陳江攀，王冬，劉藝，劉艷，張為雯

（北京電子工程總體研究所，北京 100854）

隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)越來越復(fù)雜，利用FEM分析如飛行器、船舶以及車輛等大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性時，離散后的結(jié)構(gòu)自由度往往是數(shù)以萬計，甚至是數(shù)以十萬、百萬計，而所關(guān)心的往往只是復(fù)雜結(jié)構(gòu)的少數(shù)低階動力學(xué)特性，故采用直接法求解不僅受到計算機(jī)工作性能的限制，還大大降低計算效率，并提高計算成本[1]。動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法的提出與發(fā)展則有效地解決了這一問題，其基本思路是“先化整為零，再積零為整”[2]。該方法的優(yōu)點(diǎn)為：1）整體結(jié)構(gòu)的自由度得到大量縮減，從而在保證計算精度的基礎(chǔ)上有效提升計算效率；2）可對所關(guān)注的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行獨(dú)立修改和優(yōu)化，而其余子結(jié)構(gòu)保持不變；3）大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的各子結(jié)構(gòu)可由不同部門在不同地區(qū)進(jìn)行設(shè)計、測試和分析，然后再進(jìn)行綜合，即可獲得整體耦合結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型，便于分工協(xié)作；4）具有廣泛的應(yīng)用范圍，可對分別基于有限元和試驗(yàn)測試所建立的子結(jié)構(gòu)理論模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行綜合[3]。

傳統(tǒng)上按照求解域的不同可將動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法分為兩類，即模態(tài)綜合法（CMS，Component Mode Synthesis）和FBSM。CMS發(fā)展較早且方法較為成熟，并已得到了廣泛的應(yīng)用。該方法適用于基于有限元方法所建立的理論模型的綜合問題，但工程實(shí)際中常存在由試驗(yàn)測試獲得的試驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵约袄碚?試驗(yàn)混合模型的綜合問題。此時，則需基于子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣進(jìn)行處理[4-5]，即FBSM。

最初的FBSM是阻抗耦合方法，阻抗耦合方法要求對子結(jié)構(gòu)的全體自由度頻響函數(shù)矩陣進(jìn)行求逆，故計算精度和計算效率均較低，且當(dāng)頻響函數(shù)矩陣奇異時，該方法失效[6]。Jetmundsen等[7]在前人的研究基礎(chǔ)上，發(fā)展了導(dǎo)納耦合方法，導(dǎo)納耦合方法只需對界面連接自由度的頻響函數(shù)矩陣進(jìn)行求逆，這使得該方法的計算精度和計算效率較阻抗耦合方法均大幅提高，但該方法僅適用于處理兩個獨(dú)立子結(jié)構(gòu)之間的綜合問題。在導(dǎo)納耦合方法的基礎(chǔ)上，Ren等[8]提出了一種適用范圍更廣的廣義導(dǎo)納耦合方法，該方法可直接用于處理多個非獨(dú)立子結(jié)構(gòu)之間的綜合問題。值得指出的是，廣義導(dǎo)納耦合方法僅適用于處理子結(jié)構(gòu)間為剛性連接的頻域子結(jié)構(gòu)綜合問題，但工程結(jié)構(gòu)中的連接大都為彈性連接[9]。為此，文獻(xiàn)[10-12]基于廣義導(dǎo)納耦合方法，將子結(jié)構(gòu)間的彈性連接劃分成一個獨(dú)立的連接子結(jié)構(gòu)，對考慮彈性連接的FBSM進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，形成了現(xiàn)有的考慮彈性連接的FBSM。

在上述研究成果的基礎(chǔ)上，文中分別對處理子結(jié)構(gòu)間為剛性連接和彈性連接兩種問題的 FBSM 進(jìn)行了理論推導(dǎo)，并通過設(shè)計算例仿真對FBSM的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。此外，還就彈性連接的等效方法進(jìn)行了討論。

1 剛性連接FBSM推導(dǎo)

