朱曉潔

(黃河科技學(xué)院 職業(yè)技術(shù)學(xué)院,鄭州 450063)

當滾動軸承發(fā)生復(fù)合故障時,由于不同部位故障信號之間的相互干擾及耦合效應(yīng),復(fù)合故障信號表現(xiàn)得非常復(fù)雜,基于信號處理特征提取的滾動軸承復(fù)合故障難以取得好的效果.當前，大多采用智能診斷方法對滾動軸承復(fù)合故障類型進行分類[1-5].智能診斷中最關(guān)鍵的一步是特征提取,有效的故障輸入特征不僅能提高分類正確率,而且還能提高計算效率.本文嘗試將圖像處理中的常用方法即非負矩陣分解方法用于滾動軸承復(fù)合故障的特征提取，進而實現(xiàn)滾動軸承的復(fù)合故障診斷.

1 非負矩陣分解

非負矩陣分解(No-negative Matrix Factorization,NMF)本義可追溯為一種矩陣分解和投影的多變量分析技術(shù).用矩陣Vn×m表示待處理的m×n維多維樣本數(shù)據(jù),可對矩陣Vn×m進行分解,即

(1)

式中:Wn×r為基矩陣,也稱為特征矩陣;Hr×m為系數(shù)矩陣.W,H均要求非負.

圖1 非負矩陣圖像處理示意圖Fig.1 The sketch map of NMF

上述的非負性要求在圖像處理中有著重要的實際意義,圖1解釋了NMF的基本思想:用Original表示原始特征圖像,其可以表示為矩陣W和H的乘積,兩個矩陣分別代表特征圖像與系數(shù)矩陣.在NMF中要求特征矩陣與系數(shù)矩陣均為非負的:圖像像素為負的物理現(xiàn)象在圖像處理中是無法解釋的,一系列標準的特征圖像組成了特征矩陣中的各個列向量,其非負性就有效避免了上述無法解釋物理意義現(xiàn)象的發(fā)生.此外,對于任意圖像都具有一個公用的特征矩陣W,各個圖像表現(xiàn)出的相異性體現(xiàn)在各自所對應(yīng)的系數(shù)矩陣H上.據(jù)此,提取出圖像的系數(shù)矩陣，并將其作為智能分類器的訓(xùn)練及測試特征向量，可有效提高智能診斷的效率和精確度.

2 稀疏性非負矩陣分解

稀疏性非負矩陣分解(Sparse No-negative Matrix Factorization，SNMF)是在NMF基礎(chǔ)上與稀疏分解思想相結(jié)合而發(fā)展而來的一種NMF算法,它是在NMF基礎(chǔ)上，對系數(shù)矩陣H添加稀疏性約束條件的算法.相對于NMF,SNMF算法具有如下優(yōu)點:① 更穩(wěn)定;② 更直觀地反映原始數(shù)據(jù)的局部特征;③ 分解后的系數(shù)矩陣H具有更稀疏的數(shù)學(xué)表達,從而能用最少的特征維數(shù)來最有效地表示原始數(shù)據(jù)的特征;④ 求解收斂速度快.

下式求解的過程就是通過迭代更新,使V和WH的誤差即‖V-WH‖最小化.可以用Frobenius范數(shù)作為目標函數(shù)來量化誤差，即

(2)

并采用如下形式的交替乘法更新規(guī)則，進行迭代求解，即

(3)

從基于過完備字典的稀疏表示方式看,式(3)的目標函數(shù)可以寫成如下的過完備字典學(xué)習(xí)的函數(shù)形式，即

(4)

s.t.W≥0, ?i,Hi≥0,

C?{W∈Rm×r

被稱作矩陣凸集,其中矩陣W相當于稀疏分解中的過完備字典.在式(4)中W,Hi均要求非負性.從某種意義上來說,基于局部表達的NMF算法也是一種稀疏表示,只是這種表示的稀疏能力及程度相對較弱且還存在著控制難的缺點.通過對目標函數(shù)增添l1正則化的稀疏性約束條件,Hoyer等[6]提出SNMF方法,基于式(4)其目標函數(shù)為

(5)

由式(5)可知:當λ=0時,此式等價于NMF.相對于NMF,SNMF具有下述優(yōu)點:不僅保留了NMF對局部特征穩(wěn)定直觀表達的優(yōu)點,并且還能有效對分解后矩陣的稀疏度進行自由控制;SNMF處理后的系數(shù)矩陣與特征矩陣之間的相關(guān)性更小;SNMF增加的迭代次數(shù)不會對分解誤差造成明顯影響.

利用最小角回歸(Least Angle Regression,LARS)算法在稀疏編碼階段對Ht進行求解，得

(6)

在矩陣更新階段,通過極小化凸集上的目標函數(shù)來求Wt,得

(7)

采用塊坐標下降法由Wt-1來求Wt,這樣可將式(7)轉(zhuǎn)化為

(8)

式中：A和B分別為稀疏矩陣、稀疏稀疏的權(quán)重因子.

