蔡喜東，高文君，宋紅霞

（中國石油 吐哈油田分公司 勘探開發(fā)研究院，新疆 哈密 839009）

文獻［1］和文獻［2］分別建立Logistic產(chǎn)量遞減方程和Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程時，均采用擬相滲關(guān)系式，這與文獻［3］中Arps產(chǎn)量遞減方程建立過程中采用擬相滲關(guān)系式而引起的不足和缺陷屬同一類問題[4]。文獻［5］就此類問題，對Arps產(chǎn)量遞減方程的滲流理論進行完善，因此，為了使Logistic產(chǎn)量遞減方程和Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程的滲流理論基礎(chǔ)也更加完善，本次沿用文獻［5］的研究思路，對Logistic產(chǎn)量遞減方程和Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程的滲流理論進行了推導(dǎo)與完善。

1 基礎(chǔ)理論方程

注水保持地層壓力的情況下，油藏物質(zhì)平衡微分方程可表示為[6]

油井開井數(shù)保持不變時，油田總產(chǎn)量由下式計算[7]：

將（1）式代入（2）式，得

油井見水以后，平均含水飽和度Sˉw由Welge方程得到[8]：

在不考慮毛細管力、重力的影響時，由Darcy式可得到分流量方程[9]：

2 Logistic和Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程的理論推導(dǎo)

艾富羅斯實驗結(jié)果表明，平均含水飽和度與出口端含水飽和度一般符合線性關(guān)系[8]：

對上式兩邊微分，得

2.1 Logistic產(chǎn)量遞減方程

2007年，文獻［10］曾提出油相相對滲透率較符合下式：

令 Ko（Swi）=exp[bolg(e)+(1-Swi)aolg(e)]-Co，m=(1-Swi-Sor)aolg(e)，則（8）式可寫成歸一化含水飽和度關(guān)系式：

式中 Swd=(Swe-Swi)/(1-Swi-Sor).

將（7）式和（9）式代入（3）式，取初始條件遞減時間t=0時，Swe=Swi，定積分，得

將（10）式代入（2）式，整理，得

令t=0，得

那么，（11）式可改寫為

按遞減率定義式可知

將（13）式代入（14）式，整理得

將（16）式代入（13）式，并令 b=-Ko（Swi）/(Ko（Swi）+Co)，即可得到標準Logistic產(chǎn)量遞減方程：

2.2 Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程

若將文獻［2］擬油相相滲關(guān)系式中的Swd用Swd替代，則轉(zhuǎn)化為標準的油相相滲關(guān)系式：

將（7）式和（18）式代入（3）式，取初始條件遞減時間t=0時，Swe=Swi，定積分，得

將（20）式代入（18）式，得

將（21）式代入（2）式，可得Generalized-Arc-Tanent產(chǎn)量遞減方程：

當t=0時，由（22）式可得初始產(chǎn)量：

將（23）式代入（22）式，得

令t=0，由（25）式，得

令b=1/n+1，將（26）式代入（24）式，且n＞0時，即可得到Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程標準方程式：

上式中，當t=0時，qt=qi；當t→∞時，qt→0.這些特點，正是描述油氣田產(chǎn)量遞減函數(shù)必須滿足的條件，因此，表明上式為一遞減函數(shù)，可以用于產(chǎn)量遞減的分析和預(yù)測。由于該函數(shù)關(guān)系式過于復(fù)雜，求解比較特殊，具體求解過程如下。

將實際數(shù)據(jù)代入（30）式，利用單變量求解方法，可確定出β，z0，z1和z2，進一步利用下式可確定出n，m，φ和qi的值：

雖然Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程求解方法比較特殊，但該方程既解決一般產(chǎn)量單調(diào)遞減問題，也能解決產(chǎn)量遞減初期曲線向右微凸問題；同時，該方程在一定條件下，可以轉(zhuǎn)化為Arps遞減方程、Logistic遞減方程和Arc-Tangent遞減方程（反正切微分分布產(chǎn)量遞減方程）［11]。如：n=0時，令λ=φ/m，那么，（24）式即為反正切微分分布產(chǎn)量遞減方程[12]：

按遞減率定義式，Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程的遞減率方程為

令t=0，由（36）式得Di=0.這表明Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程是初始遞減率為0的一種特殊產(chǎn)量遞減方程，其油相相對滲透關(guān)系式Kro=Ko(Swi)cos2(0.5πSwd)也很特殊。進一步分析λ的變化對遞減率影響來看，隨λ的增大，遞減率變化歪“幾”字形越明顯（圖1），即遞減率初期由0快速增大到某一極值，然后隨時間開始緩慢下降，這種特點與Arps遞減方程所表現(xiàn)出來的遞減率單調(diào)下降有著明顯的區(qū)別[13]。

圖1 不同λ值下產(chǎn)量遞減率變化曲線

3 水相相滲關(guān)系式的確定

將（6）式代入（4）式，取初始條件Swe=Swi時，fw=0，定積分得到：

將（37）式代入（5）式，則

將Logistic和Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程對應(yīng)的油相相滲關(guān)系式依次代入（38）式，得

式中 Kw(Sor)=Ko(Swi)μw/μo.

