張 壯 程筱勝 戴 寧 李大偉 孫登廣 孟令尹

南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京，210016

0 引言

快速設(shè)計(jì)與制造可有效縮短產(chǎn)品開(kāi)發(fā)周期，提高企業(yè)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。在設(shè)計(jì)方面，約80%的設(shè)計(jì)為變型設(shè)計(jì)和自適應(yīng)設(shè)計(jì)[1]，即大多數(shù)設(shè)計(jì)過(guò)程是基于以前設(shè)計(jì)知識(shí)的重用，有效利用設(shè)計(jì)知識(shí)的重用可支持快速設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)重用有著不同的層次與類型，人們對(duì)設(shè)計(jì)重用的理論及實(shí)踐進(jìn)行了許多探索，研究集中在產(chǎn)品的幾何、拓?fù)洹⑻卣餍畔⒌谋磉_(dá)與檢索以及基于現(xiàn)有三維建模軟件的二次開(kāi)發(fā)，存在對(duì)平臺(tái)依賴性大、設(shè)計(jì)重用在工程實(shí)際中應(yīng)用困難的問(wèn)題。幾何信息作為產(chǎn)品或零件的最基本信息，是設(shè)計(jì)重用的最基本內(nèi)容。

計(jì)算機(jī)處理速度不斷加快，增材制造幾乎可以制造任意復(fù)雜程度的形狀和結(jié)構(gòu)，在此背景下，網(wǎng)格直接編輯建模方法不斷發(fā)展，從而拓寬了設(shè)計(jì)空間，其中利用設(shè)計(jì)重用思想的網(wǎng)格融合技術(shù)優(yōu)勢(shì)最為明顯。網(wǎng)格融合可將各種現(xiàn)存的任意復(fù)雜的數(shù)字化特征模型按照某種方法組合在一起，創(chuàng)造出新模型。這為零件的設(shè)計(jì)重用提供了新思路。大多數(shù)零件(尤其是復(fù)雜零件)都可以認(rèn)為是由多個(gè)不同特征組合或者“裝配”在一起的。此處特征是指面向設(shè)計(jì)過(guò)程從構(gòu)造零件的結(jié)構(gòu)和功能出發(fā)提取出具有一定形狀的幾何體。特征可以是簡(jiǎn)單幾何體，也可以是具有一定功能的復(fù)雜幾何體。對(duì)于系列化零件，常用的幾個(gè)特征如果可以在新零件設(shè)計(jì)過(guò)程中直接“裝配”在基體上，那么設(shè)計(jì)效率將會(huì)有很大提升。通過(guò)對(duì)現(xiàn)有模型的特征分解，進(jìn)而對(duì)特征利用網(wǎng)格融合技術(shù)進(jìn)行再設(shè)計(jì)，可有效實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)知識(shí)的重用。

網(wǎng)格融合技術(shù)主要分為兩類。第一類方法采用網(wǎng)格過(guò)渡融合方法實(shí)現(xiàn)特征網(wǎng)格在目標(biāo)網(wǎng)格上的粘貼。該類方法不需要對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行整體變形，而是使特征網(wǎng)格和目標(biāo)網(wǎng)格之間光滑過(guò)渡。SINGH等[2]提出采用過(guò)程隱式曲面來(lái)連接多面體的新方法，但該方法要求融合區(qū)域?yàn)樾切?，許多情況下并不能滿足；繆永偉等[3]對(duì)特征網(wǎng)格和目標(biāo)網(wǎng)格的邊緣曲線之間進(jìn)行Hermite插值得到拼接連續(xù)曲面，然后對(duì)其進(jìn)行三角網(wǎng)格化以及Laplacian光順處理，但其方法交互復(fù)雜。第二類方法的主要思想是對(duì)特征網(wǎng)格進(jìn)行整體變形，使之適應(yīng)目標(biāo)網(wǎng)格的形狀。 BIERMANN等[4]提出一種基于半規(guī)則多分辨細(xì)分曲面將特征網(wǎng)格剪切到目標(biāo)區(qū)域的方法，通過(guò)直接對(duì)特征網(wǎng)格和目標(biāo)區(qū)域參數(shù)化將特征網(wǎng)格邊界環(huán)映射到目標(biāo)網(wǎng)格，但該方法對(duì)特征網(wǎng)格和目標(biāo)區(qū)域的復(fù)雜度有較強(qiáng)的依賴性，不適合復(fù)雜模型間的融合；TAKAYAMA等[5]提出的GeoBrush方法采用自動(dòng)生成的網(wǎng)格籠子包圍替換網(wǎng)格進(jìn)行變形操作，可能使替換部分的網(wǎng)格出現(xiàn)過(guò)度變形或畸變現(xiàn)象。

現(xiàn)有的網(wǎng)格融合技術(shù)在藝術(shù)造型上有較好的實(shí)用價(jià)值，但因精度難以滿足要求而無(wú)法應(yīng)用在工程領(lǐng)域。為了將網(wǎng)格融合技術(shù)應(yīng)用在零件的設(shè)計(jì)建模上，并有效控制融合精度，本文提出如下方法：利用離散指數(shù)映射(discrete exponential mapping，DEM)參數(shù)化方法建立特征網(wǎng)格邊界與基網(wǎng)格目標(biāo)區(qū)域的映射關(guān)系，提出基于層的網(wǎng)格變形優(yōu)化算法，減小特征網(wǎng)格畸變，并進(jìn)一步對(duì)網(wǎng)格體積收縮膨脹進(jìn)行有效控制，最后通過(guò)添加幾何約束控制網(wǎng)格位置形態(tài)。

