摘要：在立體幾何中，與體積、表面積等相關(guān)的很多問(wèn)題也可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。對(duì)相關(guān)題目的分析和對(duì)比解答，展示了不同的思維方法和思維習(xí)慣下題目分析思維和解答過(guò)程步驟的繁簡(jiǎn)程度，解答的分析和對(duì)比旨在突出轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：幾何體;體積;表面積;轉(zhuǎn)化與化歸;應(yīng)用途徑;轉(zhuǎn)化方法

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的理解掌握與熟練應(yīng)用，既是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具，又是體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題基本功的重要途徑。轉(zhuǎn)化與化歸思想方法是最常用的數(shù)學(xué)思想方法之一，滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中的方方面面。在日常教學(xué)過(guò)程中，教師結(jié)合教學(xué)進(jìn)程和教學(xué)內(nèi)容，針對(duì)不同的問(wèn)題和情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行及時(shí)和恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，可以使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知和簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使問(wèn)題得到快速、有效的解決。學(xué)生可以從最初的機(jī)械模仿到理解掌握，進(jìn)而走向熟練應(yīng)用，形成良好的思維分析習(xí)慣，以提升解決問(wèn)題的能力。

在立體幾何中，與幾何體的體積、表面積相關(guān)的問(wèn)題是一類(lèi)常見(jiàn)的重要問(wèn)題，有些問(wèn)題盡管可以用多種方法解決，但是針對(duì)不同空間幾何體的形狀特點(diǎn)和已知條件，有的問(wèn)題可以進(jìn)行一些特殊的思維轉(zhuǎn)化處理，這樣不僅可以有效減少學(xué)生的計(jì)算量，提高解題速度，而且還可以提高解題正確率。學(xué)生通過(guò)教師的引導(dǎo)與示范，動(dòng)腦、動(dòng)手進(jìn)行對(duì)比反思，在比較的基礎(chǔ)上產(chǎn)生自己的思維傾向性并形成習(xí)慣。下面，筆者通過(guò)舉例分析一部分與空間幾何體體積、表面積相關(guān)的問(wèn)題，展示轉(zhuǎn)化與化歸思想方法在多面體中的應(yīng)用途徑和轉(zhuǎn)化方法。

題型一：利用幾何體體積（或面積）相等進(jìn)行的轉(zhuǎn)化

例1 如圖1，在長(zhǎng)方體A BCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA，=2，求三棱錐ArABiDi的體積V和點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離d。

方法1：直接求解。

直接求解，求三棱錐A1-AB1D1的體積，需要分別求△AB1D1的面積和點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離。觀察分析后，可以取B1D1的中點(diǎn)0，連接OA，OA，過(guò)點(diǎn)Ai作A1H⊥A0于點(diǎn)H（如圖2），易證平面AB1D1⊥平面A1AO。由面面垂直的性質(zhì)定理，得A1H⊥平面AB1D1，所以A1H即為點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離。

方法2：轉(zhuǎn)化求解。

我們知道，三棱錐可以以四頂點(diǎn)中的任何一點(diǎn)作為頂點(diǎn)，其余三點(diǎn)確定的面為底面。以不同面為底面的三棱錐的體積和表面積是完全不變的，由此可以得到三棱錐的體積、表面積和距離等問(wèn)題中最常使用的“等體積法”。

方法2用“等體積法”或“等面積法”進(jìn)行了一個(gè)小的轉(zhuǎn)化，既不需要作輔助線，又使問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化，減少了計(jì)算量，由此可以看出及時(shí)應(yīng)用幾何體特性對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化的重要性。

題型二：運(yùn)用幾何體部分和整體的關(guān)系進(jìn)行的轉(zhuǎn)化

例2 如圖3，已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球0的直徑，且SC =2，求此三棱錐的體積V。

方法1：直接求解。

此種解題方法思路不復(fù)雜，但是過(guò)程中輔助線較多，也需要進(jìn)行不少的位置關(guān)系的判斷與證明，以及用到圓內(nèi)接三角形的一些性質(zhì)及數(shù)量關(guān)系。

方法2：轉(zhuǎn)化求解。

在方法1的通法基礎(chǔ)上，我們可以再考慮一下題目中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系：△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球D的直徑，且SC=2，點(diǎn)0在SC上，SC= 20C（如圖3），所以三棱錐S-ABC的體積等于三棱錐O-ABC的體積的2倍，所以我們只要求出三棱錐O-ABC的體積VO-ABC就可以了。

