房寧志 夏曉舟 章 青

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院 南京 211100)

0 引 言

混凝土微觀結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)[1-2]和數(shù)值模擬[3-4]結(jié)果均表明：混凝土中骨料和水泥砂漿基體之間存在著物理力學(xué)性能截然不同的界面過渡層.界面過渡區(qū)對(duì)混凝土材料的宏觀力學(xué)性能及其破壞過程都有很大影響.考慮到界面過渡區(qū)對(duì)混凝土宏觀力學(xué)性能的決定性影響，數(shù)值模擬必須在細(xì)觀層面上展示混凝土內(nèi)部骨料界面過渡區(qū)的弱連接行為.最直觀的策略就是在骨料和水泥砂漿之間嵌入黏聚單元(cohesive element)[5]，并賦予黏聚單元的力-分離本構(gòu)行為，以實(shí)現(xiàn)界面過渡區(qū)的黏聚脫開模擬；但嵌入cohesive單元的方法涉及復(fù)雜的網(wǎng)格剖分和嵌入處理.基于擴(kuò)展有限元方法[6]中材料內(nèi)部的物理界面(含裂紋)的演變過程可在固定的有限元網(wǎng)格下實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)，本文在擴(kuò)展有限元法(XFEM)的框架下，引入強(qiáng)間斷的位移擴(kuò)充形函數(shù)以及界面力-界面相對(duì)位移的本構(gòu)描述來反映界面過渡區(qū)的傳力和變形特點(diǎn)[7]，建立混凝土試樣的界面過渡區(qū)擴(kuò)展有限元模型，以實(shí)現(xiàn)混凝土試樣在荷載作用下界面過渡區(qū)從粘聚到逐步脫開的全過程仿真.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行平均化處理，估算出混凝土材料的宏觀體積模量和宏觀剪切模量，并進(jìn)一步探究界面過渡區(qū)的力學(xué)行為對(duì)混凝土的宏觀力學(xué)特性的影響規(guī)律.

1 混凝土細(xì)觀擴(kuò)展有限元法建模

1.1 單元位移模式

XFEM的核心思想是在傳統(tǒng)有限元法的單元位移模式中引入能夠反映裂紋或材料界面對(duì)變形影響的擴(kuò)充項(xiàng)，即

(1)

式中：x為空間坐標(biāo)；u為單元內(nèi)x點(diǎn)的位移；NI為標(biāo)準(zhǔn)形函數(shù)；uI為單元結(jié)點(diǎn)位移；φJ(rèn)為反映不連續(xù)性的擴(kuò)充形函數(shù)；qJ為加強(qiáng)結(jié)點(diǎn)的附加位移.對(duì)于混凝土內(nèi)部界面過渡區(qū)，大部分學(xué)者按弱連續(xù)模式定義其擴(kuò)充形函數(shù)[8]為

φJ(rèn)=NJf(x)

(2)

式中：f(x)是水平集函數(shù)，定義為

(3)

圖1 貫穿單元

為此，本文采用強(qiáng)不連續(xù)的位移模式來反映界面過渡區(qū)的相對(duì)位移，其擴(kuò)充形函數(shù)定義為

φJ(rèn)=NJH(f(x))

(4)

式中：H(x)為階躍函數(shù)，定義為

(5)

這種強(qiáng)不連續(xù)的位移模式要求界面過渡區(qū)的本構(gòu)模型必須納入到界面力-界面相對(duì)位移關(guān)系的框架下進(jìn)行描述.

1.2 界面過渡區(qū)的粘聚脫開行為

當(dāng)界面應(yīng)力達(dá)到界面強(qiáng)度時(shí)，界面開始損傷，進(jìn)入界面斷裂能釋放階段，至完全脫開，界面處的應(yīng)力為零.與裂紋不同的是：界面處位移雖然不連續(xù)，但能傳遞力，假定骨料界面力-界面相對(duì)位移滿足雙線性關(guān)系，見圖2，引入損傷變量，使雙線性關(guān)系統(tǒng)一成一個(gè)表達(dá)形式，即

(6)

(7)

圖2 界面力與界面相對(duì)位移之間的關(guān)系

1.3 反映界面過渡區(qū)特性的擴(kuò)展有限元列式

1.3.1控制方程

(8)

圖3 界面問題中的各類邊界條件示意

1.3.2積分弱解形式

試探函數(shù)空間定義為

(9)

測(cè)試函數(shù)(權(quán)函數(shù))空間定義為

U0={δu(x)|δu(x)∈C0,δu(x)=0

(10)

代入幾何方程和本構(gòu)方程，則弱解形式可表述為

(11)

式中：D為彈性矩陣.

