陳高華, 閆獻(xiàn)國(guó), 郭 宏, 李志飛

(1.太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024;2.太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

機(jī)械設(shè)備的振動(dòng)信號(hào)可直接反映其當(dāng)前的工作狀態(tài)，以航空飛行器為例, 據(jù)統(tǒng)計(jì)70%以上的發(fā)動(dòng)機(jī)故障可以通過(guò)振動(dòng)形式表現(xiàn)出來(lái)[1]。因此，可以通過(guò)監(jiān)測(cè)振動(dòng)信號(hào)來(lái)分析、推測(cè)、判斷設(shè)備內(nèi)部一些組件的工作狀況。

因具有良好的壓電效應(yīng)、較高的居里溫度、強(qiáng)自發(fā)極性、高機(jī)電耦合系數(shù)、亞納米級(jí)分辨率以及亞微秒級(jí)的響應(yīng)時(shí)間，壓電陶瓷在微驅(qū)動(dòng)、微測(cè)量領(lǐng)域中得到了廣泛研究與應(yīng)用[2-5]。比如使用壓電陶瓷材料制成的振動(dòng)傳感器被用于飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)故障診斷上，可以用來(lái)測(cè)量累積性損傷，裂紋增長(zhǎng)，轉(zhuǎn)子不平衡[6]。但是壓電陶瓷本身存在遲滯，蠕變，非線性等特性，直接影響到傳感器的檢測(cè)精度[7-8]。其中遲滯特性的影響最大，因此遲滯非線性補(bǔ)償成為提高基于壓電陶瓷傳感的微測(cè)量精度的首要問(wèn)題。為減小或消除該不利影響，可以利用逆模型進(jìn)行線性化控制[9-10]，而利用逆模型進(jìn)行線性化控制的關(guān)鍵是非線性遲滯的精確建模。

描述壓電陶瓷遲滯現(xiàn)象的經(jīng)典建模方法大體分為兩類：一類是根據(jù)壓電陶瓷的微觀機(jī)理建立物理方程，從而求解出輸入輸出關(guān)系的建模方法[11-12]。另一類是只考慮輸入輸出關(guān)系而不深究其微觀機(jī)理的建模方法，包括 Preisach模型[13]、Prandtl-Ishlinskii 模型(簡(jiǎn)稱PI模型)[14]、多項(xiàng)式模型[15]、Bouc-Wen模型(簡(jiǎn)稱B-W模型)[16-17]等。其中B-W模型由于只需要用一個(gè)輔助的非線性微分方程來(lái)描述遲滯行為，計(jì)算效率高，實(shí)時(shí)性好，且逆模型求解十分方便,因而受到更多研究者的青睞。傳統(tǒng)B-W模型是一個(gè)關(guān)于中心點(diǎn)嚴(yán)格對(duì)稱的模型，而壓電陶瓷的遲滯特性是不完全對(duì)稱的，所以傳統(tǒng)B-W模型很難達(dá)到較高的擬合精度。

本文在壓電陶瓷壓電效應(yīng)的理論基礎(chǔ)上,研究了電荷放大器在壓電陶瓷傳感系統(tǒng)中的應(yīng)用,分析了壓電陶瓷傳感器遲滯非線性產(chǎn)生的原因。在傳統(tǒng)B-W模型的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)算法，建立了壓電陶瓷傳感器的非對(duì)稱遲滯模型，并給出了模型參數(shù)對(duì)遲滯曲線的影響關(guān)系和逆模型的求取方法。設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，利用改進(jìn)Bouc-Wen逆模型補(bǔ)償壓電陶瓷傳感器的遲滯非線性，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 壓電陶瓷傳感器的基本性能

1.1 壓電陶瓷傳感器的壓電效應(yīng)

