賴詩洋， 夏小均， 徐中明

(1. 重慶工程職業(yè)技術學院 機械工程學院,重慶 402260; 2. 重慶車輛檢測研究院有限公司，重慶 401122；3. 重慶大學 汽車工程學院,重慶 400030)

現(xiàn)階段發(fā)展較為成熟的有限元方法主要應用于低頻[1-2]，統(tǒng)計類方法只在高模態(tài)重疊率的前提下成立[3]，兩者在中頻振動噪聲分析中具有一定的局限性，而混合FE-SEA方法[4-6]建模過程所需參數(shù)較多且無法得到模型的細節(jié)。在確定性的中頻預測方法研究[7-9]中，由Desmet[10]提出的波函數(shù)法具有高效、高精度、自由度少的特性，是一種確定性的Trefftz法[11-12]，能夠解決有限元方法、統(tǒng)計類方法在中頻聲振分析中的不足。目前，該方法已經成功運用到了各向同性薄板的彎曲振動[13-14]、各向同性厚板的彎曲振動[15]、結構聲學耦合響應[16-17]、多孔阻尼材料聲學耦合響應[18]等問題中。

隨著材料科學的發(fā)展和工業(yè)上對結構性能要求的提高，越來越多的復合材料被用于替換傳統(tǒng)結構材料，像蜂窩板、纖維增強聚合物等都已經運用于航空、航天、船舶和汽車工業(yè)。而且這類典型的結構聲耦合系統(tǒng)在采用正交各向異性的薄板時，由于其在不同方向上具有性質不同，原有的各向同性薄板理論已不適用[19]，其振動響應特性的改變將很大程度上影響產品的NVH性能，采用波函數(shù)法可快速準確地對正交各向異性薄板的振動響應進行預測。因此，對正交各向異性薄板，采用波函數(shù)法實現(xiàn)在更高頻段的振動響應預測，進一步為產品設計優(yōu)化提供必要的指導，有著重要的實際工程價值和意義。

文章基于正交各向異性薄板的彎曲振動與波函數(shù)法理論，推導了能描述正交各向異性薄板振動響應的結構波函數(shù)，建立了正交各向異性薄板在外部作用下的響應模型，再結合加權余量法實現(xiàn)波函數(shù)法對正交各向異性薄板的振動響應預測，并通過數(shù)值算例驗證了方法的正確與高效性。

1 正交各向薄板彎曲振動

對于薄板，以Kirchhoff理論為基礎對正交各向異性板的振動特性進行分析。設其彈性主軸平行于x,y方向的正交各向異性板，則在外部激勵f(x,y,t)下的法向振動位移響應控制方程為[20]

(1)

其中正交各向板的參數(shù)定義為

式中:E1，E2和v1,v2分別為沿x,y方向的彈性模量和泊松比;G為xy平面的剪切模量；ρ為平板材料密度；h為薄板厚度。

在圓頻率為ω的簡諧激勵f(x,y,t)=F(x,y)e-iωt下，正交各向薄板的穩(wěn)態(tài)響應為

ρhω2w=F

(2)

該式為4階微分方程，要獲得薄板的法向振動位移響應w，則至少需要確定兩類結構邊界條件。與各向同性板類似，其常用的邊界條件也包括運動學邊界、力學邊界和混合邊界。

運動學邊界

(3)

力學邊界

(4)

混合邊界

(5)

轉角

(6)

彎矩

(7)

等效剪切力

(8)

2 正交各向異性薄板作用力響應

外部激勵作用于正交各向異性薄板時，由于薄板的材料特征與各向同性材料已經不同，得到的響應也會不一樣。因此，對于此類材料薄板，在外部激勵下的振動位移響應，成為求解薄板全局彎曲振動響應的關鍵?？紤]集中力的情況下，在平板的垂直法向作用一簡諧力于(x0,y0)，則有

f(x,y,t)=Fe-iωtδ(x-x0)δ(y-y0)

(9)

則控制方程式(2)可表達為

ρhω2w=Fδ(x-x0)δ(y-y0)

(10)

運用二維傅里葉變換將w(x,y)轉化為波數(shù)域(kx,ky)有

(11)

相應的逆變換為

(12)