1.3.3區(qū)域離散化

對(duì)式(11)進(jìn)行區(qū)域離散化，即

(12)

式中：Ne為單元總數(shù)目；[u]為骨料界面相對(duì)位移.根據(jù)位移模式(1)和式(4)，獲得

[u]=nA(uA-uB)=

nANae(h(d(xA))-h(d(xB)))

(13)

將式(1)和(13)式代入式(12)，獲得

(Nφ)TF)dΩ+

gDcohnAN(h(d(xA))-h(d(xB))aedΓ=0]

(14)

將單元結(jié)點(diǎn)自由度用結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)自由度為

ue=guu,ae=gaa

(15)

式中：gu,ga為選擇矩陣.所以式(14)化為

(16)

令：

所以，離散方程的弱解形式(15)式可寫為

δW=δuT(Kuuu+Kuaa-fext)+

(17)

因?yàn)棣膗、δa是任意的，所以式(17)等價(jià)為

(18)

化為矩陣形式：

(19)

由于骨料界面力與界面位移之間的關(guān)系是非線性的，因此上式改為增量形式，即

(20)

1.4 單元積分方案

對(duì)于含界面過渡區(qū)的擴(kuò)展有限元單元，由于涉及骨料和水泥砂漿等多種材料，單元積分不能按照高斯積分的策略進(jìn)行，即便是加密高斯積分點(diǎn)[9]，也會(huì)引起較大的積分誤差，而必須按材料子域進(jìn)行積分[10-11].本文采用材料子域的三角形子劃分策略，在每個(gè)三角形子劃分中按Hammer積分進(jìn)行，見圖4.

圖4 三角形子域積分示意圖

當(dāng)界面過渡區(qū)與網(wǎng)格邊界或網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)靠得很近時(shí)，其子劃分可能會(huì)導(dǎo)致某些三角形面積過小或形狀過于尖銳，從而降低積分精度，為此，本文采用了網(wǎng)格局部調(diào)整的策略以確保高精度積分，見圖5.

圖5 網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)調(diào)整

2 數(shù)值算例

2.1 中心含圓骨料的平板分析

2.1.1可靠性驗(yàn)證

圖6 圓夾雜板單軸拉伸

q=3 MPa時(shí)兩種數(shù)值方法得到的豎向應(yīng)變?cè)茍D見圖7，由圖7可知，二者分布基本相同，最大豎向應(yīng)變分別為1.38×10-4和1.37×10-4，相差甚微.q=21 MPa時(shí)骨料界面過渡區(qū)的法向相對(duì)位移見圖8，由圖8可知，骨料的頂部和底部已脫開，二者的法向相對(duì)位移也十分接近.驗(yàn)證了本文擴(kuò)展有限元模型的可靠性.

圖7 豎向應(yīng)變分布對(duì)比

圖8 圓形骨料界面過渡區(qū)的法向相對(duì)位移

2.1.2界面過渡區(qū)的損傷脫開狀態(tài)分析

為追蹤界面過渡區(qū)的損傷脫開過程，對(duì)圖6中平板上部逐步施加均布荷載q.取q=6，12和21 MPa時(shí)的豎向應(yīng)變?cè)茍D，見圖9，由圖9可知，隨著均布荷載的增加，界面過渡區(qū)相對(duì)位移逐漸w增大，變形局部化特征愈發(fā)明顯，當(dāng)q達(dá)到21 MPa時(shí)，骨料頂部和底部的界面過渡區(qū)出現(xiàn)大范圍的脫開，高應(yīng)變區(qū)集中在骨料周圍.

