萬英和，吳連松，武冰昕，陳 芳，楊金鵬

（1.北京機(jī)械工業(yè)自動(dòng)化研究所有限公司，北京 100120；2.北京萬集科技股份有限公司，北京 100193）

0 引言

隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，尤其是向高速、高精度、重載應(yīng)用領(lǐng)域的拓展，對(duì)機(jī)器人動(dòng)態(tài)特性（振動(dòng)特性）要求越來越高，同時(shí)也要求機(jī)器人更加精密化與輕型化。機(jī)器人結(jié)構(gòu)的輕量化會(huì)導(dǎo)致構(gòu)件的柔性加大，結(jié)構(gòu)固有頻率降低，高速化導(dǎo)致慣性力激振頻率升高，容易造成較大的彈性振動(dòng)與運(yùn)動(dòng)誤差[1]。對(duì)高速重載碼垛機(jī)器人而言，更高的加速度性能與更好的振動(dòng)特性是一對(duì)相互矛盾的量。因此，如何在保證較高的加速度性能的前提下，通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化減小系統(tǒng)振動(dòng)與誤差，進(jìn)而改善振動(dòng)特性，變得尤為重要。

Sunada和Dubowsky將有限單元法成功的應(yīng)用于串聯(lián)機(jī)器人的KED研究[2]，劉鴻飛、馬香峰、王生澤、廖道訓(xùn)等人也為機(jī)器人彈性動(dòng)力學(xué)建模以及振動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)分析做了很多研究[3,4]。梅江平，曹家鑫等人基于靜力學(xué)分析，對(duì)機(jī)器人靜剛度薄弱環(huán)節(jié)提出了優(yōu)化意見[5]。李瑞峰、仝勛偉、趙欣翔、王占軍等人基于模態(tài)分析，以提高低階固有頻率為目的，對(duì)碼垛機(jī)器人進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化[6～8]。這些研究中的結(jié)構(gòu)優(yōu)化主要是以提高靜態(tài)剛度、動(dòng)態(tài)剛度、低階固有頻率等為目的，不能直觀體現(xiàn)出結(jié)構(gòu)優(yōu)化對(duì)于機(jī)器人系統(tǒng)振動(dòng)特性尤其是機(jī)器人末端振動(dòng)的影響。因此本文提出了基于機(jī)器人系統(tǒng)振動(dòng)特性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，在不增加重量的前提下，以減小機(jī)器人末端振動(dòng)為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。以所設(shè)計(jì)的四自由度高速重載碼垛機(jī)器人為研究對(duì)象，建立其柔體動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)其末端振動(dòng)進(jìn)行分析與求解。為使機(jī)器人具有更合理的結(jié)構(gòu)和動(dòng)態(tài)特性，利用三維建模軟件SolidWorks建立碼垛機(jī)器人的三維模型，并導(dǎo)入ANSYS Workbench中進(jìn)行模態(tài)分析，找到機(jī)器人振動(dòng)薄弱的部位，為結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供可靠的理論依據(jù)，針對(duì)振動(dòng)最薄弱的部分提出了一種基于碼垛機(jī)器人末端振動(dòng)特性，對(duì)其構(gòu)件結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的方法。以大臂優(yōu)化為例，通過截面尺寸優(yōu)化，在不增加重量的前提下，使機(jī)器人振動(dòng)特性尤其是碼垛過程中末端振動(dòng)的最大振幅得到一定的改善。

