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        配之以對偶 賦之以精魂

        2018-12-22 03:25:44
        關(guān)鍵詞:精魂對偶高級中學(xué)

        浙江省嘉善第二高級中學(xué) (郵編:314100)

        在數(shù)學(xué)里,在某種意義下成對出現(xiàn)的兩個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),如對偶點、對偶數(shù)、對偶式、對偶圖、對偶空間、對偶運算、對偶命題,稱之為對偶關(guān)系.若對于一個孤立的研究對象,有意識地構(gòu)造與之相應(yīng)的對偶關(guān)系,往往可獲得新穎別致的解法.我們把這種解決問題的技巧稱為配以對偶的技巧.運用該技巧的通常做法是:①將已知式令為,A并配其對偶式B; ②對A與B進行適當?shù)剡\算;③轉(zhuǎn)化或消去B,從而解決原問題.對偶式的形式往往不拘一格.主要有①互余型對偶式;②和差型對偶式;③對稱型對偶式.

        1 互余型對偶式

        又b≠0, 故

        例2 求sin280°+cos250°-sin40°cos10°

        解由誘導(dǎo)公式可得

        sin280°+cos250°-sin40°cos10°=cos210°+cos250°-sin40°sin80°,

        構(gòu)造對偶式:

        x=cos210°+cos250°-sin40°sin80°

        y=sin210°+sin250°-cos40°cos80°

        由①+②得:x+y=2-cos40°

        另解:構(gòu)造對偶式x=cos210°+cos250°-sin40°sin80°

        y=sin210°+sin250°+cos40°cos80°

        由⑤-⑥得:x-y=cos20°+cos100°-cos40°=0

        2 和差型對偶式

        例3 已知a、b、c、d∈R,a2+b2+c2+d2≤1,求證(a+b)4+(a+c)4+(a+d)4+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4≤6.

        證明記M=(a+b)4+(a+c)4+(a+d)4+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4,

        構(gòu)造對偶式N=(a-b)4+(a-c)4+(a-d)4+(b-c)4+(b-d)4+(c-d)4.

        于是M+N=6(a4+b4+c4+d4+2a2b2+2a2c2+2a2d2+2b2c2+2b2d2+2c2d2)=6(a2+b2+c2+d2)2≤6.

        又因為B≥0, 所以A≤6.

        3 對稱型對偶式

        即將A=f(x,y)配以B=f(y,x) ,再通過運算及變形加以解決.

        例4 若α、β、γ為銳角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1.

        則M-N=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0,

        由基本不等式可得:

        練習(xí)題

        (6)已知a1、a2、…、an均為正數(shù),且a1+a2+…+an=1,

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