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        關(guān)于LTI系統(tǒng)完全響應(yīng)的時(shí)域解法分析

        2018-12-28 06:48:40鄭江云
        關(guān)鍵詞:方法系統(tǒng)

        鄭江云

        (安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院,安徽安慶246133)

        沖激函數(shù)平衡法(或稱沖激函數(shù)匹配法)是線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(LTI)時(shí)域分析的重要方法,該方法既可用于求由0-時(shí)刻到0+時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)換,也可用于直接求解各種激勵(lì)作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),一些教材和教學(xué)參考書(shū)都介紹了這種方法[1-2],但都不詳細(xì),給教和學(xué)帶來(lái)了較大的困惑。文獻(xiàn)[3]介紹的是一種代入方式;文獻(xiàn)[4]對(duì)沖擊函數(shù)匹配法的兩種計(jì)算方式?jīng)]有從理論上進(jìn)行說(shuō)明,也沒(méi)有介紹初始狀態(tài)不等于零的完全響應(yīng)的求解過(guò)程;文獻(xiàn)[5]只給出了系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的幾種方法,沒(méi)有涉及有初始值的完全響應(yīng)的求解。因此,本文從理論上闡明沖擊函數(shù)匹配法的兩種應(yīng)用,并通過(guò)典型例題完全響應(yīng)的求解,使沖激函數(shù)匹配法的解法完整明朗。

        1 集總參數(shù)線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)模型

        集總參數(shù)線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為常系數(shù)線性常微分方程:

        (1)式中,r(t)為系統(tǒng)的響應(yīng),e(t)為輸入激勵(lì)信號(hào)。由時(shí)域經(jīng)典解法可知,(1)式的完全解由齊次解和特解組成,齊次解rh(t)滿足(1)式右端激勵(lì)e(t)及其各階導(dǎo)數(shù)都為零的齊次方程:

        式中,rh(t)解的形式與特征方程的特征根有關(guān),它有n個(gè)待定系數(shù)。

        特解rp(t)的形式與激勵(lì)函數(shù)形式有關(guān)。將激勵(lì)e(t)代入(1)式的右端,觀察自由項(xiàng)試選特解函數(shù)式,代入后求得特解函數(shù)式中的待定系數(shù),即可給出特解rp(t),則完全解:

        (3)式中齊次解的n個(gè)系數(shù)仍然是待定的。下面分別介紹求解待定系數(shù)的兩種方法。

        2 由0-狀態(tài)導(dǎo)出0+狀態(tài)求解待定系數(shù)

        一般激勵(lì)是從t=0時(shí)刻加入,這樣系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間定為0+≤t<∞,系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入之前有一組狀態(tài),定義為

        (4)式簡(jiǎn)稱0-狀態(tài)。在激勵(lì)信號(hào)e(t)加入之后,由于受到激勵(lì)的影響,這組狀態(tài)從t=0-到t=0+時(shí)刻可能發(fā)生變化,確定(3)式中未知數(shù)是由響應(yīng)區(qū)間內(nèi)t=0+時(shí)刻的一組狀態(tài)確定的,如下所示:簡(jiǎn)稱0+狀態(tài)。

        (1)式響應(yīng)r(t)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒(méi)有跳變,決定于微分方程的右端自由項(xiàng)是否包含δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)。如果包含有δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù),說(shuō)明相應(yīng)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)發(fā)生了改變,這時(shí)為了確定0+時(shí)刻的值,可以用沖激函數(shù)匹配法。下面通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明。

        例1給定系統(tǒng)微分方程:

        其中,(9)~(11)式中0-<t<0+,Δu(t)表示0-到0+相對(duì)單位跳變函數(shù)[6],所以Δu(t)的積分等于零。將(9)~(11)式代入(8)式:

        由(12)式得出a=-3。由(10)、(11)式得

        即得r(0+)=1+1=2,r'( 0+)=3-3=0,將這兩個(gè)值代入(7)式得方程組:

        3 系數(shù)待定的完全解直接代入法求零狀態(tài)響應(yīng)

        上節(jié)介紹的經(jīng)典方法是嚴(yán)格按照步驟從0-狀態(tài)導(dǎo)出0+狀態(tài),再由0+狀態(tài)求出待定系數(shù),下面介紹的方法省去求0+狀態(tài)的過(guò)程,使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

        例2仍然以例1表示的系統(tǒng)為例,介紹求解過(guò)程。

        解(7)式中的r(t)是(6)式表示系統(tǒng)的完全解,對(duì)r(t)逐次求導(dǎo):

        將(7)、(15)、(16)式和e(t)=u(t) 代入(6)式得:

        但(18)式和例1中求得的結(jié)果(14)式不一樣,難道哪種方法是錯(cuò)的嗎?是的,方法2在解的過(guò)程都沒(méi)有用到0-狀態(tài)的值,所以它求得的僅僅是零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t),要想求出完全響應(yīng),還要求出零輸入響應(yīng)rzi(t),而rzi(t)的求法簡(jiǎn)單,它就是微分方程的齊次解,又因?yàn)闆](méi)有輸入,電路狀態(tài)不會(huì)發(fā)生躍變,即0+狀態(tài)和0-狀態(tài)相等。下面求方程(6)所示系統(tǒng)的rzi(t),

        完全解應(yīng)該是(18)和(20)式相加的結(jié)果,即(6)式所示系統(tǒng)的完全響應(yīng)為

        (21)式所示結(jié)果與(14)式就一致了,這表明兩種方法都是正確有效的。顯然,例2的直接代入法求解過(guò)程比第一種方法簡(jiǎn)單,不需要從0-狀態(tài)求出0+狀態(tài),但直接代入法只能求出零狀態(tài)響應(yīng),要求出有初始值的完全響應(yīng),必須加上零輸入響應(yīng)。第一種方法解法雖然繁瑣一些,但它求出的結(jié)果直接就是完全響應(yīng)。

        4 結(jié)束語(yǔ)

        通過(guò)兩個(gè)例題的求解過(guò)程介紹了有初始值的完全響應(yīng)的解法,兩種方法雖然都用到了沖激函數(shù)平衡法,但思路是不同的。例1是將輸入函數(shù)代入系統(tǒng)方程的右端,根據(jù)右端的特點(diǎn)反推系統(tǒng)輸出r(t)的最高階導(dǎo)數(shù)在t=0+時(shí)刻的函數(shù)形式,然后將最高階導(dǎo)數(shù)逐次積分直到響應(yīng)r(t),并將這些表達(dá)式代入系統(tǒng)方程,再結(jié)合0-狀態(tài)的值就可以求出0+狀態(tài),最后由0+狀態(tài)求出完全解中的待定系數(shù);例2中的方法是先將完全響應(yīng)分解為零輸入和零狀態(tài)響應(yīng),零輸入響應(yīng)根據(jù)初始值就可以求解,零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)是由齊次解和特解組成,將rzs(t)逐次求導(dǎo)直到系統(tǒng)方程中響應(yīng)的最高階函數(shù),再把這些表達(dá)式全部代入系統(tǒng)方程,根據(jù)沖激系數(shù)平衡法,直接求出rzs(t)中的待定系數(shù)。

        0-狀態(tài)到0+狀態(tài)的躍變難以理解,求解過(guò)程復(fù)雜,而只要將完全響應(yīng)分解為零輸入和零狀態(tài)響應(yīng),用例2中介紹的將系數(shù)待定的完全解直接代入求零狀態(tài)響應(yīng),所以在教學(xué)和解題過(guò)程中盡量避免直接求出0+狀態(tài)的方法,可以避免介紹一些難以理解的概念。

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