1 碼垛機(jī)器人各構(gòu)件建模

1.1 碼垛機(jī)器人描述

此款碼垛機(jī)器人是一款用于貨物碼垛的新型四自由度高速重載搬運(yùn)機(jī)器人，其實(shí)物圖如圖1所示。碼垛機(jī)器人主要由機(jī)架、腰座、轉(zhuǎn)臂、大臂、小臂、姿態(tài)保持架、大臂連桿1、大臂連桿2、小臂連桿、姿態(tài)保持架等構(gòu)件組成，對(duì)各構(gòu)件進(jìn)行編號(hào)（1-10），碼垛機(jī)器人三維模型如圖2所示。在結(jié)構(gòu)簡圖中建立靜坐標(biāo)系O-XYZ。各主要構(gòu)件之間通過轉(zhuǎn)動(dòng)副進(jìn)行連接。碼垛機(jī)器人主要實(shí)現(xiàn)四種運(yùn)動(dòng)：腰座回轉(zhuǎn)、大臂回轉(zhuǎn)、小臂回轉(zhuǎn)、末端手腕體執(zhí)行器回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。碼垛機(jī)器人含有3個(gè)平行四邊形閉環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。平行四邊形機(jī)構(gòu)Ⅰ、Ⅱ起到保持末端手腕體水平姿態(tài)的作用；含有轉(zhuǎn)臂的平行四邊形機(jī)構(gòu)Ⅲ在保證轉(zhuǎn)臂與小臂具有相同轉(zhuǎn)速的同時(shí)，可以將小臂的驅(qū)動(dòng)電機(jī)安裝到腰座上面，使得機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)性能得到改善[9～11]。

圖1 碼垛機(jī)器人樣機(jī)

圖2 碼垛機(jī)器人三維模型圖

1.2 空間梁單元與機(jī)器人各構(gòu)件建模

對(duì)于圖3所示的空間梁單元[12]，節(jié)點(diǎn)位于兩端，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移與三個(gè)扭轉(zhuǎn)共六個(gè)自由度。

圖3 空間梁單元

圖1所示梁單元運(yùn)動(dòng)微分方程為：

參照梁單元，可以對(duì)碼垛機(jī)器人機(jī)架、腰座、大臂等各構(gòu)件列寫式(1)形式的微分方程，但是由于碼垛機(jī)器人各構(gòu)件形狀較為復(fù)雜，無法直接求解剛度與質(zhì)量矩陣，本文采用ANSYSY軟件對(duì)各構(gòu)件進(jìn)行有限元建模，將復(fù)雜構(gòu)件看成一個(gè)柔性特殊單元（超單元）處理，在軟件中提取其剛度與質(zhì)量矩陣。以機(jī)架為例，其具體分析處理過程可分為如下三個(gè)步驟：

1）將機(jī)架三維模型導(dǎo)入ANSYSY軟件中，對(duì)機(jī)架賦予材料屬性、進(jìn)行網(wǎng)格劃分（選取三維十節(jié)點(diǎn)四面體實(shí)體Solid92單元類型）；

2）將機(jī)架下底面螺栓孔與地面固聯(lián)，并將與腰座連接表面設(shè)置為剛性區(qū)域，最后建立機(jī)架超單元結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

3）求解并提取6×6剛度與質(zhì)量矩陣。

提取的機(jī)架剛度與質(zhì)量矩陣如圖5所示。

圖5 機(jī)架剛度與質(zhì)量矩陣

同理，對(duì)于其他構(gòu)件將其三維模型導(dǎo)入ANSYS中設(shè)置超單元結(jié)構(gòu)并求解，均可以提取6n×6n的質(zhì)量與剛度矩陣，其中n為該構(gòu)件運(yùn)動(dòng)副個(gè)數(shù)。例如對(duì)于2號(hào)構(gòu)件腰座，因其運(yùn)動(dòng)副個(gè)數(shù)為3（與大臂、小臂、連桿連接處有各有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副），因此在ANSYS軟件中可以對(duì)腰座提取18×18的剛度與質(zhì)量矩陣。在求得第j個(gè)構(gòu)件的剛度與質(zhì)量矩陣之后可以列寫其運(yùn)動(dòng)微分方程：

上式中：Mj、Kj、Cj為j構(gòu)件6n×6n的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣；為j構(gòu)件6n×1節(jié)點(diǎn)彈性位移、速度、加速度；Fj為j構(gòu)件所受的所有外力（力矩）。

碼垛機(jī)器人各構(gòu)件材料均為鋼材，在只考慮比例粘性阻尼的前提下，參考文獻(xiàn)[7,13]將阻尼矩陣設(shè)為：

2 碼垛機(jī)器人整機(jī)運(yùn)動(dòng)微分方程與求解

將碼垛機(jī)器人所有構(gòu)件運(yùn)動(dòng)微分方程統(tǒng)一到靜坐標(biāo)系O-XYZ下，并組裝到一起。由式(2)、式(3)可得碼垛機(jī)器人整機(jī)運(yùn)動(dòng)微分方程如下：

