李德樂 林立

【摘要】本文通過群的同構(gòu)分類的觀點(diǎn)，分析了60階以下5階群的生成關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】有限群 同構(gòu)分類 生成關(guān)系

【Abstract】In this thesis， we concretely analyze the generated relations by isomorphic classification of finite groups of lower orders（less than 61 orders ）.

【Keywords】Finite group；Isomorphic classification；Generated relations

【中圖分類號】G71 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）46-0112-02

引理1：（p，p ，pq結(jié)構(gòu)）1.G的階是p，是循環(huán)群，且a =1。

2.G的階是p ，

1）循環(huán)群，a =1，

2）初等交換群，a =b =1，ab=ba.

3.G的階是pq，

1）循環(huán)群，a =1，

2）非交換群，a =b =1，a ba=ba ，r ≡1（mod q），r≠1，p|q-1.

引理2：（p 階群結(jié)構(gòu)定理）p 階群必交換，或者是p 階循環(huán)群或者是（p，p）型初等交換群。

當(dāng)n=5時(shí)，G為循環(huán)群。

當(dāng)n=10，15，25，35，55時(shí)，G為交換群。

引理3：（p q階群結(jié)構(gòu)）設(shè)G是p q階有限群，p ，q是素?cái)?shù)，P∈Sylp（G），Q∈Sylp（G），

1）若p>q則P？茳G，

2）若p

當(dāng)n=20=2 ×5時(shí)

G=

G=

G=（Frobenius-群），

G=（二面體群），

G=（廣義四元群），

當(dāng)n=50=5 ×2時(shí)，

G=

G=

G=，

G=（二面體群），

G=

當(dāng)n=45=3 ×5時(shí)，

G=

G=

引理4：（pqr階群結(jié)構(gòu)）設(shè)G是pqr階有限群，p，q，r是素?cái)?shù)，且p

G′是G換位子群，|G′|=qr，則（1）不屬于G′的元均為p階元，（2）若M是G的極小生成集，|M∩G′|=？覫，則|M|=2。

當(dāng)n=30=2×3×5時(shí)，

G=

G=

G=，

G=，

引理5：（p q群（p

當(dāng)n=40=2 ×5時(shí)

G=

G=

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

引理6：（60階群結(jié)構(gòu)）設(shè)G是60階有限群，P是Sylp5（G），

若P正規(guī)，則G有11種互不同構(gòu)的類型，若P不正規(guī)則群G？艿A(chǔ)5。

當(dāng)n=60=2 ×3×5時(shí)

G=

G=

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

G=，

參考文獻(xiàn)：

[1]李德樂，曾吉文.《低階群的特征標(biāo)表 》，廈門大學(xué)，2008年6月

[2]賀艷妮，魏貴民.《若干低階群的特征標(biāo)表》，成都理工大學(xué)，2011年5月

[3]陳松良，歐陽建新，李驚雷.《論60階群的構(gòu)造》，2012年3月第34卷第2期