1 技術(shù)路線

(a)技術(shù)路線

(b)流程示意圖圖1 技術(shù)路線及流程示意圖Fig.1 Technology roadmap and flow diagram

2 網(wǎng)格融合建模

大多數(shù)零件由不同的特征組合而成，包括描述零件的基本幾何形體的主特征(也稱為“基特征”)和多個(gè)功能性的輔特征。因?yàn)樘卣髦赜靡话阒笇?duì)具有特別結(jié)構(gòu)和功能的輔特征的設(shè)計(jì)重用，故文中不作特別說(shuō)明時(shí)特征均指輔特征。對(duì)于圖2a所示的一個(gè)典型撥叉零件，根據(jù)零件的形狀和功能進(jìn)行特征分解，包括主特征空心圓柱Base和三個(gè)功能性輔特征Part1、Part2、Part3，如圖2b所示，其中Part3為一個(gè)較為復(fù)雜的叉型結(jié)構(gòu)。對(duì)圖2a撥叉零件來(lái)說(shuō)，網(wǎng)格融合建模就是實(shí)現(xiàn)多個(gè)具有不同功能的輔特征Part1、Part2、Part3分別與基特征Base的有效融合，即對(duì)撥叉零件進(jìn)行重建，且實(shí)現(xiàn)Part1、Part2、Part3在新模型設(shè)計(jì)中的重用。

2.1 基于DEM的目標(biāo)區(qū)域局部參數(shù)化

為建立特征網(wǎng)格邊界與基網(wǎng)格上目標(biāo)區(qū)域之間的映射關(guān)系，需要對(duì)基網(wǎng)格進(jìn)行局部參數(shù)化。本文采用SCHMIDT等[6]提出的DEM方法，該方法是一種局部參數(shù)化方法，具有速度快、可有效滿足實(shí)時(shí)交互需求的特點(diǎn)。對(duì)于在網(wǎng)格曲率變化大的情況下產(chǎn)生較大畸變的問(wèn)題，采用路徑加權(quán)策略和法矢光順的方法優(yōu)化[7]，可有效減小畸變。

2.1.1指數(shù)映射

如圖3a所示，在曲面S:r=r(u1,u2)上取定一點(diǎn)P，任取切向量v∈TP，作測(cè)地射線CP,v從P點(diǎn)出發(fā)，且以v/|v|為初始切向，則CP,v由P和v/|v|唯一確定。取CP,v的正向弧長(zhǎng)s參數(shù)化ui(s),i=1,2，使P點(diǎn)在S上的曲線坐標(biāo)為(u1(0),u2(0))。定義映射

即像點(diǎn)Qs=r(u1(s),u2(s))是CP,v上從點(diǎn)P出發(fā)而經(jīng)過(guò)弧長(zhǎng)s所到達(dá)的點(diǎn)。由此定義映射

expP:v?TP→S

v→expP(v)

則此映射稱為曲面S上點(diǎn)P處的指數(shù)映射[8]。

2.1.2離散指數(shù)映射參數(shù)化

對(duì)于網(wǎng)格曲面，為得到曲面S上點(diǎn)p處的指數(shù)映射，需要計(jì)算網(wǎng)格上其他點(diǎn)q的測(cè)地線距離與極角，進(jìn)而得到測(cè)地線向量。對(duì)于種子點(diǎn)P的一環(huán)鄰域點(diǎn)，測(cè)地線距離就是兩點(diǎn)間距離，所以很容易得到一環(huán)鄰域點(diǎn)的測(cè)地線向量，但是對(duì)于k-ring鄰域(k>2)的情況，測(cè)地線的計(jì)算耗時(shí)巨大，不能滿足實(shí)時(shí)交互的要求。離散指數(shù)映射參數(shù)化方法[6]采用近似策略，通過(guò)由Dijkstra算法[9]產(chǎn)生分段線性測(cè)地線向量的疊加來(lái)代替直接計(jì)算點(diǎn)q到點(diǎn)p的測(cè)地線向量，有效減小了計(jì)算量。

如圖3b所示，假設(shè)網(wǎng)格曲面上有3點(diǎn)p、r、q，容易得到點(diǎn)r在切平面Tp上的測(cè)地線向量up,r和點(diǎn)q在切平面Tr上的測(cè)地線向量ur,q，而up,q未知，即點(diǎn)q在切平面Tp上的測(cè)地線向量未知。在線性系統(tǒng)中存在：

up,q=up,r+(up,q-up,r)

(1)

(a)指數(shù)映射概念[8]

(b)離散指數(shù)映射近似[6]圖3 離散指數(shù)映射參數(shù)化Fig.3 Discrete exponential map parameterization

考慮用ur,q的一個(gè)相關(guān)量來(lái)代替(up,q-up,r)，首先將切平面Tr中的測(cè)地線向量ur,q轉(zhuǎn)換到Tp中，然后進(jìn)行向量疊加。設(shè)Tp和Tr對(duì)應(yīng)的法矢分別為np和nr，首先將nr旋轉(zhuǎn)一定角度使其與np共線，此時(shí)Tr和Tp共面，然后將Tr繞著np方向旋轉(zhuǎn)角度θp,r使得兩坐標(biāo)系完全重合。此時(shí)Tr上的ur,q就可以用Tp的基底來(lái)表示。由于up,r和ur,q都是二維向量，忽略第一次旋轉(zhuǎn)的影響，可以得到up,q的近似值：

up,q=up,r+rot2D(θp,r)ur,q

(2)

