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(南京工業(yè)大學機械與動力工程學院，江蘇 南京 211816)

0 引言

傳統(tǒng)的康復訓練是由康復理療師輔助患者進行肢體訓練，整個康復過程需要進行大量、重復的康復運動，理療師的勞動強度高并且無法滿足國內(nèi)眾多偏癱患者的訓練要求。在這種情況下，使用機器人輔助理療師對偏癱患者進行肢體訓練受到了廣泛的關注，越來越多的康復機器人運用到康復治療領域。由于康復機器人是一種非線性系統(tǒng)，很難建立精確的動力學模型，導致其運動控制精度不足[1-2]。因此建立精確的機器人動力學模型是提高機器人運動精度的關鍵因素。在機器人理論動力學模型的基礎上，對動力學的參數(shù)進行系統(tǒng)辨識，可以得到更加精確的動力學模型[3-4]。

在此，設計了一款兩自由度上肢康復機器人，使用拉格朗日法建立了該上肢康復機器人的動力學模型。針對該機器人特點，提出了用待定系數(shù)法將動力學模型轉化為線性系統(tǒng)，得到了上肢康復機器人的動力學線性表達式。在ADAMS中使用PID控制算法控制其做圓周軌跡運動，將仿真中得到的轉矩、關節(jié)轉角、角速度和角加速度代入康復機器人的動力學線性表達式中，使用遞歸最小二乘法辨識動力學模型參數(shù)，得到精度更好的上肢康復機器人動力學模型。

1 上肢康復機器人運動學分析

上肢康復機器人采用雙連桿機構，可以輔助患者進行平面運動。上肢康復機器人整體機構如圖1所示。本文采用D-H表示法表述康復機器人的連桿坐標系，兩自由度上肢康復機器人坐標簡圖如圖2所示。

圖1 上肢康復機器人三維模型

圖2 兩自由度康復機器人坐標簡圖

根據(jù)D-H表示法，連桿的齊次變換矩陣(D-H矩陣)通式為：

(1)

其中，C表示cos，S表示sin。

通過初等旋轉變換和平移變換,將機器人的基坐標系變換為外框坐標系，得到的上肢康復機器人運動學關系式為：

(2)

其中，C12=cos(θ1+θ2)，S12=sin(θ1+θ2)。

2 上肢康復機器人動力學分析

上肢康復機器人動力學模型的標準形式為：

(3)

采用拉格朗日法計算兩自由度上肢康復機器人動力學，得到如下方程：

(4)

為了簡化參數(shù)辨識過程，可以將關節(jié)力矩進行線性化。將式(3)變換為慣性參數(shù)的線性形式：

(5)

3 動力學參數(shù)辨識方案

機器人動力學參數(shù)辨識一般包含激勵軌跡設計、數(shù)據(jù)采樣與處理、參數(shù)估計和模型驗證4個步驟。上肢康復機器人動力學參數(shù)辨識過程可以描述為：給定康復機器人末端運動激勵軌跡，采集康復機器人關節(jié)角度和關節(jié)力矩信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過處理后代入慣性參數(shù)表達式，求解康復機器人系統(tǒng)的慣性參數(shù)。整個操作的流程如圖3所示[5]。

圖3 機器人動力學參數(shù)辨識流程

3.1 參數(shù)估計方法

上肢康復機器人在PID控制策略下按照跟蹤激勵軌跡運動，運動過程中設計N個時間點對關節(jié)角度和電機力矩進行采樣，獲得N個采樣點的數(shù)據(jù)?？梢缘玫匠o定線性方程：

(6)

式(6)是一個超靜定線性方程，為了辨識得到兩自由度上肢康復機器人動力學參數(shù)，文中采用遞歸最小二乘法求解該方程。慣性參數(shù)X的遞歸最小二乘法估計為：

(7)

根據(jù)最小二乘原理，康復機器人系統(tǒng)的最小二乘參數(shù)估計遞推公式為[6]：

(8)

3.2 模型驗證

為了驗證辨識得到的動力學慣性參數(shù)的準確性，需要重新選取一條不同于激勵軌跡的驗證軌跡。將辨識得到的動力學模型預測關節(jié)力矩與實際輸出的關節(jié)力矩進行對比，觀察動力學模型是否可靠。實驗驗證過程如圖4所示[7]。

圖4 實驗驗證流程

4 辨識實驗仿真

在ADAMS中建立上肢康復機器人的仿真模型，結合Simulink使該機器人在PID控制器下進行末端圓周運動，圓周軌跡的軌跡方程為：

(9)

4.1 參數(shù)估計

在該激勵軌跡下，仿真實驗的采樣頻率為200 Hz，在10 s的圓周運動過程中獲得了2 004組關節(jié)輸出轉矩和關節(jié)位置的原始數(shù)據(jù)。

通過遞歸最小二乘法對獲得的數(shù)據(jù)進行系統(tǒng)辨識，得到康復機器人的慣性參數(shù)。將得到的慣性參數(shù)代入康復機器人動力學公式中，求出機器人的預測力矩，該預測力矩與實際輸出力矩如圖5所示。將理想情況下理論計算的慣性參數(shù)代入康復機器人動力學公式，得到機器人的理論預測力矩，理論計算情況下的預測力矩與實際輸出力矩如圖6所示。

圖5 激勵軌跡下關節(jié)輸出力矩和預測力矩比較

圖6 理論計算的預測力矩和實際輸出力矩比較

通過對比圖5和圖6可以看出，辨識后的預測力矩明顯優(yōu)于理想情況下的理論計算力矩，說明了采用遞歸最小二乘法進行動力學系統(tǒng)辨識的有效性。

4.2 模型驗證

為了驗證遞歸最小二乘法辨識得到的動力學參數(shù)的有效性，重新設計了1組不同于激勵軌跡的驗證軌跡，該驗證軌跡的圓周半徑為激勵軌跡圓周半徑的一半。將根據(jù)驗證軌跡運動所得到的預測力矩和實際輸出力矩進行比較，結果如圖7所示。結果顯示兩者的擬合程度較高，說明最小二乘法辨識得到的上肢康復機器人動力學模型是有效的。

圖7 驗證軌跡下實際輸出力矩與預測力矩比較

5 結束語

針對上肢康復機器人動力學模型不夠精確問題，采用了遞歸最小二乘法辨識機器人動力學慣性參數(shù)。文中設計了圓周半徑為100 mm的激勵軌跡，根據(jù)遞歸最小二乘法辨識結果得到新的機器人動力學模型，使用圓周半徑為50 mm的驗證軌跡驗證模型的有效性。結果表明，辨識得到的機器人動力學模型是有效的，為上肢康復機器人動力學控制系統(tǒng)開發(fā)打下了基礎。