四川省成都市玉林中學(xué) (郵編：610041) 四川省成都樹(shù)德中學(xué) (郵編：610031)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括6種，它們既相對(duì)獨(dú)立又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體．如何培養(yǎng)和評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)呢? 2018年高考試題給了我們答案：命制以檢測(cè)學(xué)生素養(yǎng)達(dá)成情況為背景的創(chuàng)新型試題，主要考查學(xué)生的思維能力．下面就從一道高考題出發(fā)，來(lái)談如何在解題中養(yǎng)育學(xué)生的核心素養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的能力．

1 題目與賞析

題目已知點(diǎn)M(-1，1)和拋物線C：y2=4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)．若∠AMB=90°，則k=__________．

視角一數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算指的不是四則運(yùn)算而是一種思維過(guò)程，它是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段．依據(jù)研究對(duì)象的不同，我們可以選擇不同的運(yùn)算思路但最終卻可以得到相同的結(jié)果．在該題中根據(jù)運(yùn)算對(duì)象的不同，得到了解決此問(wèn)題的以下三種方法．

方法一從直線入手

本題是直線與拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題，可以通過(guò)聯(lián)立直線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用向量的數(shù)量積、借助韋達(dá)定理求解．

方法二從點(diǎn)入手

本題也可以根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特性，用單變量表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用斜率公式、向量的數(shù)量積，借助整體代換的思想求解．

則y1+y2=2，故k=2．

方法三借助參數(shù)方程

此種方法和方法二本質(zhì)是相同的．

視角二直觀想象

直觀想象不是直觀和想象的簡(jiǎn)單組合，而是二者的相互融合、相互滲透．直觀想象的表現(xiàn)不外乎三個(gè)方面：借助圖形描述問(wèn)題情境，通過(guò)數(shù)形結(jié)合建立形與數(shù)的聯(lián)系，基于圖形理解構(gòu)建數(shù)學(xué)直觀．我們知道，解析幾何也屬于幾何的范疇，自然可以采用平面幾何描述代數(shù)問(wèn)題，即將代數(shù)問(wèn)題圖形化．

本題是利用拋物線的幾何定義構(gòu)建幾何圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題．

又M′為AB的中點(diǎn)，則MM′平行于x軸．

則tanα=2，即k=2．

方法五建立數(shù)形聯(lián)系、凸顯直觀想象

著名數(shù)學(xué)家華羅庚生動(dòng)地描述了數(shù)與形的關(guān)系：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休．”本題中蘊(yùn)含著線段成比例的幾何關(guān)系(圖形)，我們利用中位線分線段成比例，得到直線AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)(數(shù))，再通過(guò)點(diǎn)差法建立中點(diǎn)的縱坐標(biāo)于直線斜率的關(guān)系即可．?dāng)?shù)與形的有效結(jié)合，可以最大程度上優(yōu)化解題過(guò)程，提高解題效率．

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，故y1+y2=2.

2 變式拓展

解題只是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)眾多環(huán)節(jié)中的一環(huán)，與解題本身相比，更為重要的是反思和再創(chuàng)造．正如荷蘭數(shù)學(xué)家弗雷登塔爾曾指出，“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力．”下面我們立足于核心素養(yǎng)的視角對(duì)這道高考題進(jìn)行探索、再加工．

視角三邏輯推理

文[1]中指出：邏輯推理是指從一切事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過(guò)程．加里寧曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操．”數(shù)學(xué)思維不僅有生動(dòng)活潑的探究過(guò)程，其中包括想象、類比、聯(lián)想、直覺(jué)、頓悟等，而且有嚴(yán)謹(jǐn)理性的證明過(guò)程，通過(guò)數(shù)學(xué)解題培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力也不失為一種經(jīng)濟(jì)的方法．筆者利用歸納、類比推理方法得到了下面的一些命題．

拓展4-1 已知拋物C：y2=2px(p>0)，點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)M作C的切線且切于A、B兩點(diǎn)，證明直線AB恒過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)．

拓展4-2 已知拋物C：y2=2px(p>0)，過(guò)C的焦點(diǎn)的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作C的切線交于點(diǎn)M，證明點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線上．

總之，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)絕非一日之功，也不可能立竿見(jiàn)影，它是一種養(yǎng)成性教育，需要教師從長(zhǎng)計(jì)議，從點(diǎn)滴做起，持之以恒，注重后發(fā)效應(yīng)．在日常的教學(xué)中多嘗試以下措施：

首先，注重課堂教學(xué)的多視角、知識(shí)的多模塊滲透．除了解題教學(xué)外，我們應(yīng)該在概念教學(xué)、問(wèn)題解決教學(xué)、復(fù)習(xí)課教學(xué)等教學(xué)活動(dòng)中使學(xué)生去切身體驗(yàn)．

其次，針對(duì)不同年齡階段結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和案例，重視學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，逐步提高學(xué)生的六大素養(yǎng)能力．比如直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三種語(yǔ)言的理解與轉(zhuǎn)化，多看多想、想與看結(jié)合．

最后，加強(qiáng)教學(xué)反思，不斷提高自身專業(yè)素養(yǎng)，以身示范，育人才是素養(yǎng)的風(fēng)向標(biāo)．