式中，rot2D(θ)表示做角度為θ的二維(2D)旋轉(zhuǎn)。

此方法求取的up,q與網(wǎng)格上實(shí)際測(cè)地線向量值存在誤差，但是在只考慮局部參數(shù)化的情況下，精度在一定參數(shù)化范圍內(nèi)能夠保證。對(duì)于該方法在曲率變化大或者突變處不理想的情況，采用上層鄰域點(diǎn)路徑加權(quán)和法矢光順的改進(jìn)方法[7]。

采用唯一路徑求取網(wǎng)格上點(diǎn)的測(cè)地線向量會(huì)造成累積誤差。路徑加權(quán)策略(即后續(xù)擴(kuò)張點(diǎn)的測(cè)地線向量由其上層鄰域點(diǎn)加權(quán)決定)避免了由某一過(guò)大誤差對(duì)后續(xù)點(diǎn)產(chǎn)生壓倒性的影響。重新定義up,q：

(3)

(4)

式中，ri為點(diǎn)q的上層鄰域點(diǎn)，ri為其坐標(biāo)向量；q為點(diǎn)q的坐標(biāo)向量；w為反距離權(quán)值。

計(jì)算過(guò)程中由法矢確定切平面，故法矢對(duì)結(jié)果有重要影響。對(duì)法矢進(jìn)行光順(某點(diǎn)處的法矢用該點(diǎn)的k環(huán)鄰域內(nèi)所有點(diǎn)的法矢的加權(quán)平均值代替)能有效改善曲率變化大的網(wǎng)格區(qū)域處的參數(shù)化結(jié)果，權(quán)重函數(shù)采用式(4)。

2.2 特征網(wǎng)格邊界參數(shù)化

針對(duì)特征網(wǎng)格邊界參數(shù)化問(wèn)題，BIERMANN等[4]提出對(duì)特征網(wǎng)格本身進(jìn)行參數(shù)化，但該方法不僅計(jì)算量大，需要對(duì)整個(gè)特征網(wǎng)格進(jìn)行參數(shù)化，而且對(duì)于空間結(jié)構(gòu)復(fù)雜的特征網(wǎng)格無(wú)法有效保持邊界的幾何信息，誤差較大；錢歸平等[10]提出垂直投影參數(shù)化方法，同樣不能有效保持邊界信息，導(dǎo)致融合網(wǎng)格畸變嚴(yán)重。本文首先以邊界點(diǎn)為約束條件，利用最小二乘網(wǎng)格[11]對(duì)特征網(wǎng)格進(jìn)行補(bǔ)洞處理，進(jìn)而對(duì)補(bǔ)洞網(wǎng)格利用DEM方法進(jìn)行參數(shù)化，得到邊界點(diǎn)的參數(shù)化結(jié)果。

2.2.1最小二乘網(wǎng)格

對(duì)于具有n個(gè)頂點(diǎn)的三角網(wǎng)格模型(V、E、F)(V、E、F分別表示點(diǎn)集、邊集和三角面片集)，定義第i個(gè)頂點(diǎn)vi的拉普拉斯坐標(biāo)為

(5)

wij=1/|N(i)|

式中，N(i)為頂點(diǎn)vi的一環(huán)鄰域點(diǎn)的集合；ki為點(diǎn)vi的平均曲率；ni為單位法向量;vi為vi的坐標(biāo)向量。

給定光順條件δi=0，即頂點(diǎn)的平均曲率均為0，通過(guò)求解下式得到最小二乘網(wǎng)格：

LV=0

(6)

其中，矩陣L為如下n×n的拉普拉斯矩陣：

(7)

對(duì)于一個(gè)連通的網(wǎng)格模型，矩陣L的秩為n-1，另給一個(gè)頂點(diǎn)的位置約束作為初始條件就可以求得唯一解。在實(shí)際應(yīng)用中，通常引入一組控制點(diǎn)vs=(xs,ys,zs)；s∈C,C={s1,s2,…,sm}，si為第個(gè)i控制點(diǎn)的序號(hào)。此時(shí)線性系統(tǒng)變成超靜定線性系統(tǒng)：

Ax=b

(8)

V中y,z分量同理。對(duì)式(8)的求解等價(jià)于優(yōu)化如下能量方程：

(9)

對(duì)上式利用線性最小二乘法，通過(guò)Cholesky分解[12]并回代求出擬合解，得到最小二乘網(wǎng)格[11]。

2.2.2補(bǔ)洞網(wǎng)格參數(shù)化

采用補(bǔ)洞法進(jìn)行邊界參數(shù)化，主要考慮網(wǎng)格融合過(guò)程中特征網(wǎng)格的初始形變條件不僅需要邊界點(diǎn)的坐標(biāo)信息，還需要邊界點(diǎn)的法矢信息來(lái)構(gòu)建邊界點(diǎn)的局部坐標(biāo)框架。初始形變條件下，邊界點(diǎn)的局部坐標(biāo)框架與基網(wǎng)格上目標(biāo)區(qū)域邊界點(diǎn)的局部坐標(biāo)框架重合，即兩邊界點(diǎn)的法矢同向。當(dāng)特征網(wǎng)格與基網(wǎng)格在邊界處平滑過(guò)渡時(shí)，特征網(wǎng)格邊界點(diǎn)的法矢取其本身即可，但對(duì)于零件，特征通常是“矗立”在基體之上，此時(shí)依然取特征網(wǎng)格邊界點(diǎn)法矢本身相當(dāng)于給定平滑約束，會(huì)導(dǎo)致融合網(wǎng)格嚴(yán)重畸變。利用補(bǔ)洞網(wǎng)格邊界點(diǎn)的法矢來(lái)代替特征網(wǎng)格邊界點(diǎn)的法矢則在兩種情況下都有較好的結(jié)果。