以圖 1所示結(jié)構(gòu)對處理子結(jié)構(gòu)間為剛性連接問題的FBSM進(jìn)行推導(dǎo)。

圖1 剛性連接子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)及整體結(jié)構(gòu)

圖1中，a和n分別代表子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和整體結(jié)構(gòu)的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)自由度，b、c和j分別代表子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和整體結(jié)構(gòu)的界面結(jié)點(diǎn)自由度。此時，可將子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和整體結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩分別寫成如下形式：

式中：x、H和 f分別代表響應(yīng)列向量、頻響函數(shù)矩陣和激勵列向量。引入位移協(xié)調(diào)和力平衡條件：

此外，由于綜合前后，子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和整體結(jié)構(gòu)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)自由度的響應(yīng)和激勵均未發(fā)生變化，因此可得：

由式(1)和式(2)可得：

將式(2)和式(3)代入式(4)并整理可得：

此時，若矩陣(Hbb+Hcc-Hcb-Hbc)可逆，則式(5)可改寫為：

將式(2)和式(6)代入式(1)并整理可得：

將式(7)寫成矩陣形式如下：

式(8)即為處理子結(jié)構(gòu)間為剛性連接問題的FBSM的表達(dá)式。其中，各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣可通過試驗(yàn)測試或理論計算獲得。計算方法通常選用模態(tài)疊加法：

式中：mi、ci和 ki分別為子結(jié)構(gòu)對應(yīng)于第 i階模態(tài)φi的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度；j為虛數(shù)單位；ω為角頻率；w為參加計算的模態(tài)總階數(shù)，且由于w<

2 彈性連接FBSM推導(dǎo)

以圖 2所示結(jié)構(gòu)對處理子結(jié)構(gòu)間為彈性連接問題的FBSM進(jìn)行推導(dǎo)。

圖2中：a代表內(nèi)部結(jié)點(diǎn)自由度；b和c代表界面結(jié)點(diǎn)自由度；上標(biāo)“-”和“~”分別代表子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和彈性連接。此時，可將子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣以及彈性連接的阻抗矩陣分別寫為：

式中：Z代表阻抗矩陣。引入位移協(xié)調(diào)和力平衡條件為：

此外，由于綜合前后，子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和整體結(jié)構(gòu)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)自由度的響應(yīng)和激勵均未發(fā)生變化，因此可得：

圖2 彈性連接子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)及整體結(jié)構(gòu)

由式(10)和式(11)可得：

由式(10)、式(11)和式(12)可得：

將式(14)代入式(13)并整理可得：

將式(15)寫成矩陣的形式為：

式(16)中，若待求逆矩陣具有奇異性，可采用奇異值分解方法對其進(jìn)行處理[13]。此時，將式(11)、式(12)以及式(16)代入式(10)并整理可得：

式(17)即為處理子結(jié)構(gòu)間為彈性連接問題的FBSM的表達(dá)式。值得指出的是，式(17)中參與求逆的矩陣階數(shù)僅為界面結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)，故可顯著提高計算效率。同理，式(17)中各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣也可通過試驗(yàn)測試或由式(9)所示的模態(tài)疊加法計算獲得。

3 彈性連接等效方法

在利用式(17)對具有彈性連接的結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)環(huán)境預(yù)示時，如何對彈性連接進(jìn)行準(zhǔn)確地等效將直接影響預(yù)示精度。文獻(xiàn)[5, 14]利用6自由度標(biāo)量彈簧-阻尼系統(tǒng)等效結(jié)構(gòu)中的彈性連接，對具有彈性連接結(jié)構(gòu)的力學(xué)環(huán)境預(yù)示方法進(jìn)行了初步研究，并取得了一定的研究成果，但這種等效方法沒有考慮彈性連接各自由度間的剛度耦合作用，與工程實(shí)際并不相符。由文獻(xiàn)[15]可知，空間梁單元的剛度矩陣Kb的表達(dá)式為：