本文采用模態(tài)分析法求解碼垛機(jī)器人整機(jī)運(yùn)動(dòng)微分方程。模態(tài)分析方法是利用振型矩陣（系統(tǒng)特征值、特征向量為基礎(chǔ)組成的矩陣），把描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)，從一般的廣義坐標(biāo)變化到主做標(biāo)，把運(yùn)動(dòng)方程變換成一組n個(gè)獨(dú)立自由度方程，求得每個(gè)主做標(biāo)的響應(yīng)，然后，再得到系統(tǒng)在一般廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)[13]。

應(yīng)用模態(tài)分析法對(duì)式(4)進(jìn)行求解可得系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)振動(dòng)表達(dá)式為：

上式中：

其中，[u]為系統(tǒng)特征向量組成的矩陣；對(duì)于初始時(shí)刻節(jié)點(diǎn)位移、速度均為零的碼垛機(jī)器人系統(tǒng)，rη可以表示為時(shí)間的函數(shù)，如下：

上式中，ξ為系統(tǒng)阻尼比，wdr為第r階有阻尼固有頻率；Nr可以表示為時(shí)間的函數(shù)：

至此，碼垛機(jī)器人系統(tǒng)72自由度的強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程求解完畢。由式(5)可以求得機(jī)器人任意節(jié)點(diǎn)振動(dòng)位移。

3 碼垛機(jī)器人模態(tài)分析

將碼垛機(jī)器人三維模型導(dǎo)入ANSYS Workbench中進(jìn)行模態(tài)分析。限于篇幅有限，本文僅給出了兩種典型位姿（機(jī)器人抬舉到最高點(diǎn)、一般碼垛點(diǎn)）下的前兩階固有頻率模態(tài)分析，如圖6所示。

圖6 兩種典型位姿下的前二階振型圖

由圖5分析可知，兩種位姿下，前兩階振型基本相同。第一階模態(tài)表現(xiàn)為大臂、小臂和手腕體在腰座的轉(zhuǎn)動(dòng)方向上整體的搖擺振動(dòng)，其中手腕體處擺動(dòng)最為強(qiáng)烈；第二階模態(tài)主要表現(xiàn)為在豎直平面內(nèi)小臂、手腕體的點(diǎn)頭現(xiàn)象，其中手腕體處點(diǎn)頭現(xiàn)象最為嚴(yán)重。

通過模態(tài)分析以及機(jī)器人實(shí)際碼垛效果來看，碼垛機(jī)器人最容易發(fā)生的振動(dòng)形式是腰座回轉(zhuǎn)過程中機(jī)器人末端手腕體與小臂、大臂等一起繞腰座小幅度擺動(dòng)（振動(dòng)），振動(dòng)形式與模態(tài)分析第一階振型相同。這種振動(dòng)對(duì)于機(jī)器人末端誤差影響很大，嚴(yán)重影響碼垛質(zhì)量的提高。機(jī)器人產(chǎn)生這種振動(dòng)的原因主要是由于大臂與小臂連接處的關(guān)節(jié)柔性以及小臂、大臂桿件柔性和手腕體的柔性引起的。

4 碼垛機(jī)器人結(jié)構(gòu)優(yōu)化

由“3碼垛機(jī)器人模態(tài)分析”可知，腰座回轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的振動(dòng)形式不僅對(duì)碼垛質(zhì)量影響很大，并且是最容易發(fā)生的振動(dòng)。因此，針對(duì)腰座回轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的振動(dòng)，進(jìn)行重點(diǎn)研究，并基于機(jī)器人系統(tǒng)末端振動(dòng)方程，在不增加重量的前提下，以減小機(jī)器人末端振動(dòng)為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

首先給定機(jī)器人運(yùn)動(dòng)來模擬機(jī)器人碼垛過程中腰座回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：機(jī)器人在圖1所示的位姿下，只讓腰座驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)，其他驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)不動(dòng)，設(shè)腰座初始時(shí)刻轉(zhuǎn)角為零，機(jī)器人繞腰座轉(zhuǎn)動(dòng)過程角加速度表達(dá)式如下：

由給定的運(yùn)動(dòng)以及式(5)可以求得機(jī)器人末端振動(dòng)方程?；跈C(jī)器人系統(tǒng)末端振動(dòng)方程，對(duì)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。具體優(yōu)化過程如圖7所示。