壓電陶瓷的正壓電效應(yīng)是指介質(zhì)在力的作用下產(chǎn)生形變，引起介質(zhì)表面帶電，逆壓電效應(yīng)是指施加激勵(lì)電場(chǎng)，介質(zhì)將產(chǎn)生機(jī)械變形。壓電陶瓷傳感器是一種基于壓電陶瓷材料的正壓電效應(yīng)而工作的功能器件。壓電陶瓷的正壓電效應(yīng)示意圖如圖1所示。壓電陶瓷材料經(jīng)極化處理后，剩余極化強(qiáng)度會(huì)使與極化方向垂直的兩端出現(xiàn)束縛電荷(一端為正，另一端為負(fù))，由于這些束縛電荷的作用會(huì)使壓電陶瓷的兩個(gè)電極表面產(chǎn)生極性相反的自由電荷，并使整個(gè)壓電陶瓷片呈電中性。當(dāng)外界壓力使壓電陶瓷材料發(fā)生變形時(shí)，瓷片壓縮，極化強(qiáng)度變小，導(dǎo)致上下表面的電勢(shì)改變，和表面接觸的兩電極上的部分自由電荷被釋放，因此在電路中會(huì)有電荷流動(dòng)。

圖1 壓電陶瓷正壓電效應(yīng)示意圖

1.2 電荷放大器

壓電陶瓷傳感器的輸出信號(hào)非常微弱,且電荷在電路中易消耗掉，所以在使用時(shí)通常與電荷放大器配合使用，把電荷信號(hào)Q轉(zhuǎn)換成電壓信號(hào)U完成物理量的測(cè)試。

電荷放大器的工作原理如圖2所示，圖中Q為壓電陶瓷傳感器受到外力后產(chǎn)生的電荷量,Ci為輸入級(jí)等效電容(包括傳感器等效電容、連接電路等效電容和放大級(jí)輸入電容)，Ri為輸入級(jí)等效電阻(包括傳感器等效電阻、連接電路等效電阻和放大級(jí)輸入電阻)Cf為反饋電容，Rf為反饋電阻。

圖2 電荷放大器工作原理圖

設(shè)運(yùn)算放大器的開(kāi)環(huán)增益為A，則輸出電壓

u0=-Aui

(1)

根據(jù)集成運(yùn)算放大器工作在線性區(qū)域的虛斷特點(diǎn)，對(duì)運(yùn)放的反向輸入端對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)列寫(xiě)KCL方程，可以得到如下關(guān)系

(2)

由式(1)和式(2)可得

(3)

式(3)相應(yīng)的相量式為

(4)

當(dāng)運(yùn)放的開(kāi)環(huán)增益大于105時(shí)，上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為

(5)

以上所述的分析結(jié)果表明，電荷放大器輸出電壓相量和輸入電荷相量的比值大小決定于被測(cè)信號(hào)的振動(dòng)頻率和反饋網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，如果測(cè)量信號(hào)的振動(dòng)頻率相當(dāng)高時(shí)，可以得到

(6)

