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        等距圓錐螺旋線數(shù)理性質(zhì)的初探

        2018-12-24 03:39:12涂德新姜付錦
        物理通報(bào) 2018年12期
        關(guān)鍵詞:螺旋線作用力曲率

        涂德新 姜付錦

        (江西師范大學(xué)附屬中學(xué) 江西 南昌 330046)(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

        如果質(zhì)點(diǎn)沿阿基米德螺線(等速螺線)運(yùn)動的同時(shí)沿垂直于該平面的方向勻速運(yùn)動, 于是質(zhì)點(diǎn)的合運(yùn)動所形成的軌跡就是等距圓錐螺旋線(以下簡稱螺旋線).下面首先用物理方法研究螺旋線的曲率半徑, 接著研究質(zhì)點(diǎn)在重力的作用下沿光滑螺旋線運(yùn)動時(shí)受到的作用力,并在直角坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系中求解,得到了相同的結(jié)果.

        1 螺旋線的曲率半徑

        1.1 建立螺旋線的參數(shù)方程

        如圖1所示,建立直角坐標(biāo)系O-xyz, 圓錐的半頂角為α, 螺距為2πl(wèi), 一個質(zhì)量為m的小球從坐標(biāo)原點(diǎn)由靜止開始沿光滑的螺旋線運(yùn)動. 重力加速度為g.

        圖1 直角坐標(biāo)系下的圓錐螺旋線

        以極角φ為參數(shù)可以建立螺旋線的參數(shù)方程

        x=kφcosφy=kφsinφz=kφcotα

        考慮到一個螺距為2πl(wèi), 于是

        2πl(wèi)sinα=k2π

        可得

        k=lsinα

        x=lsinα·φcosφ

        y=lsinα·φsinφ

        z=lcosα·φ

        1.2 物理方法求曲率半徑

        可以求得

        曲率半徑ρ與向心加速度an間存在關(guān)系

        (1)

        分析有

        其中

        可以求得

        將相關(guān)參量代入式(1)可得

        1.3 數(shù)值模擬

        數(shù)值模擬如圖2、圖3所示.

        圖2 小球三維空間中的運(yùn)動軌跡

        圖3 曲率半徑與極角關(guān)系

        2 小球受到螺旋線的作用力

        2.1 直角坐標(biāo)系中求解

        小球沿光滑的軌道運(yùn)動, 其機(jī)械能守恒

        可以求得

        (2)

        再求二階導(dǎo)數(shù)可得

        (3)

        在這種情況下

        對小球?qū)?個方向的牛頓第二定律

        小球受到的作用力為

        代入可得

        (4)

        將式(2)、式(3)代入式(4)并化簡求解得

        (5)

        其中

        A=19sin2α+2sin22α-3sin23α

        B=63sin2α+34sin22α-15sin23α

        C=48sin2α+72sin22α

        D=16sin2α

        2.2 自然坐標(biāo)系中求解

        空間曲線上的某點(diǎn)存在3個向量:切向向量﹑主法向向量和次法向向量.切向向量指向弧坐標(biāo)的正向, 主法向向量指向曲率中心, 切向向量和主法向向量構(gòu)成密切平面(曲率平面), 次法向向量與這個平面垂直, 切向向量與次法向向量決定的平面為從切面(直切面).動點(diǎn)的速度和切向加速度均與切向向量平行, 動點(diǎn)的法向加速度沿主法向向量的方向,這3個向量構(gòu)成的右手坐標(biāo)系即自然坐標(biāo)系. 下面求解螺旋線上某點(diǎn)的切向向量A﹑次法向向量B和主法向向量C.

        以極角φ為參變量,依照前面的分析有

        (sin φ+φcos φ)j+cot α·k

        展開得

        B=-(2cosφ-φsinφ)cotα·i+

        (-2sinφ-φcosφ)cotα·j+(2+φ2)k

        C=B×A=

        展開得

        C=Cxi+Cyj+Czk

        其中

        Cx=-(2sinφ+φcosφ)cot2α-

        (2+φ2)(sinφ+φcosφ)

        Cy=(2+φ2)(cosφ-φsinφ)+

        (2cosφ-φsinφ)cot2α

        Cz=-φcotα

        可以對小球?qū)懬芯€方向的牛頓第二定律, 從法線方向的平衡方程和主法線方向的牛頓第二定律

        mgk·A0=maA

        mgk·B0=NB

        mgk·C0+NC=maC

        其中A0,B0,C0分別為切線方向﹑從法線方向和主法線方向的單位向量.

        aC為法向加速度

        代入可得

        可以求得

        以及

        NC=NC1+NC2

        其中

        NC2=mgcotα·φ·[(1+φ2)(2+φ2)2+

        小球受到的作用力

        代入可以求得N2的表達(dá)式同式(5)一致.

        2.3 數(shù)值模擬

        2.3.1小球受到的作用力與極角的圖像

        如圖4所示, 兩種坐標(biāo)系中分析結(jié)果的圖像完全重合. 可以發(fā)現(xiàn)作用力不斷增加, 存在極限值, 分析式(5)可以求得

        其中

        A=19sin2α+2sin22α-3sin23α

        圖4 作用力與極角的關(guān)系

        2.3.2 小球受到的作用力與時(shí)間的圖像

        可以寫成

        這個積分涉及到橢圓積分和復(fù)變函數(shù),所以時(shí)間與極角的關(guān)系很難寫成顯性解析式,定積分結(jié)果中含有橢圓積分和復(fù)變函數(shù)

        小球運(yùn)動的時(shí)間t與極角φ的關(guān)系數(shù)值模擬如圖5所示.

        圖5 時(shí)間與極角的關(guān)系圖

        考慮到時(shí)間t﹑極角φ和作用力N是一一對應(yīng)的, 可以數(shù)值模擬出作用力與時(shí)間的圖像如圖6所示.

        圖6 作用力與時(shí)間的關(guān)系圖

        3 結(jié)語

        本文用物理方法求螺旋線的曲率半徑, 過程簡潔, 思路清晰. 用兩種辦法求螺旋線對小球的作用力, 直角坐標(biāo)系中求解過程簡單明了.自然坐標(biāo)系中雖然比較復(fù)雜, 卻很有意義:小球沿空間曲線運(yùn)動時(shí), 其速度和切向加速度均與切向向量平行, 法向加速度沿主法向向量的方向, 在從法向向量的方向是平衡的.并且所有的量均可以表示成極角的函數(shù),結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩種方法的計(jì)算結(jié)果一致.本文還對曲率半徑和小球受到的作用力進(jìn)行了數(shù)值模擬,這對我們的教學(xué)研究有一定的借鑒.

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