馬馳騁， 羅亞軍， 張希農(nóng)， 程相孟， 邵明玉

(1.山東理工大學 交通與車輛工程學院，山東 淄博 255000；2.西安交通大學 機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

隨著科技的發(fā)展，越來越多的人力勞動被機械所替代，在各個工業(yè)領(lǐng)域，機械自動化程度越來越高，人們設(shè)計出多種多樣的機械臂以滿足不同的工業(yè)需求。由于柔性臂結(jié)構(gòu)具有細長和質(zhì)量輕等特點，振動頻率低，若不采取有效的措施對其振動進行抑制，將嚴重影響柔性臂結(jié)構(gòu)的操作精度和安全性[1-3]。杜欣等[4]針對末端附帶集中質(zhì)量的雙連桿柔性機械臂，采用LQR方法設(shè)計作動器控制律，有效地抑制了柔性臂的彈性振動，提高了柔性臂的運動精度。劉旭亮等[5]以三旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)剛?cè)狁詈蠙C械臂為研究對象，分析了仿人手柔性臂末端負載引起的殘余振動，為機械臂的精確化振動控制提供了參考。為抑制空間機械臂系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動過程中激起的柔性臂的彈性振動，婁軍強等[6]提出了基于Lyapunov穩(wěn)定性的模糊自適應(yīng)速度反饋控制策略，利用壓電致動器有效的抑制了柔性臂的彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動，提高了柔性機械臂系統(tǒng)的末端定位精度。

另一方面機械臂結(jié)構(gòu)通常用來傳遞或者搬運物品，而物品的位置移動或者質(zhì)量改變都會引起系統(tǒng)質(zhì)量參數(shù)的改變，使得這類結(jié)構(gòu)屬于典型的變質(zhì)量結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)質(zhì)量參數(shù)的變化給結(jié)構(gòu)的動力學特性帶來顯著影響，增加了控制的困難性和復(fù)雜性。為解決移動質(zhì)量作用下的彈性梁結(jié)構(gòu)的振動問題，Nikkhoo等[7]設(shè)計了含時變增益矩陣的線性優(yōu)化控制算法有效的控制了結(jié)構(gòu)的多階模態(tài)。吳忻生等[8]則通過邊界控制策略，成功地抑制了末端具有未知擾動的柔性機械臂的振動，該控制策略可達到外界干擾下的指數(shù)穩(wěn)定。李發(fā)宗等[9]將船用挖掘機機械臂結(jié)構(gòu)近似處理成含末端集中質(zhì)量的柔性懸臂梁，建立了含時變參數(shù)的船用挖掘機機械臂系統(tǒng)虛擬樣機模型，分析機械臂的動態(tài)性能，研究結(jié)果可以為進一步研究機械臂工作穩(wěn)定性及運動精度控制提供依據(jù)。郭宇飛等[10]建立了坦克彈藥傳輸機械臂剛?cè)狁詈蟿恿W模型，研究了負載變化情況下彈藥傳輸機械臂的位置控制與柔性振動抑制，對于柔性振動和剛性運動分別采用速度反饋控制和連續(xù)時變增益PD控制實現(xiàn)彈藥傳輸機械臂點到點位置控制及柔性振動抑制。Ma等[11]針對帶有集中變質(zhì)量的懸臂梁結(jié)構(gòu)采用LQG控制器實現(xiàn)了系統(tǒng)的振動主動控制，但是需要求解時變的Raccati方程，模型復(fù)雜，計算量大。