即：電荷放大器輸出電壓U0與采集到的電荷Q近似成正比關(guān)系。

1.3 遲滯非線性成因分析

壓電陶瓷是屬于鐵電材料的壓電體，未經(jīng)預(yù)極化處理的壓電陶瓷材料,是一種多晶體多電疇材料,對(duì)于其中的每個(gè)電疇來(lái)說(shuō),具有方向相同的自發(fā)極化,但就由多晶體多電疇組成的整體而言,因各電疇無(wú)規(guī)則排列，各電疇的極化效應(yīng)被相互抵消，并不具有壓電效應(yīng)。如圖3(a)所示。壓電陶瓷自發(fā)極化的電疇會(huì)在外電場(chǎng)的作用下重新取向，這種在外電場(chǎng)作用下，電疇重新取向的狀態(tài)稱為鐵電效應(yīng)[18]。為使壓電陶瓷材料具有壓電效應(yīng), 就必須利用其鐵電效應(yīng)進(jìn)行預(yù)極化處理，即在壓電陶瓷上加一足夠高的直流電場(chǎng)，并保持一定的溫度和時(shí)間，迫使其電疇轉(zhuǎn)向，或者說(shuō)迫使其自發(fā)極化作定向排列。如圖3(b)所示。去掉電場(chǎng)后，經(jīng)預(yù)極化處理后的電疇雖然不會(huì)完全轉(zhuǎn)向與電場(chǎng)一致的方向，但在壓電陶瓷內(nèi)部仍存有很強(qiáng)的剩余極化強(qiáng)度。如圖3(c)所示。當(dāng)外界機(jī)械力F作用于壓電陶瓷傳感器時(shí)，會(huì)使壓電陶瓷材料發(fā)生形變，壓電陶瓷材料的形變迫使電疇發(fā)生轉(zhuǎn)向，極化強(qiáng)度變??；當(dāng)減小外界機(jī)械力F，壓電陶瓷材料恢復(fù)形變，極化強(qiáng)度變大，而非180°電疇轉(zhuǎn)向是不完全可逆的，相對(duì)于形變?cè)黾拥倪^(guò)程中，減小過(guò)程電疇轉(zhuǎn)向要比同一應(yīng)變時(shí)增加過(guò)程時(shí)的電疇轉(zhuǎn)向要小，因此極化強(qiáng)度小于同一應(yīng)變時(shí)形變?cè)黾訒r(shí)的極化強(qiáng)度。從而壓電陶瓷傳感器的應(yīng)變-輸出電壓曲線產(chǎn)生嚴(yán)重的遲滯非線性現(xiàn)象。

(a) 極化處理前 (b) 極化處理過(guò)程中 (c) 極化處理后

圖3 壓電陶瓷的極化處理

Fig.3 Polarization treatment of the piezoelectric ceramic

2 非對(duì)稱遲滯模型建立

壓電陶瓷傳感器的遲滯非線性可以利用逆模型進(jìn)行線性化控制，本文在傳統(tǒng)B-W模型的基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)模型來(lái)表征壓電陶瓷傳感器的非對(duì)稱遲滯特性。模型建立包括兩部分：①正模型建立,正模型建立主要是確立壓電陶瓷傳感器的輸出電壓隨驅(qū)動(dòng)位移變化的模型關(guān)系;②逆模型求取,逆模型求取主要是對(duì)所建立的正模型進(jìn)行反變換，得到壓電陶瓷傳感器的驅(qū)動(dòng)位移隨輸出電壓變化的模型關(guān)系。

2.1 正模型建立

根據(jù)傳統(tǒng)B-W模型，電壓u(t)的表達(dá)式定義為

u(t)=dx(t)+h(t)

(7)

式中:x(t)是遲滯輸入，u(t)是遲滯輸出，d為傳感器輸出電壓與驅(qū)動(dòng)位移的比率常量，h(t)代表一個(gè)可觀測(cè)的遲滯非線性項(xiàng)。在零初始條件下，h(t)滿足如下方程[19]

(8)

式中:α,β,γ和n用來(lái)控制遲滯回線的形狀大小。式(8)可進(jìn)一步改寫(xiě)為

(9)

定義形狀控制函數(shù)為

Ψ(x′,h)=γ+βsgn[x′(t)h(t)]

(10)

其中sgn表示符號(hào)函數(shù)。

由式(10)可知:傳統(tǒng)B-W模型的形狀函數(shù)在四個(gè)不同的區(qū)域只有兩個(gè)獨(dú)立的值(γ+β和γ-β)，它是關(guān)于中心點(diǎn)嚴(yán)格對(duì)稱的模型, 因而，如果直接用它描述壓電陶瓷的非對(duì)稱遲滯現(xiàn)象，很難達(dá)到較高的擬合精度。