顯然，當(dāng)特征網(wǎng)格的邊界在一個(gè)平面上時(shí)，其參數(shù)化結(jié)果是精確的。同樣，特征網(wǎng)格邊界點(diǎn)分布越接近于平面，其參數(shù)化結(jié)果誤差就越小，網(wǎng)格融合效果越好。由此考慮用一個(gè)盡量接近于平面的網(wǎng)格進(jìn)行補(bǔ)洞。如圖4所示，對(duì)圖2中輔特征Part1提取其網(wǎng)格邊界(圖4b)，將邊界保邊長(zhǎng)地映射至一個(gè)平面圓上，并將此圓利用Delaunay三角化[13]生成一個(gè)二維的補(bǔ)洞初始網(wǎng)格(圖4c)，指定邊界點(diǎn)為控制點(diǎn)生成最小二乘網(wǎng)格(圖4d)。圖4d就是保持光順的同時(shí)最接近于平面的網(wǎng)格。對(duì)圖4d利用DEM方法進(jìn)行參數(shù)化，結(jié)果見(jiàn)圖5。

(a)Part1特征網(wǎng)格 (b)網(wǎng)格邊界

(c)補(bǔ)洞初始網(wǎng)格 (d)最小二乘網(wǎng)格圖4 最小二乘網(wǎng)格補(bǔ)洞Fig.4 Filling holes with least-squares meshes

(a)坐標(biāo) (b)邊界點(diǎn)法矢圖5 特征網(wǎng)格邊界參數(shù)化結(jié)果Fig.5 Results of boundary parameterization offeature meshes

2.3 基于層的網(wǎng)格變形優(yōu)化算法

三維網(wǎng)格變形的本質(zhì)就是通過(guò)某種映射關(guān)系將源網(wǎng)格中的頂點(diǎn)轉(zhuǎn)換到一個(gè)新的位置，生成新的網(wǎng)格并保持拓?fù)潢P(guān)系。在SINGH等[14]提出的基于曲線的變形方法基礎(chǔ)上，SCHMIDT等[7]提出了COILS(本文稱為“基于層的網(wǎng)格變形”)算法，該算法具有細(xì)節(jié)保持好的特點(diǎn)。本文在此基礎(chǔ)上提出基于層距的距離權(quán)值分布優(yōu)化方法，以得到更優(yōu)保形結(jié)果。

(10)

在變形過(guò)程中保證一定剛性的同時(shí)也需要具有一定的柔韌度，使初始形變能夠較均勻地分布在整個(gè)網(wǎng)格上，即保證點(diǎn)p相對(duì)于某一區(qū)域Ω具有一定程度的剛性即可。對(duì)式(10)在區(qū)域Ω上積分，有微分表示：

(11)

(12)

式中，d為兩點(diǎn)間的歐氏距離或測(cè)地距離；k通常取2；ε為誤差調(diào)整值。

對(duì)于網(wǎng)格模型，式(11)的離散形式為

(13)

(a)點(diǎn)p隨控制點(diǎn)qi的變化而變化[7]

(b)模型分層示意圖圖6 基于層的網(wǎng)格變形算法示意圖Fig.6 Graph of mesh deformation algorithm based on layer

其中，Ω={pi}為線性閉合離散點(diǎn)集。式(13)就是基于曲線變形的表示形式[14]，可以看出，采樣點(diǎn)的選取和權(quán)值函數(shù)是變形的關(guān)鍵。選取特征網(wǎng)格邊界為Ω，模型上點(diǎn)p遠(yuǎn)離邊界曲線時(shí)，基于距離的權(quán)值會(huì)越來(lái)越一致，導(dǎo)致質(zhì)心下降引起擠壓變形，故考慮將曲線的控制范圍縮小到一定區(qū)域，不同區(qū)域用相鄰的不同曲線來(lái)控制變形，從而減小上述的擠壓變形。具體方法如下：從邊界線開(kāi)始對(duì)網(wǎng)格模型由下而上進(jìn)行分層(圖6b右)，每一層的上一層為該層的控制層，控制層決定著下一層的形變(圖6b左)。將每一層看作一條曲線，這種方法類似于基于曲線的變形，變形自邊界逐層向上傳遞，完成整體變形。這里依據(jù)測(cè)地距離進(jìn)行層的劃分，利用Dijkstra[9]算法近似得到模型上每一點(diǎn)相對(duì)于模型邊界的測(cè)地距離。設(shè)任一點(diǎn)pi的測(cè)地距離為gpi，層寬為ru(通常取網(wǎng)格模型平均邊長(zhǎng)的2.1倍)，那么控制點(diǎn)pi變形的控制區(qū)域(層)為

Ω(pi)={pj:gpi-ru

(14)

由于權(quán)值函數(shù)選取為反距離權(quán)值，距離點(diǎn)pi越近的點(diǎn)產(chǎn)生的影響越大(其權(quán)值接近1)，產(chǎn)生壓倒性影響，導(dǎo)致變形扭曲，另外在網(wǎng)格比較規(guī)則的情況下容易出現(xiàn)不對(duì)稱變形，因此選用數(shù)值從1到0的平滑衰減函數(shù)：

引入調(diào)節(jié)權(quán)值

warr(pi,pj)=f(Δg,ru)(1-f(Δg,rn))

(15)

式中，Δg為兩點(diǎn)間的測(cè)地距離差值；rn為點(diǎn)pi與控制區(qū)域Ω內(nèi)所有點(diǎn)歐氏距離中的最小值。

對(duì)細(xì)節(jié)豐富的網(wǎng)格模型而言，存在不同區(qū)域其網(wǎng)格密度不同的情況，同樣會(huì)造成網(wǎng)格變形向密度較大的區(qū)域傾斜。引入面積調(diào)節(jié)權(quán)值

