陳秀

【摘要】本文從高中數(shù)學(xué)課堂對正弦定理的學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用一般化為特殊的思想用三種方法證明了正弦定理，幫助學(xué)生理解和更好的應(yīng)用定理。

【關(guān)鍵詞】正弦定理的證明 向量法 外接圓

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）46-0111-01

正弦定理是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)人教A版必修5[1]第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，是反應(yīng)三角形中邊角關(guān)系的重要定理，是解決可以轉(zhuǎn)化為三角形計算模型的一些測量、設(shè)計等實際問題的重要手段。在學(xué)生已經(jīng)具備平面幾何知識、解直角三角形、任意角的三角函數(shù)概念和平面向量等知識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)具有一定的觀察、分析以及解決問題的能力但是對知識的遷移能力還尚不足，因此有必要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并嘗試證明這個定理，實現(xiàn)知識的有效融合，提高課堂教學(xué)的有效性[2]。

正弦定理：在三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 = = .

一、作高法

學(xué)生初中已學(xué)解直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生從最熟悉的直角三角形中發(fā)現(xiàn)正弦定理。

①在RtΔABC中， sinA= ，sinB= ，sinC=1= 。

所以，C= ，B= ，C=

從而，在RtΔABC中，有 = = .

②在銳角三角形中，引導(dǎo)學(xué)生將銳角轉(zhuǎn)化為直角，即作高，

同時注意尋找三角形中未被破壞的元素。

在銳角ΔABC中，作邊BC上的高是AD，有AD=csinB，AD=bsinC。

由此，得 = ，

同理可得 = ，

故有 = = ，從而這個結(jié)論在銳角三角形中成立。

③當(dāng)ΔABC是鈍角三角形時，過點C作AB邊上的高，交AB的延長線于點D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CD=asin∠CBD=asin∠ABC，CD=bsinA。

由此，得 = ，同理可得 =

故有 = = .

綜上，在ABC中， = = 成立。

從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即 = = .

二、外接圓法

在△ABC中，作△ABC的外接圓，O為圓心，連結(jié)BO并延長交圓于C′，設(shè)BC′=2R.

根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可得∠BAC′=90°，∠C =∠C′，

∴sinC=sinB′= ，∴ =2R

同理，可得 =2R， =2R.

∴ = = =2R.

從而，對于任意的三角形，我們有 = = =2R

三、向量法

向量是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，可利用向量的數(shù)量積來證明。

在△ABC中， 作邊BC上的高是AD.

∵AD⊥BC，∴ · =0

又 · = ·（ - ）= · - ·

=| |·b·cos（ -C）-| |·c·cos（ -B）=0

所以b·sinC-csinB=0

從而 = ，同理可證 =

故有 = = .

以上給出了正弦定理的三種證明方法，雖然每種證明方法利用不同的數(shù)學(xué)知識，但是仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)有一條紐帶一直聯(lián)系在正弦定理的各種證明方法之間，這條紐帶就是：構(gòu)造直角三角形。從這其中我們可以發(fā)現(xiàn)直角三角形它那不可替代的特殊作用。這里蘊含了重要的數(shù)學(xué)思想：把一般的問題特殊化，通過對特殊情況的研究，從而推導(dǎo)出一般結(jié)論。另一個方面，任何問題都是建構(gòu)在學(xué)生已學(xué)的知識之上的，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用已學(xué)的知識解決新知識的問題。從教學(xué)實際上來看，我們可以從知識的最近生長點即三角函數(shù)與解直角三角形來引入解斜三角形，因此雖然作高法并不是最簡單的證明，但它更符合學(xué)生的認(rèn)知水平，而且正弦定理最終是為解三角形實際問題服務(wù)的，讓學(xué)生從解決實際問題入手，能培養(yǎng)學(xué)生實際應(yīng)用能力，正是基于從這個角度的思考，在實際上課的過程中，使用這種方法引入，可能更容易被學(xué)生接受。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5（人教A版） [2]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）