為了提高模型精度，對(duì)傳統(tǒng)B-W模型進(jìn)行改進(jìn)勢(shì)在必行, 且改進(jìn)型B-W模型的形狀控制函數(shù)必須具有非對(duì)稱性。為使改進(jìn)后的B-W模型的形狀控制函數(shù)在其四個(gè)區(qū)域段具有相互獨(dú)立的值，本文定義形狀控制函數(shù)為

(11)

如圖4所示,本文改進(jìn)B-W模型的形狀控制函數(shù)在四個(gè)區(qū)域段具有四個(gè)獨(dú)立的值:①在區(qū)域段(x′≥0,h≥0),ψ(x′,h)的值為γ+β+φ;②在區(qū)域段(x′<0,h≥0),ψ(x′,h)的值為γ-β-φ;③在區(qū)域段(x′<0,h<0),ψ(x′,h)的值為γ+β-φ;④在區(qū)域段(x′>0,h<0),ψ(x′,h)的值為γ-β+φ。

圖4 改進(jìn)B-W模型的形狀控制函數(shù)特性

由于改進(jìn)B-W模型的形狀控制函數(shù)在四個(gè)區(qū)域段具有四個(gè)獨(dú)立的值，能夠獨(dú)立地控制遲滯回線在四個(gè)區(qū)域段的形狀，所以改進(jìn)后B-W模型既可以描述對(duì)稱遲滯，也可以描述非對(duì)稱遲滯現(xiàn)象。

2.2 模型參數(shù)分析

(1) 令d=1,α=1,β=1,γ=0.5,φ=0.5,n=1,輸入x(t)=2sint,傳統(tǒng)B-W和改進(jìn)B-W的遲滯正模型曲線,如圖5所示。

圖5 遲滯正模型曲線

(2) 令d=1,β=1,γ=0.5,φ=0.5,n=1,輸入x(t)=2sint,當(dāng)α=0.6和α=2時(shí)改進(jìn)B-W的遲滯正模型曲線,如圖6所示。

圖6 α改變時(shí)遲滯曲線

(3) 令d=1,α=1,γ=0.5,φ=0.5,n=1,輸入x(t)=2sint,當(dāng)β=0.6和β=2時(shí)改進(jìn)B-W的遲滯正模型曲線,如圖7所示。

圖7 β改變時(shí)遲滯曲線

(4) 令d=1,α=1,β=1,φ=0.5,n=1,輸入x(t)=2sint,當(dāng)γ=0.6和γ=2時(shí)改進(jìn)B-W的遲滯正模型曲線,如圖8所示。

圖8 γ改變時(shí)遲滯曲線

(5) 令d=1,α=1,β=1,γ=0.5,n=1,輸入x(t)=2sint,當(dāng)φ=0.05和φ=0.5時(shí)改進(jìn)B-W的遲滯正模型曲線,如圖9所示。

圖9 φ改變時(shí)遲滯曲線

(6) 令d=1,α=1,β=1,γ=0.5,φ=0.5,輸入x(t)=2sint,當(dāng)n=0.1和n=1時(shí)改進(jìn)B-W的遲滯正模型曲線,如圖10所示。

圖10 n改變時(shí)遲滯曲線

(7) 令d=1,α=1,β=1,γ=0.5,φ=0.5,n=1,輸入x(t)=2sint和x(t)=2sin 10t時(shí)改進(jìn)B-W的遲滯正模型曲線,如圖11所示。

圖11 頻率改變時(shí)遲滯曲線

由圖5可以看出:傳統(tǒng)B-W模型是關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱的，本文提出的改進(jìn)B-W模型可以反映非對(duì)稱遲滯特性。由圖6～圖10可以看出:改變參數(shù)α,β,γ,φ和n的值時(shí)，遲滯曲線的形狀和大小會(huì)隨著改變。其中，參數(shù)α主要影響遲滯曲線的大小，對(duì)遲滯曲線的形狀和非對(duì)稱特性影響不大；參數(shù)β,γ,φ和n的大小主要影響遲滯曲線的形狀和非對(duì)稱特性。由圖11可以看出:當(dāng)輸入信號(hào)的頻率改變時(shí)，遲滯曲線也會(huì)隨著改變，即，本文提出的改進(jìn)B-W模型可以反映頻率相關(guān)性。

