潘穎藝

在學習完必修四中任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的知識之后，下文題目作為課堂練習的一道題目，在教學中，學生呈現(xiàn)了多種解題思路，有效促進了學生數(shù)學思維的發(fā)展.

3 教學思考

3.1 多角度的條件表征暴露學生解題的思維過程

本題原本的設計意圖是鞏固學生對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系相關(guān)知識，然而，學生解題后的反饋呈現(xiàn)多種的思維過程，超出原本教學預期，對于tanα=2而言，學生表現(xiàn)出不同理解形式：一是如生1所說的，將tanα看作一個整體，將所求式子齊次化，通過“1”的代換和弦化切的過程，最終代入求解;二是如生3所說的，將tanα=2化為sinα=2cosα，構(gòu)建關(guān)于sma，cosα方程組并解方程組，以求得答案;三是如生4所說的，利用單位圓中的任意角的三角函數(shù)的定義，從角α終邊與單位圓的交點橫、縱坐標切入;四是生5所說的，從角α入手，從形的角度，幾何直觀地解釋tanα，并運用終邊相同的角的知識進一步求解，不同tanα的表征，展現(xiàn)學生思維的不同“悟”的維度，以及暴露出學生對數(shù)學知識內(nèi)容掌握程度，實現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”的跨越.

3.2 發(fā)展數(shù)學思維促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展

數(shù)學是思維的科學，站在大問題的教學層面看，對tanα的理解，既從代數(shù)角度思考，即通過將tanα整體代入，或構(gòu)建sinα，cosα的方程組，在數(shù)學運算和邏輯推理中，融入整體思想和方程思想等，又從幾何角度思考，構(gòu)造一個直角三角形的邊角關(guān)系，在解答中融入數(shù)形結(jié)合思想等，盡管學生在解題過程中出現(xiàn)諸如：用銳角代替tanα中角α，以偏概全，或?qū)，y，r符號突然出現(xiàn)等，但是這才真正展示原生態(tài)的課堂教學過程，學生能夠在思維最近發(fā)展區(qū)自主建構(gòu)知識網(wǎng)絡系統(tǒng)，不斷地完善知識間的聯(lián)系，也如實地反映學生的螺旋上升的認知規(guī)律，教師也才能夠及時有效地理解數(shù)學、理解學生、理解教學的水平，正如傅種孫先生所說：“以方法為經(jīng)，以教材為緯”，進而“啟發(fā)學者，示以思維之道”[1]，實現(xiàn)“何由以知其所以然”.

參考文獻

[1]章建躍.核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的立體幾何教材變革[J].數(shù)學通報，2017 （11）：1—618