圖7 機(jī)器人結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程

圖8 大臂三維模型截面圖

限于篇幅有限，本文以大臂截面尺寸參數(shù)優(yōu)化過程為例，對(duì)碼垛機(jī)器人結(jié)構(gòu)優(yōu)化進(jìn)行說明。大臂結(jié)構(gòu)比較簡單，其沿大臂長度方向截面圖，如圖8所示，大臂截面尺寸主要有：大臂高度h、寬度b、側(cè)板厚度t1、上下板厚度t2。

首先研究大臂截面尺寸對(duì)于機(jī)器人末端振動(dòng)最大振幅的影響，在大臂截面四個(gè)尺寸大臂高度h、寬度b、側(cè)板厚度t1、上下板厚度t2中，只改變單一變量，看其對(duì)機(jī)器人末端振動(dòng)最大振幅的影響，截面尺寸參數(shù)初始值如表1所示。由前面給定的腰座回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)以及式(5)，可以求得末端振動(dòng)最大振幅與大臂截面尺寸之間的關(guān)系，如圖9所示。

圖8 大臂截面尺寸與末端最大振幅關(guān)系

由圖9可知，大臂側(cè)板厚度對(duì)末端振動(dòng)最大振幅影響最顯著，隨著大臂厚度增加其影響效果逐漸減小。上下板厚度對(duì)末端振動(dòng)最大振幅影響非常微弱。大臂高度、寬度的增加都會(huì)使末端振動(dòng)減小。對(duì)于大臂截面尺寸，為了避免優(yōu)化的盲目性，對(duì)截面尺寸優(yōu)化參數(shù)設(shè)置一定的優(yōu)化范圍，如表1所示。

表1 大臂截面尺寸參數(shù)初始值與優(yōu)化范圍

按照?qǐng)D7所示優(yōu)化過程，在不增加大臂重量的前提下，按照表1所示的截面尺寸優(yōu)化區(qū)間，以減小系統(tǒng)末端振動(dòng)為優(yōu)化目標(biāo)，在相應(yīng)MATLAB程序中可以得出一組最優(yōu)解如下：b=296mm；h=281mm；t1=6mm；t2=9.5mm；

優(yōu)化前后碼垛機(jī)器人末端振動(dòng)隨時(shí)間變化關(guān)系如圖10所示。

圖10 優(yōu)化前后末端振動(dòng)隨時(shí)間變化情況

分析圖10可知，優(yōu)化之前腰座回轉(zhuǎn)過程中機(jī)器人末端最大振幅為14.21mm，運(yùn)動(dòng)停止后末端最大余振振幅為0.41mm，在1.0s之后停止運(yùn)動(dòng)；優(yōu)化之后腰座回轉(zhuǎn)過程中機(jī)器人末端最大振幅為12.79mm，運(yùn)動(dòng)停止后末端最大余振振幅為0.35mm，在0.85s之后停止運(yùn)動(dòng)；

機(jī)器人大臂在質(zhì)量不增加的情況下，通過優(yōu)化使系統(tǒng)末端最大振幅減小了10.02%，同時(shí)在碼垛機(jī)器人腰座運(yùn)動(dòng)停止后，末端余振最大振幅減小12.5%，并且在更短的時(shí)間內(nèi)停止余振，優(yōu)化效果明顯。

5 結(jié)論

本文以所設(shè)計(jì)的四自由度高速重載碼垛機(jī)器人為研究對(duì)象，基于有限元建模法與AYSYS軟件建立了其柔體動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)其末端振動(dòng)進(jìn)行了分析與求解。對(duì)整機(jī)進(jìn)行模態(tài)分析，找到機(jī)器人振動(dòng)薄弱的部位，針對(duì)這些振動(dòng)薄弱部位提出了一種基于碼垛機(jī)器人末端振動(dòng)特性，對(duì)其構(gòu)件結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的方法。以大臂截面尺寸優(yōu)化為例，在給定運(yùn)動(dòng)下，首先研究了大臂截面尺寸對(duì)于末端振動(dòng)最大振幅的影響，之后對(duì)截面尺寸進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化之后的碼垛機(jī)器人振動(dòng)得到了明顯改善。這也證明了該優(yōu)化方法的可行性與正確性。這種方法對(duì)高速重載高精度的機(jī)器人結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化具有普遍應(yīng)用意義。