三棱錐O-ABC恰好是邊長(zhǎng)為1的四面體，容易求出邊長(zhǎng)為1的正四面體的體積為√2/12，所以V=2V0-ABC=2×√2/12=√2/6。

此種方法是在觀察出特殊數(shù)量和位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，找出其內(nèi)部關(guān)聯(lián)，從而將求一般幾何體的體積轉(zhuǎn)化為求特殊幾何體的體積問(wèn)題。

題型三：運(yùn)用線面平行距離相等進(jìn)行的頂點(diǎn)轉(zhuǎn)化

例3 如圖5，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐D1-EDF的體積。

我們可以看到，三棱錐D1-EDF的三個(gè)頂點(diǎn)D1，E，D都在正方體左側(cè)面A1ADD1內(nèi)，因此求三棱錐D1-EDF的體積可以轉(zhuǎn)化為求三棱錐F-D1ED的體積問(wèn)題。點(diǎn)E盡管為線段AA1上的動(dòng)點(diǎn)，但是AA1∥DD1，所以△EDD1的面積始終為定值，即等于正方形AiADDi面積的一半。點(diǎn)F為線段B1C上的動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)锽1C∥A1D，所以B1C∥平面A1ADD1，即B1C∥平面D1ED，所以B1C上的所有點(diǎn)到平面DiED的距離都是相等的，因此我們不妨取點(diǎn)F與點(diǎn)B1重合時(shí)進(jìn)行計(jì)算，而B(niǎo)1A1⊥左側(cè)面A1ADD1，所以V Dl-EDF= V F-D1ED= V B1-D1DKD=1/3×1/2×1=1/6。

由上述方法可以看出，此題的求解過(guò)程中進(jìn)行了兩步轉(zhuǎn)化，通過(guò)轉(zhuǎn)化將已知三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為幾何體中特殊的三棱錐的體積問(wèn)題，使底面積和高都變得簡(jiǎn)單易求。

題型四：與變量有關(guān)的函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行的轉(zhuǎn)化

例4 如圖6，在三棱錐S-ABC中， SA=SB=AC=BC=2，AB=2√3，求三棱錐S-ABC的體積V的最大值及此時(shí)SC的長(zhǎng)。

方法1：直接求解。

在此題中，如果不關(guān)注步驟因素的話，我們可以從純幾何問(wèn)題的角度來(lái)考慮。取AB的中點(diǎn)D，連接SD，DC，作SH⊥DC于點(diǎn)H（如圖7），得SH為三棱錐S-ABC的高。由SH≤SD，三角形ABC的面積為定值可以得到，當(dāng)SH=SD時(shí)，三棱錐S-ABC的體積可以取得最大值，所以

純幾何的方法處理起來(lái)比較生動(dòng)、形象，可以根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的極限狀態(tài)，直接得到題目所需要的最值結(jié)果。

方法2：轉(zhuǎn)化求解。

除觀察分析之外，我們還可以采用將幾何問(wèn)題中的變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)方法來(lái)處理。

在實(shí)際問(wèn)題中，需要先確定好變量x，將待求目標(biāo)變量表示為x的某種形式，問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為根據(jù)函數(shù)形式選擇適當(dāng)?shù)那笞钪档姆椒ǎㄈ缍魏瘮?shù)的方法、基本不等式法、單調(diào)性法或換元法等）來(lái)求其最值，并通過(guò)最值條件還原得到此時(shí)變量的值。

題目是載體，思維方法是靈魂。同為化歸與轉(zhuǎn)化思想，在不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，常有不同的應(yīng)用特點(diǎn)和不同的思維習(xí)慣。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師只有幫助學(xué)生不斷經(jīng)歷思考和動(dòng)手過(guò)程，才會(huì)使學(xué)生在總結(jié)、反思的基礎(chǔ)上逐漸形成經(jīng)驗(yàn)。筆者僅對(duì)一部分具體的與體積、表面積相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比解析，旨在展現(xiàn)幾種問(wèn)題中的化歸與轉(zhuǎn)化的思維過(guò)程及應(yīng)用技巧。在日常學(xué)習(xí)過(guò)程中，只有多角度、多層次地不斷積累，才能使學(xué)生真正在應(yīng)用中形成能力，培養(yǎng)有自己特點(diǎn)的思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的好習(xí)慣。

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