(16)

其中，N(pj)為點(diǎn)pj的一環(huán)鄰域，Tk為一環(huán)鄰域內(nèi)的三角面片；A(Tk)為Tk的面積。wreg即為點(diǎn)pj的一環(huán)鄰域內(nèi)所有三角面片面積之和，這樣使得采樣點(diǎn)在密集和稀疏區(qū)域的權(quán)值差異不會(huì)過(guò)大。最終權(quán)值定義如下：

wup(pi,pj)=warr(pi,pj)wreg(pi,pj)w(pi,pj)

(17)

上述變形方法在初始形變較小的情況下具有較好的保形性，但當(dāng)初始形變較大時(shí)，會(huì)將形變傳遞至整個(gè)網(wǎng)格，全局保形結(jié)果差。對(duì)于大多數(shù)零件(如焊接件)，特征結(jié)合處一般為非工作區(qū)域，精度要求較低，可以通過(guò)對(duì)零件特征的分割(即在精度要求不太高的區(qū)域進(jìn)行特征分割)來(lái)降低融合邊界附近的精度要求。若形變能夠較多地集中在融合邊界處，同時(shí)保證遠(yuǎn)離邊界的網(wǎng)格區(qū)域能夠具有良好的保形性，那么可以得到更為理想的結(jié)果?？梢酝ㄟ^(guò)調(diào)節(jié)式(12)中的k值來(lái)調(diào)整距離權(quán)值，使邊界附近的點(diǎn)在其控制層中增加距離更近的點(diǎn)的權(quán)重，以達(dá)到形變集中在邊界附近的目的。如圖7a所示，當(dāng)k不斷減小，距離權(quán)值的分布曲線更加陡峭，形變的分布將更加集中。

如果k值取得過(guò)小，將會(huì)引起形變的過(guò)度集中，導(dǎo)致邊界處過(guò)渡不自然，甚至出現(xiàn)折疊邊等一些網(wǎng)格缺陷；對(duì)于遠(yuǎn)離邊界的網(wǎng)格部分，需要更加均勻的權(quán)值分布。由此，考慮依據(jù)點(diǎn)pi到邊界的測(cè)地距離di來(lái)決定該點(diǎn)的ki值，即隨著di的增大，減小ki值。設(shè)網(wǎng)格上任意點(diǎn)到邊界的測(cè)地距離最大值為dmax，引入

ki=k1{1-[1-(di/dmax)2]3}+k2[1-(di/dmax)2]3

(18)

式(18)即是根據(jù)di在k1和k2之間進(jìn)行兩端平滑的非線性插值，通常上限k1取2，調(diào)整k2的大小就可以得到不同di處的ki值，即在di較小處ki值較小，距離權(quán)值分布集中，di較大處ki值較大，距離權(quán)值分布均勻。不同k2值下k值隨層距比的分布圖見(jiàn)圖7b，調(diào)整k2可以得到整體網(wǎng)格從下到上不同程度的距離-權(quán)值分布。

(a)不同k值下距離-權(quán)值分布圖

(b)不同k2值下k值隨層距比變化圖圖7 基于層距的權(quán)值優(yōu)化Fig.7 Weight optimization based on layer distance

為達(dá)到自動(dòng)控制網(wǎng)格適應(yīng)性變形的目的，即對(duì)于不同的特征網(wǎng)格都能得到相適應(yīng)的ki分布，考慮量化某一相關(guān)量來(lái)調(diào)整式(18)中的k2值。在2.2.2節(jié)中提到，特征網(wǎng)格的邊界點(diǎn)分布越接近于平面，其參數(shù)化結(jié)果誤差就越小，網(wǎng)格融合的效果越好，即邊界點(diǎn)分布很大程度上決定了初始形變量的大小。在這樣的思路下，首先確定一個(gè)平面P，使得補(bǔ)洞網(wǎng)格上所有點(diǎn)到平面P的距離平方和最小，設(shè)補(bǔ)洞網(wǎng)格上任一點(diǎn)vi到平面P的距離為d(vi,P)，P滿足下式：

P=argmin(∑d2(vi,P))

(19)

式(19)即是用最小二乘法進(jìn)行平面擬合，對(duì)圖4d中的補(bǔ)洞網(wǎng)格平面擬合，結(jié)果見(jiàn)圖8。設(shè)補(bǔ)洞網(wǎng)格上所有點(diǎn)到平面P的平均距離為dave，最大距離為dmax1，對(duì)k2進(jìn)行粗略的線性調(diào)節(jié)(當(dāng)dave、dmax1都趨向于0時(shí)，dave/dmax1取1)：

k2=c1(dave/dmax1)+c2

(20)

補(bǔ)洞網(wǎng)格本身為平面時(shí)，k2取c1+c2，補(bǔ)洞網(wǎng)格相對(duì)于平面更加離散時(shí)，k2向c2靠近。

圖8 最小二乘法對(duì)補(bǔ)洞網(wǎng)格平面擬合Fig.8 Plane fitting to filling hole mesh based on least square method