圖9 應(yīng)變隨荷載變化的演變

在荷載q=21 MPa作用下界面過渡區(qū)的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力見圖10，由圖10可知，法向應(yīng)力呈對(duì)稱分布，而切向應(yīng)力呈反對(duì)稱分布，且頂部大部分應(yīng)力都已釋放，處于完全脫開狀態(tài)，但骨料兩側(cè)處于受壓狀態(tài)，且相互侵入，侵入量見圖8左右兩側(cè)出現(xiàn)的相對(duì)位移負(fù)值，界面的初始法向剛度取得越大，侵入量就越小，就越接近實(shí)際情況.

圖10 圓形骨料界面過渡區(qū)的法向和切向應(yīng)力

2.2 混凝土試樣受拉分析及宏觀模量的估算

以二級(jí)配混凝土為例，按級(jí)配理論在試樣中隨機(jī)分布大、小橢圓骨料，骨料體積分?jǐn)?shù)為31%.上部均布荷載q逐步施加到15 MPa時(shí)獲得混凝土試樣的豎向應(yīng)變?cè)茍D見圖11，由圖11可知，大骨料的界面脫開位移大于小骨料的界面脫開位移，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相同.

圖11 二級(jí)配混凝土網(wǎng)格模型與豎向應(yīng)變?cè)茍D

為進(jìn)一步分析界面過渡區(qū)性質(zhì)對(duì)混凝土宏觀力學(xué)性能的影響，提取數(shù)值計(jì)算結(jié)果，在應(yīng)變能等效的原則下，估算出混凝土宏觀的體積模量和剪切模量，見表1～2.

表1 混凝土細(xì)觀各組份的體積模量和剪切模量

表2 隨荷載變化模量變化(界面剛度=10×104 MPa/mm)

由表2可知，當(dāng)荷載達(dá)到3 MPa時(shí)，界面進(jìn)入應(yīng)力釋放狀態(tài)，此后，隨著荷載的增加混凝土的宏觀體積模量K和宏觀剪切模量G而減小，當(dāng)荷載達(dá)到20 MPa之后，宏觀體積模量K與宏觀剪切模量G減小更為明顯，體現(xiàn)了界面過渡區(qū)對(duì)混凝土宏觀力學(xué)性能的削弱效應(yīng).

表3為界面初始剛度對(duì)混凝土宏觀有效模量的影響，由圖3可知，混凝土宏觀體積模量K和剪切模量G隨初始界面剛度的增加而增大.當(dāng)初始界面剛度超過5×107MPa/mm時(shí)宏觀模量增加不明顯.

表3 混凝土宏觀模量隨界面剛度的變化規(guī)律

3 結(jié) 論

1) 建立的混凝土細(xì)觀擴(kuò)展有限元模型由于采用了力-分離的本構(gòu)描述模式來反映界面過渡區(qū)的力學(xué)特性，使得強(qiáng)不連續(xù)的位移模式能夠把界面粘聚、損傷和完全脫開三種狀態(tài)統(tǒng)一起來，無需進(jìn)行弱不連續(xù)到強(qiáng)不連續(xù)的切換，就能在擴(kuò)展有限元框架下實(shí)現(xiàn)界面過渡區(qū)從粘聚到脫開的全過程仿真.

2) 擴(kuò)展有限元的最大優(yōu)勢(shì)就是求解域中的物理邊界(如界面過渡區(qū)、裂紋)始終獨(dú)立于有限元網(wǎng)格，這使得有限元網(wǎng)格劃分變得簡單而規(guī)整，且單元精度要高于三角形或四面體單元精度.網(wǎng)格劃分的優(yōu)勢(shì)雖然對(duì)二維細(xì)觀模擬不是很明顯，但對(duì)三維細(xì)觀模擬將展示其巨大的潛力.

3) 對(duì)混凝土宏觀體積模量和剪切模量隨界面過渡區(qū)的初始剛度增大而增大，當(dāng)初始界面表剛度超過5×107MPa/mm時(shí)，無論是初始粘聚還是后期損傷或脫開狀態(tài)，宏觀模量的增大都不是很明顯.實(shí)際上，界面過渡區(qū)處于粘聚狀態(tài)時(shí)是沒有相對(duì)位移的，當(dāng)初始界面剛度取得越大，粘聚狀態(tài)的相對(duì)位移就越小，取到無窮大時(shí)，粘聚相對(duì)位移為零，消除了粘聚狀態(tài)的誤差，但另一方面又加劇了線性方程組的病態(tài)性，導(dǎo)致求解的收斂速度變慢.