模糊控制對那些數(shù)學模型難以獲取，動態(tài)特性不易掌握或變化非常顯著的對象非常適用。模糊控制系統(tǒng)的魯棒性強，干擾和參數(shù)變化對控制效果的影響被大大減弱，尤其適合于非線性、時變及純滯后系統(tǒng)的控制[12-14]。而PID控制器原理簡單，使用方便，適應(yīng)性強，魯棒性強。結(jié)合模糊控制和PID控制優(yōu)點的模糊PID控制算法，可以在線調(diào)整PID參數(shù)，使控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度快，過渡過程時間大大縮短，超調(diào)量減少，振蕩次數(shù)少，具有更強的魯棒性和穩(wěn)定性。Kuo等[15]在機器人柔性臂的振動控制問題中，采用一種雙時間尺度的模糊控制算法，使機械臂的振動迅速衰減，有效的抑制了結(jié)構(gòu)的振動。魏井君等[16-17]基于查表法設(shè)計振動模糊控制器，提出采用修正Fuzzy-PI雙?？刂品椒ǎ行У囊种屏藨冶哿旱恼駝?。曹青松等[18]提出基于模糊自整定PID算法的柔性臂振動主動控制方法，試驗結(jié)果也驗證了該算法的有效性。但是對于含變質(zhì)量參數(shù)的柔性臂結(jié)構(gòu)來說，由于結(jié)構(gòu)自身的質(zhì)量時變、剛度時變或阻尼時變等因素，使其動力學控制規(guī)律更加復(fù)雜。Aghababa[19]應(yīng)用一種分數(shù)階滑?？刂撇呗?，控制含不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)的振動，算例表明該算法具有很強的魯棒性。Sharma等[20]提出了一種新型的分數(shù)階模糊PID控制器，比較了分數(shù)階模糊PID控制器，分數(shù)階PID控制器，模糊PID控制器和經(jīng)典PID控制器的控制效果， 數(shù)值算例表明分數(shù)階模糊PID控制器有更好的魯棒性和控制效率。梁捷等[21]開展了參數(shù)不確定情況下柔性關(guān)節(jié)-柔性臂系統(tǒng)的動力學模擬和主動抑制分析，提出了一種基于虛擬力概念的自適應(yīng)模糊全局滑?？刂品桨福⒗孟嚓P(guān)實驗證實了該方法的可靠性和有效性。針對系統(tǒng)的變質(zhì)量特性，本文擬采用模糊PID控制器來時變變質(zhì)量時變系統(tǒng)的振動控制研究。主要工作如下：首先推導(dǎo)了含變質(zhì)量構(gòu)件的壓電梁結(jié)構(gòu)的運動方程，研究了系統(tǒng)的振動特性，然后采用PID控制器和模糊PID控制器對質(zhì)量增大系統(tǒng)和質(zhì)量減少系統(tǒng)兩類變質(zhì)量時變系統(tǒng)進行了振動控制研究。

1 動力學模型

圖1 所示為一個粘貼有壓電片的柔性梁結(jié)構(gòu)，其中梁的長度為L，梁末端安裝一個集中質(zhì)量，該質(zhì)量是時間的函數(shù)m(t)，單位時間內(nèi)流入或者流出的質(zhì)量為dm，v(t)代表dm流入或者流出m(t)時的絕對速度，壓電片長度為a，壓電的位置用x1表征，載荷f(t)作用在x2處，研究中忽略梁的剪切變形，采用歐拉梁理論，計算中只考慮梁結(jié)構(gòu)的彎曲振動。

如圖1所示的含變質(zhì)量參數(shù)的壓電梁結(jié)構(gòu)的運動方程為

EbIbKfεpeH(x)+f(t)δ(x2)

(1)

圖1 粘貼有壓電片的變質(zhì)量-梁結(jié)構(gòu)

(2)

根據(jù)壓電材料的本構(gòu)方程，εpe可以表示為

εpe=d31Va/ha

(3)

式中:d31和ha分別為壓電應(yīng)變常數(shù)和壓電片厚度。因此壓電片的作動力可以寫成

fV=EbIbKfεpeH(x)=KVV

(4)

當圖1所示的梁結(jié)構(gòu)為懸臂梁時，邊界條件為

w(0)=wx(0)=wxx(L)=0

(5)

EbIbwxxx(L)=0

(6)

根據(jù)模態(tài)疊加法(Mode Superposition Method，MSM)，式(1)的解可為前n階模態(tài)φi(x,t)和組合廣義坐標qi(t)的形式

(7)

與時不變系統(tǒng)不同，φi(x,t)為瞬時模態(tài)，是時間的函數(shù)，因此在計算中涉及對時間微分的部分，必須考慮模態(tài)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。φi(x,t)的形式如下

(8)

當末端質(zhì)量為常數(shù)時，Cj為常數(shù)，對于變質(zhì)量系統(tǒng)，末端質(zhì)量是隨時間變化的函數(shù)，因此Cj為末端質(zhì)量的函數(shù)，滿足如下正交關(guān)系

(9)

式中:δij為Kronecker delta函數(shù)。βj為末端質(zhì)量m(t)的函數(shù)

cosβjLsinhβjL)

(10)

將式(10)代入式(1),通過Galerkin方法可以得到變質(zhì)量梁系統(tǒng)的振動控制方程

(11)

M=I

(12)

(13)

(14)

F=F[f(t),fV(t),φ]

(15)