3 所述方法流程

基于雙譜時頻圖SNMF的滾動軸承故障診斷流程圖如圖2所示,大致分為如下步驟:

圖2 基于雙譜時頻圖SNMF的滾動軸承故障 診斷流程圖 Fig.2 The bearing’ compound fault diagnosis process based on time-frequency SNMF

步驟1分別采集滾動軸承3種運行狀態(tài)(內(nèi)圈外圈復(fù)合故障、外圈滾動體復(fù)合故障及內(nèi)圈外圈滾動體復(fù)合故障)下的振動信號,對每種運行狀態(tài)下的數(shù)據(jù)進行分段,并分別對每段數(shù)據(jù)進行雙譜變換.

步驟2分別隨機選擇3種運行狀態(tài)下部分雙譜時頻圖組成訓(xùn)練樣本集XTrain(i)(i=1,2,3)(i代表滾動軸承的3種運行狀態(tài)),對訓(xùn)練樣本集XTrain(i)(i=1,2,3)的子集Vi(i=1,2,3)分別進行SNMF,得到3種運行狀態(tài)下的標準圖像集Wi(i=1,2,3).

步驟3將所有訓(xùn)練樣本集XTrain(i)(i=1,2,3)分別向各自所對應(yīng)標準樣本集Wi(i=1,2,3)進行投影,得到每一副圖像對應(yīng)的系數(shù)向量,這些向量共同形成降維后的樣本集HTrain(i)(i=1,2,3).

步驟4分別用HTrain(i)(i=1,2,3)訓(xùn)練支持向量數(shù)據(jù)描述(Support Vector Data Description,SVDD)軸承3種運行狀態(tài)下的診斷模型.

步驟5同樣,對測試樣本集HTrain(i)(i=1,2,3)分別向標準圖像集Wi(i=1,2,3)進行投影,得到每一副圖像對應(yīng)的向量系數(shù),這些向量共同形成降維后的測試集HTest(i)(i=1,2,3).

步驟6將HTest(i)(i=1,2,3)分別輸入到第4步訓(xùn)練后的診斷模型,從而對XTest(i)(i=1,2,3)所對應(yīng)的軸承運行狀態(tài)進行模式識別.

4 實驗

以UN205滾動軸承為實驗軸承進行相關(guān)實驗,通過線切割的方式分別在軸承試件的外圈、內(nèi)圈及滾動體上加工故障(零部件上的所加工的故障如圖3所示),然后再組合滾動軸承的3種復(fù)合故障.

圖3 試件各部位故障Fig.3 The fault location of the test bearing

3種復(fù)合故障的時域波形圖分別如圖4(a)～圖4(c)所示.

分別對3種故障狀態(tài)下的數(shù)據(jù)進行分段處理:每種狀態(tài)下連續(xù)的512個采樣數(shù)據(jù)作為一個樣本,每組樣本之間以重復(fù)1/2的數(shù)據(jù)方式依次向后連續(xù)截取.3種運行狀態(tài)按上述數(shù)據(jù)樣本截取方式分別取80組采樣樣本,其中每種狀態(tài)下的前30組采樣樣本經(jīng)過雙譜時頻分析后,將得到的雙譜時頻圖進行SNMF分解,提取圖像稀疏系數(shù)矩陣作為SVDD的訓(xùn)練樣本訓(xùn)練3種SVDD模型:內(nèi)圈外圈故障SVDD診斷模型、外圈滾動體故障SVDD診斷模型及內(nèi)圈外圈滾動體故障SVDD診斷模型;同樣每種運行狀態(tài)下的后50組采樣樣本用同樣方法特征提取后作為測試樣本輸入到上述訓(xùn)練好的SVDD模型中,進而進行分類.

圖5(a)～圖5(c)分別是軸承3種運行狀態(tài)下某一采樣樣本的雙譜時頻圖.圖5中可以看出,雖然軸承在不同故障運行狀態(tài)下雙譜圖存在很大差異,可以為后續(xù)SVDD診斷所需的特征提取提供很好的素材.但由于滾動軸承復(fù)合故障運行狀態(tài)下，各個單個故障信號之間的相互干擾極有可能出現(xiàn)耦合現(xiàn)象,很難直接在其雙譜時頻圖上提取有效的故障特征信息.

圖4 滾動軸承3種復(fù)合故障的時域波形圖Fig.4 The time-domain waveforms of the bearing’ three kinds of compound fault

以下對SNMF計算過程中的關(guān)鍵參數(shù)——特征維數(shù)、稀疏性因子λ以及迭代次數(shù)T的選取進行討論.