2.3 逆模型求取

對(duì)式(7)求取反函數(shù)可得

(12)

由2.1節(jié)可知，改進(jìn)B-W正模型的遲滯非線性項(xiàng)h(t)在零初始條件下滿足如下關(guān)系

h′(t)=x′(t){α-[γ+βsgn(x′(t)h(t))+

(13)

其中

(14)

定理 對(duì)于由式(12)和式(13)描述的改進(jìn)Bouc-Wen遲滯逆模型，有

sgn(x′)=sgn(u′)

證明 對(duì)于式(13)描述的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

h′(t)=x′(t){α-[γ+βsgn(x′(t)h(t))+

由Gronwall定理可知，h(t)有界，且

(15)

故

(16)

由式(12)得

(17)

式中:d為傳感器輸出電壓與驅(qū)動(dòng)位移的比率常量，d≥0。

由式(16)、(17)可知

(18)

即：sgn(x′)=sgn(u′)

(19)

定理得證。

由式(12)～式(14)和定理可得

(20)

h′(t)=x′(t)f(u′,h)

(21)

與圖5對(duì)應(yīng)的遲滯逆模型曲線,如圖12所示。

圖12 改進(jìn) B-W遲滯逆模型曲線

3 遲滯逆補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

本文利用改進(jìn)B-W逆模型作為補(bǔ)償器來(lái)補(bǔ)償壓電陶瓷傳感器的遲滯非線性。

3.1 改進(jìn)B-W模型參數(shù)辨識(shí)

3.1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

在辨識(shí)模型參數(shù)前需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到一組壓電陶瓷傳感器的輸入輸出數(shù)據(jù)，然后利用該數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置如圖13所示。本研究首先由測(cè)試平臺(tái)產(chǎn)生一個(gè)正弦信號(hào),經(jīng)過(guò)驅(qū)動(dòng)電源放大處理，輸出給壓電陶瓷位移驅(qū)動(dòng)器(0～150 V,55 μm),壓電陶瓷位移驅(qū)動(dòng)器控制加壓板產(chǎn)生正弦波振動(dòng)載荷施加給PZT壓電陶瓷傳感器，傳感器產(chǎn)生的電荷信號(hào)由電荷放大器轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)。最后，電荷放大器的輸出電壓信號(hào)和位移傳感器獲得的位移信號(hào)通過(guò)數(shù)據(jù)采集卡傳送給上位機(jī)。

圖13 實(shí)驗(yàn)裝置

3.1.2 模型參數(shù)辨識(shí)

本文提出的改進(jìn)B-W模型有6個(gè)需要辨識(shí)的參數(shù),它們分別是d,α,β,γ,φ和n。目前，辨識(shí)模型參數(shù)的方法有很多，如最小二乘法、粒子群算法、差分進(jìn)化算法等。其中，差分進(jìn)化算法待定參數(shù)少，收斂速度快，不易陷入局部最優(yōu)，具有較強(qiáng)的全局收斂能力和魯棒性[20]。故本文采用差分進(jìn)化算法進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)， 算法流程如圖14所示。

圖14 參數(shù)辨識(shí)算法流程

算法運(yùn)行中，取種群規(guī)模M=50，最大迭代次數(shù)G=200，變異因子F=0.8，交叉因子CR=0.6，辨識(shí)誤差指標(biāo)為

(22)

辨識(shí)誤差函數(shù)J的優(yōu)化過(guò)程如圖15所示，最終誤差指標(biāo)為:J=4.406 6×10-9。根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識(shí)得到的模型參數(shù)如表1所示。改進(jìn)B-W模型與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)對(duì)比如圖16所示,模型曲線和實(shí)驗(yàn)曲線基本吻合。