2.4 特征網(wǎng)格體積膨脹收縮優(yōu)化

上述變形方法存在網(wǎng)格體積膨脹或收縮的問(wèn)題，導(dǎo)致特征無(wú)法和基網(wǎng)格保持恒定的距離，這在零件的建模中是致命的。解決問(wèn)題的同時(shí)也希望可以在一個(gè)較小的范圍內(nèi)通過(guò)用戶交互指定距離，得到一個(gè)可控的彈性的體積變化效果。分析體積變化產(chǎn)生的原因發(fā)現(xiàn)，在邊界映射對(duì)齊過(guò)程中，邊界點(diǎn)的局部坐標(biāo)框架重合時(shí)產(chǎn)生的影響很大，而局部坐標(biāo)框架是由邊界點(diǎn)法矢來(lái)決定的?？紤]通過(guò)修正邊界點(diǎn)法矢來(lái)解決體積變化問(wèn)題以及小范圍內(nèi)控制體積變化。

大量實(shí)驗(yàn)表明，在一定程度范圍內(nèi)，邊界點(diǎn)的法矢朝向越靠向邊界中心，特征網(wǎng)格的縱向膨脹越加明顯，反之縱向收縮明顯。圖4中邊界點(diǎn)法矢分布局部放大見(jiàn)圖9a，發(fā)現(xiàn)法矢大部分朝向邊界中心，而該特征的變形重建結(jié)果也確實(shí)存在體積膨脹的現(xiàn)象。如圖9b所示，對(duì)于邊界上任一點(diǎn)pi，對(duì)其法矢ni進(jìn)行如下修正：

(21)

其中，Mθi(pi-1,pi+1)為一旋轉(zhuǎn)矩陣，表示繞軸線pi-1pi+1進(jìn)行θi角度的旋轉(zhuǎn)，pi-1、pi+1為點(diǎn)pi在邊界環(huán)上前后相鄰兩點(diǎn)。為了不造成特征網(wǎng)格的非對(duì)稱變形，對(duì)邊界上的每一點(diǎn)都進(jìn)行同樣角度θi的修正。調(diào)整θi的目的是保證特征網(wǎng)格與基網(wǎng)格上的某些位置關(guān)系，反過(guò)來(lái)可以通過(guò)兩網(wǎng)格之間的位置關(guān)系(點(diǎn)、線、面等圖元的距離或投影距離)來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)θi的變化。由于體積變化在適當(dāng)范圍內(nèi)與θi是成單調(diào)增減的，故采用二分法進(jìn)行迭代逼近，直至滿足設(shè)置的誤差ε要求，表達(dá)如下：

θ={θi|(dr(θi)-ds)≤ε}

(22)

式中，ds為用戶指定的兩網(wǎng)格某特征圖元之間的距離；dr(θi)為在θi角度下融合結(jié)果中指定特征圖元之間的實(shí)際距離。

(a)邊界點(diǎn)法矢分布及局部放大(b)法矢修正圖9 網(wǎng)格體積變化原因及其修正Fig.9 Reason and correction of mesh volume change

2.5 特征圖元提取與幾何約束

2.5.1局部坐標(biāo)系的建立

進(jìn)行網(wǎng)格融合首先需要導(dǎo)入基網(wǎng)格，由于模型來(lái)源不同(可能是實(shí)體建模導(dǎo)出，或?qū)嵨镏亟Ｐ停蚱渌Ｐ蜕戏指畹囊徊糠?，故基網(wǎng)格在全局坐標(biāo)系中形態(tài)各異，沒(méi)有規(guī)則。根據(jù)基網(wǎng)格本身特征建立一個(gè)局部坐標(biāo)系FL，并計(jì)算其與全局坐標(biāo)系FG的變換矩陣M1，M1滿足FG=M1FL，對(duì)網(wǎng)格整體V1進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到指定規(guī)則下網(wǎng)格新位置V2：

V2=M1V1

(23)

這樣不僅為幾何約束提供了方便，還有利于后續(xù)對(duì)模型的切片打印等處理。不同的基網(wǎng)格有著不同的特征，同時(shí)面向不同的建模需求可能需要建立不同的坐標(biāo)系。本文使用交互的方式建立坐標(biāo)系，選取圖2撥叉零件的基特征Base(一個(gè)空心圓柱)予以簡(jiǎn)單說(shuō)明，如圖10所示。首先通過(guò)選取端面上任一點(diǎn)向外擴(kuò)張，依據(jù)法矢差異大小作為擴(kuò)張停止條件，得到整個(gè)端面以及端面兩邊界圓環(huán)(圖10左)；其次對(duì)兩邊界圓環(huán)分別利用最小二乘法進(jìn)行空間圓擬合，分別求出兩圓心位置并求平均值，作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)；然后對(duì)端面所含面片集求平均法矢作為z軸，原點(diǎn)與端面上任一點(diǎn)共同決定x軸，y軸由x、z軸確定。所建坐標(biāo)系如圖10所示。

圖10 建立局部坐標(biāo)系Fig.10 Construct local coordinate system

2.5.2特定圖元提取與添加幾何約束

添加幾何約束需要拾取特定的圖元(點(diǎn)、線、面等)。如上所述，可以依據(jù)法矢或者曲率對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行簡(jiǎn)單的分割，得到不同面、面面相交的特征線以及線的各端點(diǎn)。對(duì)離散的面和線擬合以得到具體幾何信息。

特征網(wǎng)格在基網(wǎng)格上的位置形態(tài)完全由兩者的參數(shù)映射決定，因此通過(guò)確定參數(shù)域中心可以確定位置，確定參數(shù)域的縮放比例(同時(shí)對(duì)特征網(wǎng)格進(jìn)行等比例縮放)可以確定大小，確定參數(shù)域的二維旋轉(zhuǎn)變換可以確定朝向。實(shí)體建模中幾何約束理論成熟，對(duì)提取的特定圖元進(jìn)行類似約束(如點(diǎn)面距離、面面平行等)，最后反求出參數(shù)域中心和二維旋轉(zhuǎn)變換，得到最終帶位置約束的融合結(jié)果。