(1) 特征維數(shù)的選擇.首先選取迭代次數(shù)T=200,稀疏性因子λ=0.2,特征維數(shù)對分類精度的影響如圖6所示.由圖6可見,當特征維數(shù)選為4時,所述方法的分類精度比較低.其原因在于較小的特征維數(shù)選擇不能全面有效表達原始特征圖像中所蘊含的故障特征信息,造成部分故障特征信息的丟失,進而導(dǎo)致后續(xù)SVDD分類正確率的下降.當特征維數(shù)等于24時,所述方法取得了最高的分類正確率,說明了24維與實際的特征空間的維數(shù)相一致或相接近,正好蘊含了原始時頻圖中的所有故障信息.因此,取得了最高的SVDD分離結(jié)果.當特征維數(shù)大于24時,分類正確率雖然下降不多,但維數(shù)的增加會降低計算效率,而且還可能出現(xiàn)信息冗余及維數(shù)災(zāi)難等不好的結(jié)果.

圖5 滾動軸承3種復(fù)合故障下的雙譜時頻圖Fig.5 The bispectrums of the bearing’ three kinds of compound fault

圖6 不同特征維數(shù)所對應(yīng)的分類正確率Fig.6 The classification accuracy using different feature dimensions

(2) 稀疏性因子及迭代次數(shù)的選擇.稀疏因子的作用是SNMF分解過程中控制稀疏矩陣的稀疏性,圖7給出了不同稀疏因子所對應(yīng)的目標函數(shù)誤差(特征維數(shù)選為24,迭代次數(shù)為200).圖7中可以看出:當系數(shù)因子等于0時,SNMF等價于NMF,會產(chǎn)生較大的目標函數(shù)誤差;當目標因子不等于0時,雖然在理論上越大的稀疏因子就對應(yīng)著更稀疏的稀疏矩陣,即得到最精煉的故障特征信息;目標函數(shù)的誤差也隨著稀疏因子的增大而增大,說明隨著稀疏因子的增加,原始時頻圖像中所蘊含的故障特征信息損失也隨之增加.

圖7 稀疏因子對目標函數(shù)誤差的影響Fig.7 The influence of sparse factor on objective function error

圖8給出了不同稀疏因子所對應(yīng)的分類正確率.太小或太大的稀疏因子都不能取得最理想的分類正確率;太小的稀疏因子造成矩陣稀疏系數(shù)的稀疏性不夠,從而造成信息冗余或維數(shù)災(zāi)難;太大的稀疏因子會造成原始時頻圖像中故障特征信息的損失.從圖8可以得出，稀疏因子選為0.2是最佳選擇.

圖8 不同稀疏因子所對應(yīng)的分類正確率Fig.8 The different classification ratio using different sparse factors

迭代次數(shù)的選擇沒有具體的參考,按文獻[6]選為200.

按圖2所示的相關(guān)步驟進行特征選取后,首先用30組內(nèi)圈外圈的訓(xùn)練故障特征信息進行SVDD診斷模型訓(xùn)練;然后將50組內(nèi)圈外圈復(fù)合故障測試特征信息、50組外圈滾動體復(fù)合故障測試特征信息及50組內(nèi)圈外圈滾動體復(fù)合故障測試特征信息共150組測試向量,輸入到訓(xùn)練好的SVDD模型中,分類結(jié)果如圖9(a)所示.其中1～50組對應(yīng)的內(nèi)圈外圈故障測試特征向量,51～100組對應(yīng)外圈滾動體復(fù)合故障測試特征向量,101～150組對應(yīng)內(nèi)圈外圈滾動體復(fù)合故障測試特征向量.由分類結(jié)果可以看出:50組內(nèi)圈外圈故障特征向量只有兩組被誤分,分類正確率達到了96%;而后兩種故障(滾動體外圈復(fù)合故障、內(nèi)圈外圈滾動體復(fù)合故障) 均被分類為非目標樣本,正確率達到100%；總體分類正確率為98%,達到了理想的測試效果.同樣,圖9(b)和圖9(c)是滾動軸承外圈滾動體、外圈內(nèi)圈滾動體復(fù)合故障的分類結(jié)果,同樣取得了好的分類效果.

圖9 基于雙譜時頻圖SNMF特征提取SVDD的診斷結(jié)果Fig.9 The fault diagnosis result based on bispectrum time-frequency SNMF feature extraction SVDD

5 結(jié)論

本文將基于圖像處理的思想引入到滾動軸承的故障特征提取中來,提出基于SNMF-SVDD的滾動軸承復(fù)合故障診斷.首先對滾動軸承的3種復(fù)合故障信號進行雙譜分析,得到3種運行狀態(tài)下的雙譜時頻圖像.對時頻圖像進行SNMF進行分解,得到雙譜時頻圖像的稀疏系數(shù)矩陣作為SVDD的訓(xùn)練及測試特征向量.通過實驗驗證了所述方法具有較高的分類精度.此外,為突出SNMF在雙譜時頻圖像特征提取中的優(yōu)越性,對比了基于NMF-SVDD的分類結(jié)果.結(jié)果證明所述方法具有高的分類精度.