本文主要研究質(zhì)量線性時變系統(tǒng)，時變質(zhì)量變化形式為m(t)=m0+γt，其中m0為初始質(zhì)量，γ為一個表征系統(tǒng)質(zhì)量變化率的參數(shù)。對于質(zhì)量減小的系統(tǒng)，γ<0，對于質(zhì)量增大的系統(tǒng)γ>0。數(shù)值計算中，對于質(zhì)量增大的系統(tǒng)，梁末端的集中質(zhì)量從0線性地增大到2 kg，對于質(zhì)量減小的系統(tǒng)，梁末端的集中質(zhì)量從2 kg線性地減小到0。

假設(shè)梁結(jié)構(gòu)的材料為線彈性的，壓電材料使用其x-z方向的壓電特性，梁結(jié)構(gòu)和壓電片的材料參數(shù),如表1所示。首先分別使用模態(tài)疊加法(MATLAB)和有限元法(ANSYS)計算了不同末端質(zhì)量時系統(tǒng)的固有頻率，如表2所示。從表2可知，使用兩種方法得到的結(jié)果是一致的。但是模態(tài)疊加法求解動力學響應(yīng)時，自由度少，計算效率更高，而且便于施加控制。

表1 材料參數(shù)

表2 不同末端質(zhì)量時系統(tǒng)的固有頻率

時變質(zhì)量系統(tǒng)自由振動的位移響應(yīng)曲線,如圖2所示，使用模態(tài)疊加法和有限元法得到的結(jié)果對應(yīng)一致，從圖2可知,當末端質(zhì)量減小時，位移幅值逐漸增大，而當質(zhì)量增大時，位移幅值逐漸減小。這是由于質(zhì)量變化引起了一個非結(jié)構(gòu)阻尼項，該非結(jié)構(gòu)阻尼項正比于系統(tǒng)的質(zhì)量變化率，當dm/dt<0即γ<0時，質(zhì)量減少相當于引起了一個非結(jié)構(gòu)負阻尼，該負阻尼使得系統(tǒng)的振幅增大，反之，dm/dt>0時，質(zhì)量增大相當于引起非結(jié)構(gòu)正阻尼，使得系統(tǒng)振幅加速衰減。

(b) dm/dt>0

2 模糊PID振動控制器

PID是工業(yè)控制中應(yīng)用最廣泛、技術(shù)最成熟的一種控制方法，經(jīng)典PID控制器設(shè)計,如圖3所示。它根據(jù)給定值r(t)與實際輸出值y(t)構(gòu)成控制偏差e(t)=r(t)-y(t)，將偏差進行比例、積分、微分運算并通過一定規(guī)律的線性組合構(gòu)成控制u(t)對被控量進行控制，滿足：

(16)

圖3 經(jīng)典PID控制器

式中:比例系數(shù)kp，積分系數(shù)ki和微分系數(shù)kd往往是固定的。而對于變質(zhì)量時變系統(tǒng)，系統(tǒng)的質(zhì)量參數(shù)隨時變化，使用經(jīng)典PID控制器無法在整個時變過程中實現(xiàn)優(yōu)化控制。而對于時變模型，通過模糊控制實時的調(diào)節(jié)反饋參數(shù)，可以有效的提高控制效果，更加適合時變系統(tǒng)的控制。

2.1 模糊PID控制器

在模糊PID控制器中，如圖4所示。模糊控制器通過建立PID的反饋系數(shù)kp，ki，kd和輸入誤差e=r(t)-y(t)及誤差導(dǎo)數(shù)ec=de/dt的模糊邏輯關(guān)系，實時得到反饋系數(shù)的修正值Δkp，Δki，Δkd，通過改進PID控制器的參數(shù)，提高控制效果，參數(shù)修正后，使用PID控制器作用于壓電作動器，抑制系統(tǒng)的振動。

圖4 模糊PID控制器示意圖

2.2 模糊化

仿真中使用的模糊PID控制器為一個3輸入(kp，ki，kd)2輸出(e,ec)控制器，但是在模糊控制器設(shè)計中，無法直接識別這5個參數(shù)，因此在模糊控制器設(shè)計中，首先將這5個參數(shù)轉(zhuǎn)化為7個模糊變量[NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB]，子集中元素分別代表負大，負中，負小，零，正小，正中，正大，這一步稱為模糊化?？刂破髟O(shè)計中通過系統(tǒng)的振動特性定義輸入值和輸出值的取值范圍，計算中e，ec，kp，ki和kd五個參數(shù)的定義域分別為[-6, 6]，[-3, 3]，[-0.3, 0.3]，[-0.3, 0.3]和[-0.3, 0.3]。