圖15 誤差函數(shù)的優(yōu)化過(guò)程

參數(shù)數(shù)值d/(V·μm-1)4.263α/(V·μm-1)1.902β/(μm-1)0.785γ/(μm-1)-0.210?/(μm-1)0.075n1.005

圖16 改進(jìn)B-W模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

3.2 遲滯逆補(bǔ)償

為了測(cè)試改進(jìn)B-W逆模型對(duì)壓電陶瓷傳感器的遲滯非線性補(bǔ)償效果,將表1中根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識(shí)得到的模型參數(shù)代入逆模型進(jìn)行補(bǔ)償驗(yàn)證,實(shí)驗(yàn)流程如圖17所示。

圖17 傳感器遲滯逆補(bǔ)償流程

Fig.17 The hysteresis inverse compensation processing of sensors

經(jīng)傳統(tǒng)B-W遲滯逆模型補(bǔ)償校正后,壓電陶瓷傳感器的校正位移與輸入位移的特性曲線見(jiàn)圖18，跟蹤誤差曲線見(jiàn)圖19,最大跟蹤誤差為0.29 μm。經(jīng)改進(jìn)B-W遲滯逆模型補(bǔ)償校正后,壓電陶瓷傳感器的校正位移與輸入位移的特性曲線見(jiàn)圖20，跟蹤誤差曲線見(jiàn)圖21，最大跟蹤誤差為0.03 μm。由圖18～圖21可以看出：通過(guò)逆補(bǔ)償后，改進(jìn)B-W模型的跟蹤誤差遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)B-W模型的跟蹤誤差。即，經(jīng)改進(jìn)B-W模型逆補(bǔ)償后，校正位移總是能夠很好跟蹤傳感器的實(shí)際輸入位移,跟蹤誤差小于0.03 μm，有效保證了傳感器的檢測(cè)精度。

圖18 傳統(tǒng)B-W模型補(bǔ)償后的跟蹤特性曲線

圖19 傳統(tǒng)B-W模型補(bǔ)償后的跟蹤誤差曲線

Fig.19 The tracking error curve after compensation of traditional B-W model

圖20 改進(jìn)B-W模型補(bǔ)償后的跟蹤特性曲線

圖21 改進(jìn)B-W模型補(bǔ)償后的跟蹤誤差曲線

4 結(jié) 論

壓電陶瓷的遲滯非線性是影響壓電陶瓷微測(cè)量系統(tǒng)檢測(cè)精度的主要因素。本文通過(guò)分析壓電陶瓷的鐵電效應(yīng)微觀極化機(jī)理，確定了壓電陶瓷傳感器產(chǎn)生遲滯非線性現(xiàn)象的原因。針對(duì)傳統(tǒng)B-W模型不能準(zhǔn)確反映壓電陶瓷傳感器的非對(duì)稱遲滯特性而導(dǎo)致檢測(cè)精度難以提高的問(wèn)題，提出了一種可以表征壓電陶瓷傳感器非對(duì)稱遲滯現(xiàn)象的改進(jìn)B-W模型，研究并給出了模型參數(shù)對(duì)遲滯曲線的大小、形狀及平穩(wěn)性的影響關(guān)系和逆模型的求取方法。在正弦波振動(dòng)載荷下，分別利用傳統(tǒng)B-W逆模型和改進(jìn)B-W逆模型作為補(bǔ)償器補(bǔ)償壓電陶瓷傳感器的遲滯非線性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，經(jīng)改進(jìn)B-W模型逆補(bǔ)償之后，校正位移總是能夠很好跟蹤傳感器的實(shí)際輸入位移，而且跟蹤誤差明顯小于傳統(tǒng)B-W模型的跟蹤誤差，有效保證了檢測(cè)精度。本文研究成果為基于壓電陶瓷傳感器的振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)提供了一種有效的遲滯非線性誤差補(bǔ)償方法，且適用于具有遲滯特性的其它類型傳感器。