樂(lè) 英 任書(shū)嫻

（華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，保定 071000）

規(guī)劃?rùn)C(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的目的是研究可靠的方法提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的精度和穩(wěn)定性，使各關(guān)節(jié)位移、速度、加速度、加速度曲線光滑連續(xù)無(wú)突變，避免因?yàn)橥蛔儗?dǎo)致的機(jī)械磨損和振動(dòng)沖擊[1]。機(jī)器人軌跡規(guī)劃通常分為笛卡爾空間的軌跡規(guī)劃和關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃。這里我們對(duì)關(guān)節(jié)空間進(jìn)行軌跡規(guī)劃[2]。

機(jī)器人常用軌跡規(guī)劃方法包括多項(xiàng)式、樣條曲線和不同曲線相結(jié)合的方法。在實(shí)際工程中常采用多項(xiàng)式進(jìn)行規(guī)劃。在曲線拐角處采用五次多項(xiàng)式過(guò)渡法進(jìn)行軌跡規(guī)劃[3]。采用五次多項(xiàng)式對(duì)SCARA機(jī)器人關(guān)節(jié)空間進(jìn)行軌跡規(guī)劃研究[4]。采用七次多項(xiàng)式規(guī)劃?rùn)C(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡，此法易發(fā)生“龍格現(xiàn)象”[5]。采用三次B樣條插補(bǔ)規(guī)劃出機(jī)器人的時(shí)間—平滑性綜合最優(yōu)軌跡[6]。文獻(xiàn)采用三次非均勻有理B樣條規(guī)劃?rùn)C(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡。由于這些方法的加速度曲線或者加加速度曲線有突變，故得到運(yùn)動(dòng)軌跡效果不夠理想[7]。

針對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡不夠平滑和精度不高的問(wèn)題。本文以實(shí)驗(yàn)室六自由度機(jī)器人為研究對(duì)象，基于MATLAB平臺(tái)采用五次NURBS規(guī)劃?rùn)C(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡，并與五次多項(xiàng)式規(guī)劃的機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡進(jìn)行對(duì)比分析，選擇效果更好的軌跡規(guī)劃方法。

1 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃

采用五次多項(xiàng)式、五次NURBS規(guī)劃?rùn)C(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡時(shí)，由已知的笛卡爾空間原始路徑點(diǎn)，通過(guò)機(jī)器人逆解原理求解出關(guān)節(jié)空間的各關(guān)節(jié)位移值，結(jié)合不同規(guī)劃方法的求解算法，求出相應(yīng)的速度及加速度得到不同的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線。

1.1 五次多項(xiàng)式樣條

五次多項(xiàng)式樣條中，任意兩節(jié)點(diǎn)間曲線段由五次多項(xiàng)式擬合生成，五次多項(xiàng)式表達(dá)式中共有六個(gè)未知系數(shù)，對(duì)其求一階、二階求導(dǎo)得到機(jī)器人末端關(guān)于時(shí)間t的速度、加速度表達(dá)式如式（1）～式（3）所示[8]。

式中，與起始和終止時(shí)間點(diǎn)t0、tf對(duì)應(yīng)的角位移θ0和θf(wàn)為已知，且滿(mǎn)足條件如式（4）所示。

在每段多項(xiàng)式起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處滿(mǎn)足二階連續(xù)，設(shè)置

始末點(diǎn)的速度、加速度，且滿(mǎn)足條件如式（5）所示。

已知每個(gè)點(diǎn)的角位移值，設(shè)定其角速度和角加速度為0，兩點(diǎn)共可得到六個(gè)已知條件。將已知條件代入公式（1）、（2）、（3）中并聯(lián)立求解，解出所有未知系數(shù)。

1.2 五次NURBS

NURBS也稱(chēng)非均勻有力B樣條，如式（6）所示。

式中，di為控制頂點(diǎn)，Ni,k(u)為k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，且相互之間的關(guān)系如式（7）所示。

式中，k表示NURBS次數(shù)，i表示序號(hào)。

根據(jù)關(guān)節(jié)位移-時(shí)間節(jié)點(diǎn)序列{pi,ti}反算NURBS控制頂點(diǎn)，t=0,1,2…n。反算控制頂點(diǎn)時(shí)使首末端點(diǎn)與首末數(shù)據(jù)點(diǎn)一致，使曲線的分段連接點(diǎn)與相應(yīng)的內(nèi)部數(shù)據(jù)點(diǎn)一致，即pi有節(jié)點(diǎn)值uk+i,i=0,1,…n

NURBS插值曲線由n+k個(gè)控制頂點(diǎn)di(i=0,1,2,…n+k-1)定義，節(jié)點(diǎn)矢量相應(yīng)為U=[u0,u1,…un+2k]。

設(shè)機(jī)器人的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tall=tn-t0，采用累計(jì)弦長(zhǎng)參數(shù)化方法對(duì)時(shí)間節(jié)點(diǎn)ti歸一化，得到節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0,u1,…un+2k]。具體表達(dá)式如式（8）所示。

用于插值n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)pi的k次NURBS曲線方程如式（9）所示。

將曲線定義域[uk,un+k]內(nèi)的節(jié)點(diǎn)值依次代入方程，得到滿(mǎn)足插值條件的n+1個(gè)方程，如式（10）所示。

對(duì)于k次NURBS開(kāi)曲線還需增加k-1個(gè)通常由邊界條件給定的附加方程，附加方程通過(guò)切矢邊界條件得到，因取兩端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度為k，其首末控制頂點(diǎn)就是首末數(shù)據(jù)點(diǎn)，如式（11）所示。