2.3 模糊控制規(guī)則

Δkp，Δki和Δkd模糊控制規(guī)則,如表3～表5所示，在模糊模塊中，重力模型和Mamdani算法被用來實現(xiàn)模糊變量的去模糊化。

表3 Δkp模糊控制規(guī)則表

表4 Δki模糊控制規(guī)則表

根據(jù)模糊控制率得到參數(shù)修正量Δkp，Δki和Δkd，因此經(jīng)過模糊模塊修正后的PID控制器的三個參數(shù)分別為

kp=kp0+Δkp

(17)

ki=ki0+Δki

(18)

表5 Δkd模糊控制規(guī)則表

kd=kd0+Δkd

(19)

式中:kp0，ki0和kd0為PID中比例參數(shù)、積分參數(shù)和微分參數(shù)的初始取值。通過模糊策略，在控制過程中，在線、實時的調(diào)節(jié)控制參數(shù)kp，ki，kd，使得PID控制器更適用于該變質(zhì)量時變系統(tǒng)。

3 時頻響應(yīng)分析

在時變參數(shù)系統(tǒng)的振動信號處理中，使用Fourier 變換雖然可以得到信號的部分頻域特征，但是無法得到系統(tǒng)共振頻率和振動能量的時間特性。而時頻分析技術(shù)以其強大的功能被擴展到諸多信號處理問題中，多種分布函數(shù)如Wigner-Ville分布，Choi-Williams分布等，被廣泛應(yīng)用機械設(shè)計、振動監(jiān)測和故障診斷等領(lǐng)域[23-25]，鑒于Choi-Williams分布函數(shù)信號密集性好、交叉項抑制能力強等優(yōu)點，本文采用Choi-Williams分布函數(shù)來處理得到的非平穩(wěn)位移響應(yīng)信號。

圓錐型Choi-Williams分布函數(shù)的形式為

(20)

從式(20)可知，Choi-Williams分布通過建立時間t和頻率ω的聯(lián)合函數(shù)，描述信號同時在時間和頻率的能量密度或強度，比FFT分析所得到的信息更加完整。其中Ax(η,τ)為Sussman模糊函數(shù)，用來修正原始信號，保證信號在時頻分析中的穩(wěn)定性。

(21)

φ(η,τ)為指數(shù)型核函數(shù)

φ(η,τ)=e-α(ητ)2

(22)

通過調(diào)整α值的大小可以控制時頻分析的精度。借助MATLAB 時頻分析工具箱，可以迅速得到時域信號的時頻分解。

4 振動控制計算仿真

系統(tǒng)的振動能量主要集中在前幾階模態(tài)振動中，因此低階振動的控制一直是主動控制的重點。給定圖1所示的質(zhì)量-彈性梁結(jié)構(gòu)一個初始位移然后釋放，在結(jié)構(gòu)自由振動過程中，施加模糊PID反饋控制器，調(diào)節(jié)壓電片控制梁結(jié)構(gòu)的振動。通過數(shù)值模擬，首先計算了質(zhì)量減少系統(tǒng)的振動主動控制，控制前后的位移響應(yīng)曲線,如圖5所示。對應(yīng)的頻響曲線,如圖6所示。

從圖5可知，施加PID和模糊PID控制后，系統(tǒng)的振動都得到了有效的抑制，對比這兩種控制后的響應(yīng)曲線，施加模糊PID控制后，系統(tǒng)的位移響應(yīng)衰減的更快，說明使用模糊控制部分調(diào)節(jié)的PID控制器的參數(shù)，可以有效改善控制效果。由于系統(tǒng)質(zhì)量減少，因此系統(tǒng)的頻率增大。對比圖5(a)和圖5(b)中系統(tǒng)的響應(yīng)曲線可知，kp0越大，反饋增益越大，控制效果越好，但必須保證壓電片的驅(qū)動電壓在使用范圍之內(nèi)，防止電壓過大造成壓電片的損壞。從幅值譜曲線上也可知，使用PID控制器，幅值下降了60%，而使用模糊PID控制器后，幅值下降了約為85%。

