BEC。以e指數(shù)的形式絕熱加載勢阱深度為50Er的1 064 nm二維光晶格激光(Er為原子的反沖能量)。在加載光晶格的過程中,采用磁懸浮的方法平衡87Rb原子的重力。由于原子在橫向上的束縛比較強(qiáng)(橫向束縛頻率ω⊥=2π×30 kHz),滿足一維氣體條件:μ,kBT<<ωr,因此,原子在空間中看作是處在整齊排列的一維管道中,每個管道中的原子可以近似成一維玻色氣體(一維束縛頻率ωx=2π×83.3 Hz,相互作用參量γ=0.57),如圖2(a)所示。

圖2 量子模擬實(shí)驗(yàn)

在一維方向上以相同的時序加載852 nm對射激光形成光晶格,形成周期性勢場,光晶格的勢阱深度由1Er連續(xù)調(diào)節(jié)至50Er,以連續(xù)改變原子在相鄰格點(diǎn)之間的隧穿強(qiáng)度。在實(shí)驗(yàn)中,t/U可以從0.002 6連續(xù)變化到1.106,采用時間飛行(Time of Flight,TOF)方法來進(jìn)行成像,圖2(b)為實(shí)測到的一維玻色氣體超流-莫特絕緣態(tài)動量空間相變圖。從圖2(b)可以看出,隨著光晶格勢阱深度的增加,一維玻色氣體的動量空間發(fā)生連續(xù)的變化。

4 超冷原子超流-莫特絕緣態(tài)相變過程

為研究光晶格中超冷原子在相變過程的特性,采用雙高斯擬合的方法對原子在動量空間的物質(zhì)波干涉圖樣進(jìn)行分析,以分辨出超流成分和莫特絕緣態(tài)成分在相變過程中的變化。在實(shí)驗(yàn)時序上,制備一維氣體時加載一維方向上852 nm的光晶格。在晶格加載完畢后,原子在光晶格中靜置30 ms,并在50 μs內(nèi)迅速將光晶格勢阱深度增加至30Er(t/U=0.012 6),將所有的激光和磁場關(guān)斷并做30 ms的TOF成像。該過程可以看作是將原子的波函數(shù)向30Er阱深下的光晶格能帶做一個投影,完整保留一維氣體方向的相干信息。

(8)

(9)

圖3 光晶格中一維玻色氣體動量空間干涉圖樣及縱向積分

圖3(b)是在t/U=0.081 7(13Er)條件下得到的干涉圖樣,相干峰成分較圖3(a)有所降低,非相干成分增加。

圖4 光晶格中一維玻色氣體隨平均原子數(shù)密度和t/U變化的超流成分映射

5 結(jié)束語

本文以凝聚態(tài)物理中的一維玻色-哈伯德模型為基礎(chǔ),從理論角度研究了超流-莫特絕緣態(tài)的量子相變過程,在超冷87Rb原子實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)上制備一維玻色氣體,在此基礎(chǔ)上加載852 nm光晶格囚禁超冷原子,對一維玻色-哈伯德模型進(jìn)行量子模擬。同時,研究了在超流-莫特絕緣態(tài)相變過程中一維玻色氣體動量空間的變化情況,利用連續(xù)改變光晶格中一維玻色氣體的密度和光晶格勢阱深度得到超流成分映射圖。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,光晶格中的量子氣體可以較好地對一維玻色-哈伯德理論模型進(jìn)行模擬。下一步將改進(jìn)、完善實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),在大參數(shù)范圍內(nèi)調(diào)節(jié)原子的密度,以便模擬凝聚態(tài)物理學(xué)中的理論模型。