將上式的積分變量(kx,ky)轉換為(k,a)的函數(shù)kx=kcos(a),ky=ksin(a)。由于是對角度進行積分，將笛卡爾坐標(x,y)轉換到柱坐標(r,θ)下有x=rcos(θ),y=rsin(θ)。由于響應以2π為周期的積分，將式(12)按cos(a-θ)>0和cos(a-θ)≤0進行分段積分，相應的積分區(qū)間為0-π/2～θ+3π/2，得到無限正交各向異性板在點激勵下的響應為[21-22]

(13)

式中：kf(a)為定義的角坐標下彎曲波數(shù)。

(14)

G(a)=D11cos(a)4+2(D12+2D66)cos(a)2sin(a)2+

D22sin(a)4

(15)

為體現(xiàn)正交各向異性板在點激勵下的響應特性，現(xiàn)取尺寸為(0.4 m×0.4 m)的方形石墨-環(huán)氧薄板，其主軸與x,y方向平行,材料參數(shù)為E11=138 GPa，E22=8.9 GPa，G12=5.176 GPa，v12=0.3，ρ=1 600 kg/m3，h=0.005 m。在其正中位置施加單位力，計算該薄板的法向位移響應，結果如圖1所示，可知正交各向異性板的位移響應不再如各向同性板響應是圓形的軸對稱云圖，而是根據(jù)各主軸彈性模量的變化而變化。

圖1 各向異性板振動位移響應Fig.1 Displacement response of an orthotropic plate

3 正交各向異性薄板波函數(shù)法

波函數(shù)法是一種完全不同于單元類方法的確定性數(shù)值分析手段。該方法是將分析域變量表示為嚴格滿足控制方程的一系列波函數(shù)的疊加，再通過加權余量法實現(xiàn)邊界殘差積分歸零來求得各波函數(shù)的權系數(shù)，進而得到全局響應。

基于波函數(shù)法理論，正交各向異性板的法向振動位移w可表示為一系列波函數(shù)φs的疊加

(16)

3.1 正交各向異性材料波函數(shù)

由式(16)可以發(fā)現(xiàn)要求得正交各向異性材料薄板的彎曲振動響應，前提是得到精確滿足齊次控制方程的結構波函數(shù)。采用類似各向同性材料薄板的波函數(shù)形式，而由于正交各向異性材料各主軸參數(shù)的不同，對應x和y方向的波數(shù)定義也將不同。

(17)

式中：nb=4(ns1+1)+4(ns2+1)為模型自由度，也即計算成本的反映。

將定義的波函數(shù)形式代入式(2)的齊次方程中得到

(18)

式中:Lx,Ly為薄板在x,y方向的外輪廓尺寸。

依據(jù)波函數(shù)法理論，求解變量在波函數(shù)取無窮數(shù)量時才能得到精確解。實際中需要一定的截斷準則，該準則是要求最高頻率下波數(shù)滿足描述實際物理尺寸的振蕩特性。定義截斷系數(shù)T(≥2)，滿足如下規(guī)則

(19)

3.2 邊界積分

類似于各向同性板的波函數(shù)法，板的響應由各波函數(shù)疊加得到，且各波函數(shù)的權系數(shù)仍由邊界積分得到。運用Galerkin加權余量法使板的各邊殘差為零，有

(20)

將各邊界余量值Rw，Rθ，RM，RV代入式(20),得到包含各波函數(shù)權系數(shù)ws的系統(tǒng)矩陣如式(21)，求解該矩陣，再將獲得的波函數(shù)系數(shù)代入式(16)，便可求解得到正交各向異性薄板的彎曲振動響應。

[A]{ws}={f}

(21)

其中,

(22)

4 數(shù)值驗證

為了驗證論述方法的正確性，引入單向纖維聚合矩形薄板，結構尺寸如圖2所示，材料參數(shù)如表1所示，分析其在周邊簡支與周邊固支情況下的法向振動響應。板的厚度為1 mm，在板(xq,yq)=(0.16 m,0.14 m) 處作用一法向單位力，并設定點(0.46 m,0.3 m)為參考響應點。波函數(shù)法模型的建模與求解都在matlab平臺，且截斷系數(shù)T=6。為了對比，該薄板振動響應也以有限元軟件MSC/Nastran2012進行分析。為了保證有限元法的精度，采用了尺寸為4 mm的四邊形殼單元進行建模，且采用了直接求解方式。

