夏 力，羅路平，徐 琦

(浙江工業(yè)大學(xué) 浙江省特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310014)

0 引 言

隨著我國(guó)工業(yè)自動(dòng)化的發(fā)展，裝備生產(chǎn)線對(duì)機(jī)械臂的需求日益增多。機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)精度及可靠性直接決定了整條生產(chǎn)線的性能。而在實(shí)際工作中，機(jī)械臂存在許多類型的不確定性誤差，會(huì)引起機(jī)械臂精度低、可靠性差、制造成本高等問(wèn)題。常見(jiàn)的誤差影響因素主要有桿件形變、運(yùn)動(dòng)副間隙、磨損等[1]。在機(jī)械臂研制過(guò)程中，對(duì)其影響因素進(jìn)行分析優(yōu)化，能有效地提高其精度及可靠性。

運(yùn)動(dòng)精度是反映機(jī)械臂性能的一個(gè)重要指標(biāo)，運(yùn)動(dòng)精度可靠性是指機(jī)械臂在規(guī)定的使用條件下和規(guī)定的使用期限中，精確、及時(shí)、協(xié)調(diào)地完成規(guī)定機(jī)械動(dòng)作的能力[2]。近年來(lái)，運(yùn)動(dòng)精度可靠性受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注:LIU G F, WU J[3]針對(duì)潛艇蓄電池日常維護(hù)困難的問(wèn)題，對(duì)蓄電池設(shè)計(jì)的維修設(shè)備進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)精度分析，從傳輸誤差的原因出發(fā)，對(duì)其進(jìn)行了理論分析、數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)分析;XIE Z[4]通過(guò)對(duì)6自由度機(jī)械臂進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析，建立運(yùn)動(dòng)方程,給出了基于運(yùn)動(dòng)參數(shù)的精度可靠性分析結(jié)果;劉恩等[5]通過(guò)建立含加工和裝配的尺寸誤差和間隙誤差的運(yùn)動(dòng)誤差模型，結(jié)合可靠性理論，對(duì)鉚接機(jī)械手運(yùn)動(dòng)精度可靠性進(jìn)行了分析；劉桂峰等[6]通過(guò)分析誤差產(chǎn)生原因，針對(duì)潛艇蓄電池保養(yǎng)機(jī)械臂進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)精度分析；張永文[7]通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)副間隙進(jìn)行建模，對(duì)含間隙可控噴涂機(jī)械臂動(dòng)態(tài)特性及運(yùn)動(dòng)可靠性進(jìn)行了分析。以上研究均以簡(jiǎn)單機(jī)械臂或者剛性機(jī)械臂作為研究對(duì)象，對(duì)可靠性的影響因素考慮較少，無(wú)法詳盡闡述機(jī)械臂可靠性的變化機(jī)理;同時(shí)，針對(duì)的大部分是理想狀態(tài)下的模型，不能如實(shí)反映對(duì)實(shí)際的工程狀況，難以為機(jī)械臂后續(xù)任務(wù)規(guī)劃提供理論支撐。

本文將以關(guān)節(jié)式同步帶減速機(jī)械臂為研究對(duì)象，針對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛?cè)狁詈咸匦?，綜合考慮桿長(zhǎng)、間隙和同步帶柔性等因素建立可靠性模型；通過(guò)機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)平臺(tái)獲取相應(yīng)參數(shù)的可靠性數(shù)據(jù)，并運(yùn)用一階二次矩法求解；將模型求解得到的可靠性指標(biāo)與實(shí)驗(yàn)獲得的可靠性指標(biāo)對(duì)比以驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性；基于靈敏度分析對(duì)機(jī)械臂精度進(jìn)行可靠性優(yōu)化，以確定機(jī)械臂精度參數(shù)。

1 機(jī)械臂末端誤差模型

關(guān)節(jié)式同步帶機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)示意圖如圖1所示。

圖1 機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)示意圖

該機(jī)械臂為串聯(lián)二自由度機(jī)械臂，其最主要的特征是運(yùn)用同步帶進(jìn)行減速傳動(dòng)。同步帶在傳動(dòng)過(guò)程中，無(wú)滑動(dòng)，能保證恒定的傳動(dòng)比，預(yù)緊力小[8]。在實(shí)際使用中，有許多因素會(huì)影響同步帶的傳動(dòng)可靠性，如同步帶的彈性伸長(zhǎng)、帶輪傳動(dòng)的多邊形效應(yīng)、帶輪的偏心等等。除此之外，機(jī)械臂大臂小臂受到加工誤差、受載變形的影響、關(guān)節(jié)處受到關(guān)節(jié)間隙的影響，都會(huì)對(duì)機(jī)械臂的末端位姿造成影響。

