黃洪峰
近幾年來高考壓軸題一個顯著特點(diǎn)和命題趨勢是常以函數(shù)為載體,以導(dǎo)數(shù)為工具,證明或判斷不等式的恒成立問題,其目標(biāo)主要考察函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識等;考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等,而解決這類問題其關(guān)鍵在于作出恰當(dāng)?shù)淖冃?,巧妙?gòu)建合適的函數(shù)模型,本文以最近質(zhì)檢考試的一道壓軸題為例,探求這類不等式證明的解題策略.
則函數(shù)g(a)單調(diào)遞增,
現(xiàn)在我們要利用一階導(dǎo)函數(shù)的增減性以及它的端點(diǎn)及極值點(diǎn)的正負(fù)性,判斷一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)及其范圍,從而確定g(a)的正負(fù)性,研究原函數(shù)的增減性及其極值點(diǎn),從而研究它的最值正負(fù)性.
解題策略2 當(dāng)然考慮到直接做差求導(dǎo)的復(fù)雜性,我們可以將不等式做適當(dāng)變形,把其中一邊變形為一次函數(shù),從而利用數(shù)形結(jié)合去研究一次函數(shù)與另一邊函數(shù)的位置關(guān)系,但是本題如若采用這一解題策略研究二者位置關(guān)系比較困難,那么我們也可再來作差,于是就回到策略1的研究過程.
解法策略反思 顯然作商這一解題策略針對本題而言是較為簡單的,它在一次求導(dǎo)后一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)可求得,因而一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性也是明確的,原函數(shù)的最值也是確定的,因而沒有必要進(jìn)行二次求導(dǎo)和設(shè)而不求等,這樣一來就大大降低了解決問題的門檻,從而解題效率比策略1和策略2都大大提高,這也是我們在選擇解題策略時必須思考并且做出抉擇的,然而這種建構(gòu)形式的解題風(fēng)險也就在于作商后的函數(shù)是否容易研究,求導(dǎo)是否容易.
綜上所述當(dāng)a>l時,原不等式得證,
解法策略反 思事實(shí)上針對含有對數(shù)函數(shù)的這一類不等式的證明,我們可以選擇“做差”這種構(gòu)建策略,但是轉(zhuǎn)化時應(yīng)該讓對數(shù)部分盡量簡潔,以便于后面問題的進(jìn)一步推進(jìn)解決,而對于含有指數(shù)函數(shù)的這一類不等式我們更多的應(yīng)該選擇“做商”這一種建構(gòu)策略,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)求導(dǎo)具有不變性,因而運(yùn)用除法法則求導(dǎo)就比較簡單,當(dāng)然我們也可以對二者進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化.
以上我們從不同角度出發(fā)提出了幾種解題策略,深入研究其實(shí)不難發(fā)現(xiàn)它們的本質(zhì)是一樣的,那就是比大小,這就是不同建構(gòu)策略殊途同歸,然而轉(zhuǎn)化方式與構(gòu)建策略不同,就會讓后續(xù)的問題解決帶來不同的困難,比如策略1與策略2就非常繁雜,而策略3與策略4就較為簡單,用兵之道在于謀略,解題之道貴在得法,方法技巧源于教學(xué)實(shí)踐中對解題思路、解題策略的研究,若同一問題用不同的解題策略,從不同的視角思考就會形成不同的解題思路,就會產(chǎn)生簡繁、優(yōu)劣的解題過程,甚至相悖的結(jié)果,我們研究解題策略,就是要刪繁就簡,棄劣揚(yáng)優(yōu),推陳出新,優(yōu)化解題思路和解題過程,啟迪心智,拓展思維.[2]
參考文獻(xiàn)
[1]張建虎.含參導(dǎo)數(shù)問題的五種求解策略[J].教學(xué)考試,2015(3):30-31
[2]牛錦萍.數(shù)學(xué)解題策略研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2003 (7): 29-31