劉 沖

(安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133)

在很多積分問題中，古典的求解積分方法無論在理論上還是在解決實際問題中都起了很大的作用，但由于積分函數(shù)的復(fù)雜性，古典積分公式并不能完全解決定積分的計算問題。由此可見，通過原函數(shù)來計算積分有它的局限性。隨著計算機(jī)和相應(yīng)計算軟件的飛速發(fā)展，積分?jǐn)?shù)值計算方法[1-2]已成為很多應(yīng)用專業(yè)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，也是數(shù)學(xué)和計算機(jī)等計算方向的大學(xué)本科生必學(xué)的內(nèi)容。像Newton-Cotes公式、高斯公式、龍貝格公式是數(shù)值積分課程教學(xué)的重點，而方法原理及公式推導(dǎo)通常繁瑣復(fù)雜，若結(jié)合圖形和實例演示則能達(dá)到事半功倍的效果。對于圖形計算演示，Matlab軟件[3-4]具有很強(qiáng)的實用性，它能快捷處理數(shù)學(xué)計算問題，其強(qiáng)大的繪圖功能和現(xiàn)成的數(shù)學(xué)計算函數(shù)庫。在數(shù)值積分教學(xué)中有重要應(yīng)用。

本文主要運用Matlab軟件輔助數(shù)值積分解法原理、數(shù)值積分方法的教學(xué)，以達(dá)到更好的教學(xué)效果。

1 回歸定義——機(jī)械求積

函數(shù)積分有很多常用的積分公式，但實際絕大數(shù)積分問題都不能用現(xiàn)成的積分公式精確求解，所以要尋求一些近似方法。這里根據(jù)積分思想，闡述積分公式計算的難點，由積分定義式引出數(shù)值積分思想，結(jié)合實例，運用Matlab推演簡單的數(shù)值積分過程，這樣學(xué)生很容易理解數(shù)值積分概念。

若一元函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x)，可用Newton-Leibnitz公式

求定積分的值，而F(x)很難得到，這可回歸到積分的原始定義：

其中N=(b-a)/Δx。由(1)式的極限形式可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的積分實際上可認(rèn)為將區(qū)間化成無數(shù)小區(qū)間Δx，求函數(shù)f(x)覆蓋每個小區(qū)間的矩形面積之和，則極限體現(xiàn)為區(qū)間足夠小。從數(shù)值計算角度而言，極限可看成近似達(dá)到預(yù)期點的思想，即滿足一定的精度要求，結(jié)果就認(rèn)為到達(dá)極限。

根據(jù)(1)式，利用Matlab編程，對劃分不同大小區(qū)間所得積分值如表1，并通過圖形演示積分原理如圖1～4。

由圖1～4可知，當(dāng)區(qū)間長度為0.02時，積分值基本上和原積分值相等，相應(yīng)誤差如表1所示。

表1 不同區(qū)間長度積分值比較（真實積分值為）

表1 不同區(qū)間長度積分值比較（真實積分值為）

項目數(shù)值積分值誤差n=10 1.515 9 0.054 9 n=50 1.559 5 0.011 3 n=100 1.565 1 0.005 7 n=1 000 1.570 7 0.000 1

圖2 10個區(qū)間積分覆蓋面積

圖3 50個區(qū)間積分覆蓋面積

圖4 100個區(qū)間積分覆蓋面積

從表1可看出，當(dāng)區(qū)間步長Δx足夠小時，(1)式這種機(jī)械型積分基本上接近真實值，那是不是說只要區(qū)間步長Δx足夠小，所有的積分通過(1)式都可近似計算出來？這顯然不行，因為在實際問題中可能積分函數(shù)f(x)的數(shù)學(xué)形式不存在，僅知道幾個測試點的函數(shù)值，或者積分函數(shù)很復(fù)雜，這樣就很難用(1)式達(dá)到計算積分的目的，我們必須運用其他數(shù)值積分方法，其中插值型積分就是一個很好的方法。

2 對比分析——插值型積分

插值型積分是指用一近似函數(shù)φ(x)來代替原函數(shù)f(x)進(jìn)行積分。在區(qū)間[a,b]上，近似函數(shù)φ(x)構(gòu)造方法很多，不同的構(gòu)造函數(shù)對應(yīng)不同的積分方法。這里通過幾類積分方法對比分析，讓學(xué)生掌握插值型積分公式的構(gòu)造原理，同時也幫助學(xué)生對插值理論知識進(jìn)行鞏固。

插值求積公式思想：設(shè)已知f(x)在區(qū)間[a,b]上對應(yīng)的節(jié)點xi(i=0,1,…,n)有函數(shù)值f(xi)，構(gòu)造n次拉格朗日插值多項式

分別利用上述4種方法對例1在區(qū)間[-1,2]進(jìn)行求積，運用Matlab繪圖演示每種方法構(gòu)造思想，對比計算結(jié)果，分析計算誤差。