理想狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程建立如下：

(1)

1.1 桿長(zhǎng)模型的構(gòu)建

在工程應(yīng)用中，機(jī)械臂大臂和小臂的實(shí)際長(zhǎng)度主要受制造加工誤差和受載后變形量的影響，所以在對(duì)機(jī)械臂誤差進(jìn)行分析時(shí)，必須將桿長(zhǎng)的變化考慮在內(nèi)。

實(shí)際桿長(zhǎng)L為：

L=L0+ΔL

(2)

式中：L0—初始桿長(zhǎng)；ΔL—桿長(zhǎng)形變量。

根據(jù)文獻(xiàn)[9-10]，在考慮初始桿長(zhǎng)時(shí)將其加工誤差默認(rèn)為服從正態(tài)分布。因此，由中心極限定理可得到初始桿長(zhǎng)的分布為：

(3)

(4)

(5)

式中：L0—加工得到的桿件初始長(zhǎng)度；uL0—加工得到的桿件尺寸均值；σL0—加工得到的桿件尺寸標(biāo)準(zhǔn)差。

對(duì)關(guān)節(jié)式同步帶減速機(jī)械臂進(jìn)行分析，將其等效成截面形狀規(guī)則的桿件，可利用材料力學(xué)相關(guān)原理計(jì)算，由胡克定律知：

(6)

式中：FN—桿件在定位時(shí)刻的軸向拉力或壓力；E—材料的彈性模量；A—桿件的橫截面積。

對(duì)于桿件的變形量ΔL的標(biāo)準(zhǔn)差σΔL可以表示為：

(7)

因此，變形量ΔL服從以下分布：

(8)

由上述分析可得因此實(shí)際桿長(zhǎng)的分布為：

uL=uL0+uΔL

(9)

(10)

即：

(11)

1.2 關(guān)節(jié)間隙的碰撞力模型的構(gòu)建

關(guān)節(jié)間隙是影響機(jī)械臂可靠性的重要因素。在機(jī)械臂的分析中，對(duì)間隙的處理方式主要有無(wú)質(zhì)量連桿方法、彈簧-阻尼法和動(dòng)量交換法。

關(guān)節(jié)式同步帶減速機(jī)械臂正常運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，由于關(guān)節(jié)間隙的存在，軸與軸承接觸碰撞過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生接觸碰撞力Fc，關(guān)節(jié)間隙模型如圖2所示。

圖2 關(guān)節(jié)間隙模型

該接觸力由兩部分組成：分別是切向摩擦力Ft和法向碰撞力Fn，兩力正交。故本研究采用Lankarani-Ni-

kravesh接觸力模型和Coloumb摩擦力模型進(jìn)行求解[11-12]：

(12)

1.2.1 法向碰撞力模型

本研究采用摩擦模型來(lái)描述軸與軸承之間的法向碰撞力，表達(dá)式為：

(13)

1.2.2 切向摩擦力模型

間隙的存在會(huì)使得機(jī)械臂在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生摩擦力，摩擦力對(duì)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)特性有影響，因此在建立含關(guān)節(jié)間隙機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程時(shí)必須考慮摩擦力。本文中軸與軸承之間沒(méi)有潤(rùn)滑，是干摩擦，筆者使用Coulomb摩擦模型來(lái)描述副元素之間的摩擦力，軸與軸承切向接觸摩擦力為：

(14)

式中：f—摩擦系數(shù)；σ—sign(vt)，關(guān)于vt的符號(hào)函數(shù)；Ct—切向阻尼系數(shù)。

在計(jì)算摩擦力時(shí)通常忽略切向阻尼，這時(shí)有：

Ft=-fσFn

(15)

1.3 同步帶動(dòng)力學(xué)模型的構(gòu)建

同步帶的傳動(dòng)誤差主要包含同步帶彈性變形和齒帶輪傳動(dòng)的多邊形效應(yīng)、齒帶輪的偏心等[13-14]。在同步帶減速機(jī)械臂中，關(guān)節(jié)處減速皮帶過(guò)多，得到的方程過(guò)于復(fù)雜，故本研究將模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，主要考慮關(guān)節(jié)處的同步帶組。同步帶Vogit模型如圖3所示。