綜上所述，對于水驅(qū)油田，Logistic和Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程具有各自特殊的油、水兩相相滲關(guān)系式[14-18]。

4 實例應(yīng)用

4.1 丘陵油田陵2北區(qū)

1998年以來，丘陵油田陵2北區(qū)產(chǎn)量進入連續(xù)遞減階段（圖2），其單井平均動用地質(zhì)儲量19.2×104t，直接利用Logistic產(chǎn)量遞減方程，回歸得到該區(qū)單井產(chǎn)量遞減關(guān)系式為

相關(guān)系數(shù)R=0.996 73；初始遞減率Di=0.391 33 a-1；b=-1.223 23.

圖2 丘陵油田陵2北區(qū)產(chǎn)量遞減曲線

按文中Logistic產(chǎn)量遞減方程對應(yīng)油相相滲進行擬合（圖3）。

Kro=1.025 82exp(-4.559 18Swd)-0.010 74，

（相關(guān)系數(shù)R=0.999 65），

其中 Ko(Swi)=1.025 82，m=4.559 18，Co=0.010 74.

取初始試采產(chǎn)量為0.584 0×104t，k=0.95，得到初始遞減率Di=0.241 50 a-1，b=-0.989 53，這與實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)直接擬合結(jié)果一致（圖2）。

圖3 丘陵油田油相相滲曲線

4.2 溫五區(qū)塊

1997年以來，溫五區(qū)塊產(chǎn)量進入連續(xù)遞減階段（圖4），其單井平均動用地質(zhì)儲量12×104t，直接利用Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程回歸得到溫五區(qū)塊單井產(chǎn)量遞減關(guān)系式為

圖4 溫五區(qū)塊單井產(chǎn)量遞減曲線

擬合相關(guān)系數(shù)為0.981 82；qi=1.164 96，Di=0.376 81 a-1，m=-11.340 80，n=-1.390 70.

按文中Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程對應(yīng)油相相滲進行擬合（圖5）。

圖5 溫五區(qū)塊油水相滲變化曲線

Kro=1.120 90cos2(0.5πSwd)/[2.040 77tan(0.5πSwd)+1]0.76569,

（相關(guān)系數(shù)R=0.996 55），

其中 Ko(Swi)=1.120 90，m=2.040 77，n=0.765 69.

取初始試采產(chǎn)量為0.912 5×104t，k=0.75，得到初始遞減率Di=0.469 24，qi=1.022 82，這與實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)直接擬合結(jié)果基本一致（圖4）。

上述2個實例應(yīng)用表明，利用油水相滲確定的遞減參數(shù)與實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)直接得到的遞減參數(shù)一致。因此，在油田開發(fā)初期或油田開發(fā)指標設(shè)計時，在生產(chǎn)數(shù)據(jù)不足的情況下，可利用油井試采資料和油水相滲數(shù)據(jù)，對產(chǎn)量遞減變化趨勢進行有效地預(yù)估，如利用油相相滲關(guān)系式擬合確定出鄯善油田產(chǎn)量遞減符合雙曲遞減、馬西深層油藏產(chǎn)量遞減符合調(diào)和遞減、紅崗薩爾圖油藏產(chǎn)量遞減符合指數(shù)遞減[5]，以及本文給出的丘陵油田符合Logistic遞減和溫五區(qū)塊符合Generalized-Arc-Tangent遞減等。

5 結(jié)論

（1）本文完善了Logistic和Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程的滲流理論。

（2）水驅(qū)油田產(chǎn)量遞減方程主要受油水兩相滲流特征共同決定。

（3）經(jīng)典的油水兩相相滲關(guān)系式還無法有效建立Logistic和Generalized-Arc-Tangent產(chǎn)量遞減方程。

（4）在生產(chǎn)數(shù)據(jù)不足的情況下，可利用試采和油水相滲數(shù)據(jù)對產(chǎn)量遞減變化趨勢進行有效地預(yù)估。

符號注釋

a，a0，b，b0，k，m，n，φ，λ，β——待定系數(shù)；

Bo——地層壓力為p時原油體積系數(shù)，m3/m3；

Co——油相相滲修正常數(shù)；

Di——初始遞減率，a-1或 mon-1；

Dt——t時刻遞減率，a-1或 mon-1；

fw——含水率；

h——油層生產(chǎn)厚度，m；

K——油層滲透率，mD；

Ko(Swi)——束縛水飽和度下油相滲透率，mD；

Kro——油相相對滲透率，無量綱；

Krw——水相相對滲透率，無量綱；

Kw(Sor)——殘余油飽和度下水相滲透率，mD；

no——開井數(shù)，口；

N——地質(zhì)儲量，104t；

Npd——遞減期累計產(chǎn)油量，104t；

Δp——生產(chǎn)壓差，MPa；

qi——初始遞減產(chǎn)油量，t/d；

qt——t時刻產(chǎn)油量，t/d；

re——泄油半徑，m；

rw——井筒半徑，m；

S——表皮系數(shù)；

Swd——歸一化含水飽和度；

Swe——出口端含水飽和度；

Swi——束縛水飽和度；

Sˉw——平均含水飽和度；

Sor——殘余油飽和度；

t——遞減時間，a或mon；

ρo——原油密度，g/cm3；

μo——地層原油黏度，mPa·s；

μw——地層水黏度，mPa·s.