(a) kp0=0.5,ki0=0.05,kd0=0.05

(b) kp0=0.8,ki0=0.05,kd0=0.05

Fig.5 Displacement responses for decreasing mass system with and without control

(a) kp0=0.5,ki0= 0.15,kd0=0.05

(b) kp0=0.8,ki0= 0.15,kd0=0.05

Fig.6 Frequency responses for decreasing mass system with and without control

對圖5(a)中的位移響應(yīng)曲線做CWD(Choi Williams distribution)，得到了圖7中顯示的控制前后系統(tǒng)位移曲線的時頻響應(yīng)譜。系統(tǒng)末端的集中質(zhì)量從2 kg線性的減小到0，系統(tǒng)的振動頻率從1.6 Hz增大到2.4 Hz，從圖7(a)可知，系統(tǒng)的振動能量增大，這是非結(jié)構(gòu)負阻尼的作用使得系統(tǒng)的動能增大，施加控制后，因此從能量密度譜上可以看出，系統(tǒng)的振動能量迅速減少，也就是說系統(tǒng)的振動得到了有效的控制。比較圖7(b)和圖7(c)可知,模糊PID的控制效果由于經(jīng)典PID控制器。當β<0,kp0=0.8時，系統(tǒng)的時頻響應(yīng)譜圖,如圖8所示?，F(xiàn)象與圖7中所示的現(xiàn)象類似，但是由于施加的反饋系數(shù)更大，因此控制效果更好。

(a) No control

(b) PID

(c) Fuzzy PID

(a) No control

(b) PID

(c) Fuzzy PID

對于質(zhì)量增大的系統(tǒng)，控制前后系統(tǒng)的位移響應(yīng)曲線和幅值譜曲線,如圖9和圖10所示。類似的，從圖中可知，施加PID和模糊PID控制后，系統(tǒng)的振動幅值迅速衰減，對比PID和模糊PID控制后的位移響應(yīng)曲線表明，施加模糊PID控制后，系統(tǒng)的位移響應(yīng)衰減的更快，說明模糊PID控制器自適應(yīng)性更強，控制效果更好。從幅值譜曲線上也可以看出，使用PID控制器，幅值下降了54%，而使用模糊PID控制器后，幅值下降了約為83%。

(a) kp0=0.5,ki0=0.05,kd0=0.05

(b) kp0=0.8,ki0=0.05,kd0=0.05

Fig.9 Displacement responses for decreasing mass system with and without control

(a) kp0=0.5,ki0=0.15,kd0=0.05

(b) kp0=0.8,ki0=0.15,kd0=0.05

Fig.10 Frequency responses for increasing mass system with and without control

(a) No control

(b) PID

(c) Fuzzy PID

(a) No control

(b) PID

(c) Fuzzy PID

對圖9中的位移響應(yīng)曲線做CWD，得到了質(zhì)量增大系統(tǒng)位移曲線的時頻響應(yīng)譜，分別如圖11和圖12所示。梁末端的集中質(zhì)量從0增大到2 kg時，系統(tǒng)的振動頻率從2.37 Hz降低到1.6 Hz左右，使用模糊PID控制，系統(tǒng)振動的衰減更快，同時增大反饋系數(shù)，也可以提升控制效果。

5 結(jié) 論

本文針對含變質(zhì)量參數(shù)的柔性機械臂結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)了粘貼有壓電片的變質(zhì)量-歐拉梁組合結(jié)構(gòu)的控制方程，研究了該類時變系統(tǒng)的動力學特性，并開展了振動主動控制研究，采用經(jīng)典PID控制器和模糊PID控制器對變質(zhì)量-彈性梁結(jié)構(gòu)開展主動控制研究。主要結(jié)論如下：

(1) 通過模態(tài)疊加法和有限單元法得到的結(jié)果對比一致，驗證了本文計算的正確性。對于變質(zhì)量時變系統(tǒng)來說，質(zhì)量變化使得系統(tǒng)振動頻率變化的同時，會引起系統(tǒng)振動幅值的改變。這是由于質(zhì)量變化會引起一個非結(jié)構(gòu)阻尼，當系統(tǒng)質(zhì)量增加時會引起一個非結(jié)構(gòu)正阻尼，當系統(tǒng)質(zhì)量減少時，引起非結(jié)構(gòu)負阻尼。

(2) 使PID控制和模糊PID控制兩種算法都可以實現(xiàn)系統(tǒng)的振動抑制，在關(guān)心頻率范圍帶內(nèi)都可以對結(jié)構(gòu)的振動都得到了有效的抑制。但是使用模糊自整定PID控制器，魯棒性高，自適應(yīng)性強，通過改進PID控制器的參數(shù)，可有效的提高控制效果。

(3) 采用時頻分析技術(shù)分析系統(tǒng)的響應(yīng)信號，可以顯示系統(tǒng)的時頻特性，比FFT變換更有優(yōu)勢。