圖3 同步帶Vogit模型

在同步帶分析中，本研究將同步帶離散為具有一定數(shù)量的具有質(zhì)量、慣量的單元，通過(guò)彈簧阻尼將相鄰兩個(gè)帶單元聯(lián)結(jié)。同步帶離散化模型如圖4所示。

圖4 同步帶離散化模型

本研究將同步帶離散化，分成n個(gè)離散系統(tǒng)單元組成的系統(tǒng)，其中每塊代表一個(gè)同步帶離散系統(tǒng)單元。根據(jù)力的平衡方程，在輸送帶切向有等式：

(16)

上述同步帶系統(tǒng)離散動(dòng)態(tài)模型方程用矩陣的形式可表示為：

(17)

1.4 機(jī)械臂誤差模型的構(gòu)建

面對(duì)關(guān)節(jié)式同步帶減速機(jī)械臂這一復(fù)雜系統(tǒng)，普通的剛性動(dòng)力學(xué)模型已經(jīng)不能滿足其特征描述的要求，故筆者采用柔性動(dòng)力學(xué)對(duì)其剛?cè)峄旌系膭?dòng)態(tài)特性進(jìn)行描述。將前面得到的實(shí)際桿長(zhǎng)模型、關(guān)節(jié)間隙力學(xué)模型和同步帶柔性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行耦合，得到耦合柔性多體動(dòng)力學(xué)模型[15]。

根據(jù)多體理論，將式(11，12，17)代入式(1)中，得出含桿長(zhǎng)誤差、關(guān)節(jié)間隙和同步帶柔性耦合的動(dòng)力學(xué)方程為:

(18)

本研究采用D-H法對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，可得到機(jī)械臂末端的運(yùn)動(dòng)顯示方程為：

(19)

式中：L1，L2—機(jī)械臂大臂和小臂的桿長(zhǎng)；θ1，θ2—機(jī)械臂大臂和小臂的轉(zhuǎn)角。

本研究將實(shí)際桿長(zhǎng)模型、關(guān)節(jié)間隙力學(xué)模型和同步帶柔性耦合的動(dòng)力學(xué)模型式(18)和機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)顯式方程式(19)聯(lián)立在一起，可以得到機(jī)械臂誤差模型：

(20)

2 機(jī)械臂末端精度可靠性分析

2.1 機(jī)械臂末端精度極限狀態(tài)函數(shù)

設(shè)δi為機(jī)械臂末端在X，Y軸上的最大誤差，則其可靠性極限狀態(tài)函數(shù)為：

Gi(X,Y)=δi-Ei(X,Y)

(21)

式中：δi—X、Y軸的許用誤差；Ei(X,Y)—X、Y軸的誤差值。

由式(20)可知，當(dāng)機(jī)械臂末端位置坐標(biāo)X、Y已知時(shí)，極限狀態(tài)函數(shù)中變量為：

2.2 基于一次二階矩的可靠性分析方法

目前，可靠性研究方法主要有蒙特卡洛法[14]，模糊集法[16]。蒙特卡洛法計(jì)算量較大，模糊集對(duì)變量的假設(shè)適用于模糊不確定性的場(chǎng)合，針對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的隨機(jī)不確定性變量，筆者使用一階二次矩法對(duì)運(yùn)動(dòng)精度可靠性進(jìn)行研究[17]。

假設(shè)各變量默認(rèn)為服從正態(tài)分布，本研究使用一階二次矩方法進(jìn)行可靠性分析，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)精度可靠性分析流程如圖5所示。

圖5 可靠性分析流程圖

Δqi=qo-qi

(22)

(23)

(24)

根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲取考慮間隙與同步帶柔性機(jī)械臂的參數(shù)誤差統(tǒng)計(jì)分布值，即可計(jì)算出機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)參數(shù)誤差的均值和方差：

(25)

(26)

基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，根據(jù)式(25，26)可以計(jì)算得到任意時(shí)刻機(jī)械臂任意輸出的運(yùn)動(dòng)參數(shù)誤差的均值和方差。

設(shè)δi為機(jī)械臂末端在X、Y軸上的最大誤差，則其可靠性極限方程為：

Gi(X,Y)=δi-Ei(X,Y)