式中：A、E和G分別為空間梁單元的截面面積、 彈性模量和剪切模量；L為單元長度；Ix為單元截面的極慣性矩；Iy和Iz則分別表示單元截面對坐標(biāo)軸y和z的慣性矩。

由式(18)可知，空間梁單元的結(jié)點(diǎn)剛度矩陣為非對角陣，存在垂向平動和彎曲的耦合項(xiàng)，故與六自由度標(biāo)量彈簧相比，可更為準(zhǔn)確地等效復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的彈性連接剛度。此外，彈性連接的質(zhì)量遠(yuǎn)小于整體結(jié)構(gòu)質(zhì)量，對整體結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的影響可忽略不計[4,8]。此時，假設(shè)彈性連接為瑞利比例阻尼，則可將彈性連接的阻抗矩陣Z寫為：

式中：β為比例阻尼系數(shù)。

4 算例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述推導(dǎo)所得分別處理子結(jié)構(gòu)間為剛性連接和彈性連接兩種問題的FBSM的正確性，設(shè)計了如圖3所示的算例結(jié)構(gòu)。圖3中，P和Q為兩根相同的矩形截面長梁，截面尺寸和梁長度分別為0.02 m× 0.04 m和0.5 m。C為彈性連接，采用兩根相同的圓形截面短梁來等效，截面直徑和梁長度分別為0.005 m和0.05 m。此外，P、Q和C均為瑞利比例阻尼。利用空間梁單元對彈性連接進(jìn)行等效，并對P、Q和C進(jìn)行單元劃分，在此基礎(chǔ)上，分別建立P、Q、C以及整體結(jié)構(gòu)的有限元模型，單元屬性見表1。

在上述基礎(chǔ)上，分別利用FBSM和FEM對圖3所示算例結(jié)構(gòu)中結(jié)點(diǎn)1和結(jié)點(diǎn)2兩個結(jié)點(diǎn)之間三個平動方向的頻響函數(shù)進(jìn)行計算，并將兩種方法對應(yīng)的計算結(jié)果進(jìn)行了對比，如圖4所示。其中，圖3a所示子結(jié)構(gòu)間為剛性連接的算例結(jié)構(gòu)，其結(jié)點(diǎn)1和結(jié)點(diǎn)2兩個結(jié)點(diǎn)之間的X-X平動方向在1000 Hz內(nèi)無固有頻率，故圖4a只給出了FBSM和FEM對Y-Y和Z-Z兩個平動方向在1000 Hz內(nèi)頻響函數(shù)計算結(jié)果的對比情況。

由圖4可知，對于子結(jié)構(gòu)間為剛性連接和彈性連接兩種情況，F(xiàn)BSM對頻響函數(shù)的計算結(jié)果均與FEM的對應(yīng)計算結(jié)果吻合程度良好，即FBSM可對結(jié)構(gòu)的力學(xué)環(huán)境進(jìn)行準(zhǔn)確高效地預(yù)示。

圖3 算例結(jié)構(gòu)

表1 算例結(jié)構(gòu)單元屬性

圖4 兩種方法計算結(jié)果對比情況

5 結(jié)語

文中分別對處理子結(jié)構(gòu)間為剛性連接和彈性連接兩種問題的FBSM進(jìn)行了理論推導(dǎo)，并就彈性連接的等效方法進(jìn)行了討論，且通過算例仿真驗(yàn)證了FBSM的正確性。結(jié)果表明，對于子結(jié)構(gòu)間為剛性連接和彈性連接兩種情況，F(xiàn)BSM均可對結(jié)構(gòu)的力學(xué)環(huán)境進(jìn)行準(zhǔn)確高效的預(yù)示，且在處理具有彈性連接結(jié)構(gòu)的力學(xué)環(huán)境預(yù)示問題時，可采用空間梁單元等效彈性連接。該研究所得的結(jié)論具有一定的理論研究和工程應(yīng)用價值。