同理可得相關(guān)表達(dá)式如式（12）所示。

已知所有點(diǎn)角位移和設(shè)定的角速度、角加速度值代入式(10)～式(12)中聯(lián)立求解出NURBS插值曲線的控制頂點(diǎn)，對(duì)得到的NURBS曲線依次求導(dǎo)，得到機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的速度、加速度、加加速度曲線[9]。

2 機(jī)器人建模與仿真

以實(shí)驗(yàn)室REBOT-V-6R機(jī)器人為研究對(duì)象，通過(guò)D-H法建立機(jī)器人的三維模型，該機(jī)器人各關(guān)節(jié)及連桿參數(shù)如表1所示。

表1 REBOT-V-6R機(jī)器人的D-H參數(shù)表

其中，Li為各關(guān)節(jié)的編號(hào)，theta為關(guān)節(jié)變量，d為連桿的偏移量，a為連桿的長(zhǎng)度，alpha為連桿的扭角。

通過(guò)MATLAB中的robotics toolbox工具箱和機(jī)器人的各連桿參數(shù)建立機(jī)器人模型并給機(jī)器人命名為“robot”[10]。如圖1所示。

在建立的機(jī)器人模型的平臺(tái)上，以機(jī)器人末端為作業(yè)點(diǎn)，使末端在三維空間中畫(huà)一個(gè)三角形，畫(huà)圖過(guò)程中機(jī)器人末端的姿態(tài)保持不變。設(shè)p1,p2,p3為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，其坐標(biāo)依次為：

p1=[4.1 -4 4.11]；

p2=[4.1 2.6 4.11]；

p3=[1.1 2.6 4.11]。

在三角形的每條邊上，等距離的取10個(gè)中間點(diǎn)，間隔距離固定為0.3cm，三條邊一共得到30個(gè)點(diǎn)。Z方向坐標(biāo)值均為4.11。接著用工具箱中的ikine函數(shù)，即Q=bot.ikine(T,q)反求出與末端路徑點(diǎn)對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)角度值，得到30×6個(gè)關(guān)節(jié)位移值，結(jié)合不同軌跡規(guī)劃方法的求解算法求出速度和加速度，得到各關(guān)節(jié)代表不同含義的曲線。我們?nèi)我饨厝∫欢螘r(shí)間段，這里取的是在t=[2.5s,3.5s]時(shí)間段里兩種樣條函數(shù)規(guī)劃的關(guān)節(jié)1、2、3的軌跡運(yùn)動(dòng)圖，如圖2、圖3所示。

圖1 機(jī)器人示教界面

圖2 截取的五次多項(xiàng)式規(guī)劃1-3關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)曲線

圖3 截取的五次NURBS規(guī)劃1-3關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)曲線

從圖2、圖3中可以看出，在2.5～3.5s時(shí)間段內(nèi)，兩種規(guī)劃方法得到的角位移、角速度、角加速度曲線趨勢(shì)差別不大。但對(duì)比兩種規(guī)劃方法得到的加加速度曲線可知，五次多項(xiàng)式規(guī)劃的軌跡的加加速度有突變，這會(huì)導(dǎo)致機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生振動(dòng)沖擊。而五次NURBS規(guī)劃的軌跡的加加速度是連續(xù)無(wú)突變的。所以，五次NURBS軌跡規(guī)劃方法穩(wěn)定性更好。

得到180組關(guān)節(jié)位移數(shù)據(jù)后，通過(guò)工具箱中的fkine函數(shù)，即T1=bot.fkine(q1)求出與180組關(guān)節(jié)位移數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的180個(gè)工作空間坐標(biāo)點(diǎn)。得到的空間坐標(biāo)點(diǎn)均為規(guī)劃的機(jī)器人末端軌跡點(diǎn)。機(jī)械手末端軌跡圖如圖4、圖5所示。

圖4 基于五次多項(xiàng)式的機(jī)器人末端軌跡

圖5 基于五次NURBS的機(jī)器人末端軌跡

通過(guò)比較圖4、圖5可以看出，五次NURBS規(guī)劃的三角形各邊的軌跡誤差比五次多項(xiàng)式規(guī)劃的三角形各邊的軌跡誤差要大，說(shuō)明五次NURBS規(guī)劃的軌跡精度更高，穩(wěn)定性更好，要優(yōu)于五次多項(xiàng)式的軌跡。所以，選用五次NURBS軌跡規(guī)劃方法得到的軌跡精度更高更穩(wěn)定，也使機(jī)器人性能更穩(wěn)定，壽命更長(zhǎng)。

3 結(jié)論

為提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的穩(wěn)定性和精度，延長(zhǎng)機(jī)器人的使用壽命。以實(shí)驗(yàn)室的六自由度機(jī)器人為研究對(duì)象，分別采用五次多項(xiàng)式，五次NURBS規(guī)劃?rùn)C(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡，并在MATLAB平臺(tái)上編程得到關(guān)節(jié)軌跡圖片進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明：采用五次NURBS規(guī)劃運(yùn)動(dòng)軌跡的角位移、角速度、角加速度都較光滑，且角加加速度連續(xù)沒(méi)有突變，優(yōu)于角加加速度有突變的五次多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃方法。綜合考慮效果和計(jì)算量，五次NURBS軌跡規(guī)劃方法的運(yùn)動(dòng)性能優(yōu)于五次多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃方法，五次NURBS是精度較高且穩(wěn)定可靠的軌跡規(guī)劃方法。