(27)

本研究設(shè)定各參數(shù)初值，在Matlab中編寫(xiě)程序，將變量代入程序開(kāi)始進(jìn)行迭代計(jì)算；當(dāng)新一代的數(shù)值不滿足判定條件時(shí)，繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算，直到其滿足判定條件，終止程序，獲得可靠度數(shù)據(jù)β值；將可靠性數(shù)據(jù)β值代入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中，查表可得其可靠度。

2.3 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的搭建

為了對(duì)機(jī)械臂的末端精度可靠性進(jìn)行研究，本文搭建了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)大臂小臂的角度和角速度和末端誤差進(jìn)行測(cè)量，如圖6所示。

圖6 安裝傳感器機(jī)械臂圖

實(shí)際機(jī)械臂選擇在大臂和小臂的驅(qū)動(dòng)電機(jī)處進(jìn)行傳感器的安裝，在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的終點(diǎn)在X、Y方向安裝百分表，測(cè)得其末端誤差。根據(jù)其數(shù)據(jù)精度和安裝方式，選用上海開(kāi)地公司的德國(guó)CARLEN絕對(duì)值編碼器，其采集精度為0.02°。

編碼器參數(shù)如表1所示。

表1 編碼器參數(shù)

數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的設(shè)計(jì)主要根據(jù)編碼器的信號(hào)進(jìn)行設(shè)計(jì)，根據(jù)表1可知：編碼器的信號(hào)為SSI信號(hào)，通過(guò)其配套的角度顯示器將信號(hào)處理成RS232信號(hào)，再通過(guò)U-PORT串口數(shù)據(jù)線將信號(hào)導(dǎo)入計(jì)算機(jī)，使用AccessPort軟件進(jìn)行信號(hào)的接收，最后使用Matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)如圖7所示。

圖7 數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)

2.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

根據(jù)文獻(xiàn)[18]可知，在實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100組時(shí)能較好地反映數(shù)據(jù)情況，故筆者對(duì)機(jī)械臂重復(fù)進(jìn)行100組實(shí)驗(yàn)，得到大臂和小臂的角度、角速度以及末端誤差等數(shù)據(jù)。首先根據(jù)誤差模型運(yùn)用一階二次矩方法求解可靠度，再通過(guò)末端誤差根據(jù)概率的知識(shí)對(duì)其進(jìn)行末端精度可靠度指標(biāo)求解，可靠度如表2所示。

表2 模型計(jì)算和實(shí)驗(yàn)下的機(jī)械臂末端精度可靠度

通過(guò)對(duì)表2模型進(jìn)行分析可知：模型計(jì)算和實(shí)驗(yàn)狀態(tài)下Y軸末端精度可靠性要略高于X軸，并且誤差模型計(jì)算得出的X、Y軸可靠度均大于實(shí)驗(yàn)?zāi)┒苏`差直接測(cè)量所得的可靠度；X軸方向的可靠度相對(duì)誤差為0.19%，Y軸方向的可靠度相對(duì)誤差為0.32%，這主要是由于實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的搭建過(guò)程存在一定的裝配誤差、制造誤差以及電機(jī)本身的運(yùn)動(dòng)誤差。

3 精度可靠性靈敏度分析及優(yōu)化

3.1 精度可靠性靈敏度分析

由于所有變量的分布類型、分布參數(shù)都將對(duì)可靠度的靈敏程度產(chǎn)生影響，本研究通過(guò)可靠性靈敏度分析確定各誤差的分布參數(shù)靈敏度程度。筆者用直接微分法進(jìn)行靈敏度分析。

對(duì)極限狀態(tài)函數(shù)分別對(duì)各變量進(jìn)行偏導(dǎo)可得：

(28)

并對(duì)可靠度靈敏度進(jìn)行歸一化處理，得到對(duì)應(yīng)靈敏度系數(shù)：

(29)

對(duì)各個(gè)變量進(jìn)行偏導(dǎo)求得靈敏度系數(shù)，如表3所示。

表3 X、Y軸方向誤差源靈敏度系數(shù)

3.2 精度可靠性優(yōu)化

基于誤差靈敏度的分析結(jié)果，本研究對(duì)精度分配進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.2.1 優(yōu)化目標(biāo)

以降低制造成本為目標(biāo)，本研究建立機(jī)械臂精度分配優(yōu)化模型[19]:

(30)

式中:x—各項(xiàng)誤差源的誤差值(半公差帶的寬度)，x={xi}；αi—公差特征指數(shù)，取αi=2；ki—各設(shè)計(jì)變量的成本權(quán)重系數(shù)；λi—將轉(zhuǎn)角誤差綱量同一化為線誤差綱量的系數(shù)。

在設(shè)計(jì)階段，常常還不能定出制造成本的精確數(shù)值，但是可以定性估計(jì)，本研究以靈敏度系數(shù)為成本權(quán)重系數(shù)。

3.2.2 約束條件

根據(jù)極限思想并結(jié)合導(dǎo)軌精度等級(jí)情況，本研究以超精密精度等級(jí)的半公差帶帶寬(xi-min)為下限，以精度設(shè)計(jì)要求的最大值為上限對(duì)單個(gè)誤差源取值:

(31)

3.2.3 基于Matlab遺傳算法的精度優(yōu)化

本研究采用Matlab中Optimization Tool工具包對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行優(yōu)化，在該工具包中選擇Genetic Algorithm進(jìn)行精度分配優(yōu)化，配置參數(shù):初始種群數(shù)為100，適應(yīng)度尺度按適應(yīng)度排序并進(jìn)行迭代，然后雜交為啟發(fā)式算法，雜交概率0.8，遷移為forward，突變選擇默認(rèn)。精度分配優(yōu)化結(jié)果如表4所示。

表4 優(yōu)化后的各參數(shù)分布均值

在所有變量中，大臂和小臂的角速度和轉(zhuǎn)角取值得到不同程度放大，說(shuō)明按照優(yōu)化前的精度分配偏于保守;精度優(yōu)化后，總體上，靈敏度系數(shù)較大的誤差變量得到不同程度的控制，靈敏度系數(shù)較小的誤差因素被適當(dāng)?shù)姆糯螅暇确峙涞乃枷搿?/p>

本研究將優(yōu)化前、后的精度分配值代入到誤差模型以及成本模型進(jìn)行計(jì)算，得出優(yōu)化前后可靠度和成本對(duì)比如表5所示。

表5 優(yōu)化前后可靠度和成本對(duì)比

由表5可知：優(yōu)化后，機(jī)械臂的末端X軸和Y軸的精度可靠度達(dá)到了99.71%和99.78%，提升了機(jī)械臂的總體精度;與傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)相比，成本由優(yōu)化設(shè)計(jì)前的205.163減至147.869，降低了27.92%；由此可見(jiàn)：該方法在不僅提升了機(jī)械臂末端精度可靠度，還有效地降低了制造成本。

4 結(jié)束語(yǔ)

(1)根據(jù)機(jī)械臂桿長(zhǎng)、關(guān)節(jié)間隙和同步帶柔性3種誤差影響因素，本文分別對(duì)其建立了實(shí)際桿長(zhǎng)模型、關(guān)節(jié)間隙碰撞力學(xué)模型和同步帶動(dòng)力學(xué)模型，并結(jié)合多體柔體動(dòng)力學(xué)理論，建立了耦合柔體動(dòng)力學(xué)模型；

(2)在動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)方程推導(dǎo)出機(jī)械臂末端誤差方程，建立了關(guān)節(jié)式同步帶減速機(jī)械臂精度可靠性模型；

(3)通過(guò)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)獲取相應(yīng)的可靠性數(shù)據(jù)，并運(yùn)用一階二次矩法進(jìn)行可靠性分析，分析結(jié)果表明：未優(yōu)化前X軸和Y軸可靠度基于模型計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)試的相對(duì)誤差為0.16%和0.32%，驗(yàn)證了可靠性模型的準(zhǔn)確性；

(4)對(duì)機(jī)械臂可靠性模型進(jìn)行了靈敏度分析，大臂和小臂加速度為主要誤差因素，基于分析結(jié)果建立了機(jī)械臂制造成本為優(yōu)化目標(biāo)的精度分配優(yōu)化模型，利用Matlab軟件中遺傳算法進(jìn)行精度分配優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果表明：機(jī)械臂經(jīng)過(guò)優(yōu)化后，X、Y軸可靠度分別從97.05%和97.38%提高至99.71%和99.78%，且與經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)相比，制造成本降低了27.92%，為機(jī)械臂的加工制造提供了依據(jù)。