圖5為原積分覆蓋面，圖6為梯形公式方法的結(jié)果，利用插值方法構(gòu)造一條近似直線代替函數(shù)曲線積分，用梯形覆蓋面積作為原積分面積，很明顯誤差較大；圖7為辛普森公式方法的結(jié)果是利用插值方法構(gòu)造一條二次多項式函數(shù)代替函數(shù)積分，精度比線性的好，由于高次插值函數(shù)震蕩的局限性，一般僅用低次插值函數(shù)近似；圖8～10是將積分區(qū)間復(fù)化成很多小區(qū)間，然后再在每個小區(qū)間上利用梯形公式，可見細(xì)化區(qū)間也能達(dá)到提高精度的目的。龍貝格方法是根據(jù)圖8和圖9或圖9和圖10構(gòu)造誤差補(bǔ)償，縮減復(fù)化區(qū)間數(shù)，從而減少計算量。幾類方法相應(yīng)誤差如表2所示。

圖5 原積分覆蓋面

圖6 梯形公式積分覆蓋面

圖7 辛普森公式積分覆蓋面

圖8 n=3復(fù)化梯形公式積分覆蓋面

圖9 n=6復(fù)化梯形公式積分覆蓋面

圖10 n=12復(fù)化梯形公式積分覆蓋面

表2 不同方法積分值比較（真實值1.892 5）

通過實例，對比不同方法計算結(jié)果和誤差，能讓學(xué)生明白，梯形和辛普森公式計算簡單，精度不高，復(fù)化形式梯形公式和龍貝格公式計算精度高，但計算量比較大，所以對于積分方法而言，沒有絕對的好方法和差方法，只有針對具體問題談?wù)撃承┓椒ê喜缓线m。

3 深入運用——差分變步長積分

從表2幾種方法的對比結(jié)果可知，只要積分精度達(dá)到要求，方法的運用是越簡單越好，但往往很多問題都需要高精度的計算結(jié)果，因此更多的時候需要進(jìn)行積分方法改進(jìn)。改進(jìn)的方法通常體現(xiàn)在積分方法構(gòu)造和積分步長的選取兩方面。這里針對復(fù)雜的積分函數(shù)提出差分變步長的思想。

定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的等距節(jié)點為 xi∈[a,b],i=0,1,…,n，則函數(shù)f(x)在等距節(jié)點上的值為y0,y1,…,yn，稱Δyi=yi-yi-1為函數(shù)f(x)在[xi-1,xi]上的差分。

定義2 函數(shù)f(x)在[xi-1,xi+1]上的差分為Δyi,Δyi+1，則稱

圖11 原積分面積

為函數(shù)在區(qū)間[xi-1,xi+1]上的差分比。

根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的差分比σi可知，若函數(shù)變化幅度不是很大，差分比σi近似為1；反之，差分比σi的絕對值遠(yuǎn)大于或小于1，則f(x)在區(qū)間[xi-1,xi+1]上積分需要進(jìn)一步細(xì)化以獲得高精度。下面以具體實例分析差分變步長積分方法。

通過Matlab繪圖可知，積分函數(shù)在區(qū)間[0.11,0.3]上變化很大，采用10等分常規(guī)等距變步長的方法，誤差較大，則通過計算區(qū)間[0.11,2]上相鄰兩小區(qū)間的差分比可知，在區(qū)間[0.11,0.389]上的差分比較大，因此可僅對區(qū)間[0.11,0.389]作進(jìn)一步10倍細(xì)化即可。該方法對比文獻(xiàn)[1-2]中出現(xiàn)的梯形公式、辛普森公式、復(fù)化梯形、龍貝格等方法面積覆蓋圖形如圖11～16所示，幾類方法計算結(jié)果和誤差如表3表示。

圖12 梯形積分面積

圖13 辛普森公式積分面積

圖14 n=15復(fù)化梯形公式積分面積

圖15 n=30復(fù)化梯形公式積分面積

圖16 n=30差分變步長積分面積

表3 差分變步長方法與不同方法積分值比較（真實值1.297 5）

差分變步長方法主要是利用差分比的變化幅度來判斷細(xì)化的區(qū)間，由圖11～16可知，特別對于函數(shù)在區(qū)間變化幅度很大時，相同的計算量，差分變步長方法積分誤差明顯小很多。

4 結(jié)束語

本文主要應(yīng)用Matlab軟件編程計算和圖像處理功能演示數(shù)值積分思想，運用實例對比分析不同插值積分方法的構(gòu)造思路，并利用差分變步長的思想對積分方法作了進(jìn)一步改進(jìn)，使得知識點的講解更加直觀。通過圖形直觀地呈現(xiàn)解題原理，把Matlab軟件處理數(shù)學(xué)問題強(qiáng)大能力和數(shù)學(xué)方法原理相結(jié)合，能讓學(xué)生更容易理解積分概念，掌握數(shù)值積分方法的實現(xiàn)和運用，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，更好地達(dá)到學(xué)以致用的目的。