圖2 正交各向異性板Fig.2 Problem geometry of orthotropic plate

表1 復合材料參數(shù)Tab.1 Mechanical properties of orthotropic materials

4.1 簡支邊界

對于邊界為周邊簡支的薄板在200 Hz的響應如圖3所示。結果表明，波函數(shù)法結果與精細建模的有限元結果一致。由薄板在單位力的位移響應方程可以看出，由于激勵點位置距離過小，造成了特解方程在此點奇異，其值是運用附近點擬合求得，因此該點與有限元法的計算結果存在一定差異。

圖3 簡支邊界正交各向薄板200 Hz振動響應Fig.3 Displacement of orthotropic plate with simply supported boundary at 200 Hz

同時，對于四邊簡支的正交各向異性板，可以雙級數(shù)的形式加以描述[23]，并以此進一步驗證波函數(shù)法的正確性。

(24)

其中，

式中：m，n分別為x,y方向半正弦波的波數(shù)，本文中m=n=50。

圖4為選擇參考點R在1～1 000 Hz的振動響應位移曲線。為對波函數(shù)法進行充分的驗證，該點的響應以雙級數(shù)法、有限元法(精細網格)與波函數(shù)法進行計算與對比。從圖中可以看出，三種方法得到的結果吻合較好，也驗證了基于波函數(shù)法對正交各向異性板在簡支邊界下的正確性。

圖4 簡支邊界下參考點的頻響對比曲線Fig.4 Frequency response of reference point R with simply supported boundary

4.2 固支邊界

對于周邊固支的薄板，也與成熟的有限元法進行了對比。圖5為不同數(shù)值方法下得到的薄板在150 Hz時的振動響應位移云圖，說明了在固支條件下波函數(shù)法計算得到的結果與精細有限元模型得到的結果一致。且參考點在1～1 000 Hz下的響應結果如圖6，也驗證了該方法對正交各向異性薄板振動響應的有效性。

圖5 固支邊界正交各向異性薄板150 Hz振動響應Fig.5 Displacement of orthotropic plate with clamped boundary at 150 Hz.

圖6 R點頻率響應曲線Fig.6 Frequency response of reference point R with clamped boundary

4.3 收斂性分析

在波函數(shù)法應用于正交各向異性材料時，其計算效率也是反映該數(shù)值方法的主要指標。因此，本節(jié)對波函數(shù)法與有限元法進行比較，分析各自收斂性。通過定義500 Hz時的相對誤差來表征計算精度

在同樣的計算機配置下(i5-3470,8 G內存)，基于計算時間的收斂曲線如圖7所示，盡管波函數(shù)法的計算時間包括了模型構建的時間，相對于有限元法計算，仍然有大幅降低。

而模型自由度是其計算量與物理存儲的重要表征，直接關系到計算所需的物理內存，因此同時參考何雪松等的研究，以各方法計算自由度為橫坐標。圖8為波函數(shù)法與有限元法在隨模型自由度變化下的相對誤差曲線，對于正交各向異性材料，相較于有限元法，波函數(shù)法仍有著更高的計算效率。

圖7 有限元與波函數(shù)基于計算時間的收斂曲線對比Fig.7 Comparison of convergence with CPU times

圖8 有限元與波函數(shù)基于模型自由度的收斂曲線對比Fig.8 Comparison of convergence with degree of freedom

5 結 論

文章運用波函數(shù)法對正交各向異性薄板的彎曲振動響應進行了預測分析，得到了能精確描述正交各向異性薄板振動控制方程的結構波函數(shù)?；诟道锶~變換推導出了無限正交各向異性薄板在單位激勵力的振動幅值響應，再結合加權余量法得到薄板全局響應。引入單向纖維聚合矩形薄板，運用有限元法、級數(shù)分析方法和波函數(shù)法對其簡支邊界下的振動響應進行了計算，并以有限元法與波函數(shù)法對固支邊界下的薄板振動響應進行了計算，兩種邊界條件下的對比結果都驗證了基于波函數(shù)法對正交各向異性薄板彎曲振動響應分析的有效性。收斂性分析結果說明，相較于有限元法，波函數(shù)法有更高的計算效率，可適用于更高頻段振動的預測與分析。下一步將考慮正交各向異性結構的聲耦合系統(tǒng)的波函數(shù)法響應以及探索針對各向異性材料的波函數(shù)法。