3 實(shí)驗(yàn)分析

本文算法采用C+ +語(yǔ)言在VS2008平臺(tái)及OpenGL函數(shù)庫(kù)下實(shí)現(xiàn)，PC機(jī)配置為CPU i5-4460、3.20GHz，內(nèi)存4GB。

3.1 基于層的網(wǎng)格變形優(yōu)化結(jié)果

選取圖2拔叉零件中特征Part1和Base作為實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，?jiàn)圖11a，利用2.3節(jié)算法，隨著k2值不斷減小得到圖11b所示的變形結(jié)果，其中k2=2.0時(shí)的結(jié)果也就是SCHMIDT等[7]的結(jié)果。直觀上看，隨k2不斷減小，特征網(wǎng)格的形變從全局慢慢集中到邊界附近，而遠(yuǎn)離邊界處的細(xì)節(jié)高度保形。

為準(zhǔn)確衡量特征網(wǎng)格的保形性，取圖11a中的A、B兩平面分析其平面度和垂直度，具體見(jiàn)表1，最后一組k2=0.8是通過(guò)2.3節(jié)中所述方法自動(dòng)計(jì)算的結(jié)果。表1中，平均值指面的平均法矢與各頂點(diǎn)法矢夾角的平均值，最大、最小差值指平均法矢與各頂點(diǎn)法矢的最大夾角和最小夾角。A包含423個(gè)頂點(diǎn)，747個(gè)三角面片；B包含483個(gè)頂點(diǎn)，880個(gè)三角面片。顯然，k2=0.8時(shí)A、B保形程度很高。

表1 特征網(wǎng)格保形性分析

3.2 體積膨脹收縮優(yōu)化結(jié)果

同樣選取圖2拔叉零件中特征Part1和Base作為實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，在基于層的網(wǎng)格變形優(yōu)化之后，采用2.4節(jié)中體積控制方法，在k2=0.8、ds=10.0、ε=0.02的條件下，得到圖12d所示的控制結(jié)果。為反映體積隨角度θ變化而變化的趨勢(shì)，給出不同θ下的網(wǎng)格形變結(jié)果，見(jiàn)圖12。θ取值以及衡量網(wǎng)格體積變化的dr值見(jiàn)表2，其中θ取負(fù)值表示朝背向邊界中心的方向調(diào)整邊界點(diǎn)法矢。

(a)θ=0 (b)θ=-0.12 rad

(c)θ=-0.26 rad (d)θ=-0.362 rad圖12 網(wǎng)格體積變化控制Fig.12 Variation control of mesh volume

θ(rad)0-0.12-0.26-0.362dr (mm)12.21211.49810.64210.015

3.3 幾何約束結(jié)果

(1)特征網(wǎng)格的大小確定。通過(guò)對(duì)特征網(wǎng)格在不同方向按指定參數(shù)縮放，同時(shí)對(duì)邊界參數(shù)化結(jié)果進(jìn)行同比例的縮放，可實(shí)現(xiàn)特征網(wǎng)格在基網(wǎng)格上的局部方向縮放和全局縮放，圖13a給出了一個(gè)圓形凸臺(tái)在不同方向下進(jìn)行縮放后的最終融合效果。

(2)特征網(wǎng)格的位置確定。即基網(wǎng)格上參數(shù)化區(qū)域中心點(diǎn)的確定(僅適用于特征網(wǎng)格邊界對(duì)稱的情況，此時(shí)認(rèn)為邊界參數(shù)化中心為邊界幾何中心)?？紤]傳統(tǒng)實(shí)體建模流程與零件對(duì)位置公差的嚴(yán)格要求，首先在基網(wǎng)格上選取幾何參照，然后通過(guò)給定約束進(jìn)行求解。圓形凸臺(tái)分別在矩形平面上的任意定位和圓平面上的圓心定位見(jiàn)圖13b和圖13c。對(duì)于矩形平面，首先提取平面上相交兩條邊，并以此作為二維基底，通過(guò)指定距離參數(shù)即可確定平面內(nèi)任意位置；對(duì)于圓平面，利用2.5.1節(jié)中方法確定圓心。對(duì)于特征網(wǎng)格邊界非對(duì)稱的情況，可以根據(jù)參數(shù)化中心與特征網(wǎng)格上某特定圖元的位置關(guān)系和添加的約束間接求解。

(3)特征網(wǎng)格的旋轉(zhuǎn)通過(guò)對(duì)二維參數(shù)域進(jìn)行旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)的角度需要通過(guò)兩網(wǎng)格間的約束來(lái)確定。圖13d給出了一個(gè)吊耳在平面中心點(diǎn)不同轉(zhuǎn)向的情況。由于在距離權(quán)值分布優(yōu)化后特征網(wǎng)格的保形性很高，故這里近似認(rèn)為特征網(wǎng)格上的二維平面與基網(wǎng)格上的二維平面平行。二維平面分別由網(wǎng)格上的特征邊來(lái)確定。定義X軸和X′軸的夾角為α，α分別取0°、45°、90°的情況見(jiàn)圖13d。

3.4 零件整體建模及精度分析

對(duì)圖2中撥叉零件利用本文方法進(jìn)行整體融合建模并分析其精度，見(jiàn)圖14。圖14a是對(duì)圖2a利用Creo 3.0設(shè)計(jì)的實(shí)體模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分(步長(zhǎng)0.5 mm)后的網(wǎng)格模型；圖14b是利用本文方法在基網(wǎng)格Base上分別對(duì)三個(gè)特征網(wǎng)格Part1、Part2、Part3進(jìn)行融合最終得到的重建結(jié)果；圖14c是網(wǎng)格圖14a與圖14b的偏差映射圖，在Geomagic Studio 2012中得到。圖14c的局部放大圖及偏差信息見(jiàn)圖15，其中淺色部分正負(fù)偏差在0.04 mm之內(nèi)，最大偏差為+0.213 mm和-0.253 mm，標(biāo)準(zhǔn)偏差0.017 mm。從圖15中可以看出，只有在融合結(jié)合處偏差較大，在其他部分偏差很小，精度高。

(a)圓形凸臺(tái)在不同方向下縮放后的融合效果

(b)圓形凸臺(tái)在矩形平面上的定位

(c)圓形凸臺(tái)在圓平面的圓心定位

(d)吊耳在平面中心點(diǎn)不同轉(zhuǎn)向的情況圖13 簡(jiǎn)單幾何約束Fig.13 Simple geometric constraint

(a) (b) (c)圖14 建模流程及對(duì)比Fig.14 Modeling process and comparison

圖15 局部偏差映射圖Fig.15 Local deviation map

3.5 算法效率與特征重用實(shí)現(xiàn)

圖14b中拔叉零件重建的算法耗時(shí)見(jiàn)表3。算法耗時(shí)主要與模型大小有關(guān)，但同時(shí)也與特征網(wǎng)格邊界大小、形狀，目標(biāo)網(wǎng)格參數(shù)化面積等有關(guān)。根據(jù)設(shè)計(jì)流程將算法耗時(shí)分為邊界參數(shù)化時(shí)間t1和局部參數(shù)化與特征網(wǎng)格重建時(shí)間t2。從耗時(shí)上來(lái)看，t1是t2的10倍左右，但是對(duì)特征網(wǎng)格來(lái)說(shuō)，邊界參數(shù)化只需要進(jìn)行一次，在得到參數(shù)化結(jié)果后保存并與其他已參數(shù)化特征網(wǎng)格一起組成特征庫(kù)。在新零件設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)于需要的特征只需要從特征庫(kù)中取出然后進(jìn)行融合，此時(shí)執(zhí)行目標(biāo)網(wǎng)格局部參數(shù)化與特征網(wǎng)格變形重建部分，耗時(shí)在百毫秒級(jí)別，故在對(duì)特征網(wǎng)格進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)、移動(dòng)位置等交互操作時(shí)也能實(shí)時(shí)重建。從特征庫(kù)構(gòu)建及重用設(shè)計(jì)流程上來(lái)看，對(duì)于已有的特征，不管其復(fù)雜度大小(如Part2一個(gè)簡(jiǎn)單類圓柱體，Part3一個(gè)幾何結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的叉型結(jié)構(gòu))，均能夠通過(guò)網(wǎng)格融合來(lái)實(shí)現(xiàn)特征重用，且耗時(shí)相差不大；在實(shí)體建模中，要想實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜的特征重用是比較困難的，需要逆向數(shù)據(jù)提取與再設(shè)計(jì)，不僅專業(yè)要求較高，耗時(shí)還比較長(zhǎng)。

表3 模型大小及算法耗時(shí)

(a)縮放Part1 (b)移動(dòng)Part2

(c)縮放和移動(dòng)Part3 (d)替換Part3 圖16 變型設(shè)計(jì)及特征重用Fig.16 Variant design and feature reuse

對(duì)特征Part1、Part2、Part3進(jìn)行重用，設(shè)計(jì)出結(jié)構(gòu)不同的系列化撥叉零件，見(jiàn)圖16。其中圖16a改變了Part1的大小，圖16b改變了Part2的位置，圖16c改變了Part3的大小和位置，圖16d則對(duì)Part3進(jìn)行了替換，實(shí)現(xiàn)了另外一個(gè)特征的重用?？梢?jiàn)該方法可以有效實(shí)現(xiàn)零件特征的重用，并且操作簡(jiǎn)單靈活，有效縮短新模型的建模時(shí)間。

4 結(jié)論

(1)本文針對(duì)零件中設(shè)計(jì)重用困難的問(wèn)題提出了網(wǎng)格融合技術(shù)，該技術(shù)簡(jiǎn)單方便，有效縮短了新模型的建模時(shí)間，提高了設(shè)計(jì)效率，并使重建結(jié)果具有良好的保形性，在一定精度范圍內(nèi)滿足設(shè)計(jì)要求。

(2)本文方法可重用任意復(fù)雜的特征，同時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)人員的專業(yè)水平要求較低，具有大眾化的特點(diǎn)。

(3)增材制造技術(shù)在設(shè)計(jì)方面突破了傳統(tǒng)設(shè)計(jì)思維的束縛，使得產(chǎn)品設(shè)計(jì)趨向個(gè)性化、藝術(shù)化，以上特點(diǎn)促使該方法在新模型的探索、創(chuàng)新設(shè)計(jì)上有著更為重要的意義；同時(shí)由于設(shè)計(jì)自由度較大，對(duì)于非專業(yè)設(shè)計(jì)人員可能出現(xiàn)設(shè)計(jì)模型無(wú)法滿足力學(xué)性能等一些問(wèn)題。

(4)本文方法對(duì)特征網(wǎng)格必須有一個(gè)邊界環(huán)的要求使其在零件適用范圍上存在一定局限性。

(5)對(duì)零件特征的定義需要進(jìn)一步完善，對(duì)模型的特征分割理論及組合表達(dá)有待進(jìn)一步研究。

(6)存在融合邊界處形變較大造成的應(yīng)力集中問(wèn)題，可以考慮局部光順操作。