余小芬 王百順 歐鑫

摘 要：天干地支組合形成我國古代的一種重要紀(jì)年歷法.從數(shù)學(xué)角度看天干地支配伍表，得到了一些干支排列規(guī)律，并介紹了公元后、公元前年份對應(yīng)的干支算法，分析了算法間的聯(lián)系.

關(guān)鍵詞：天干；地支；紀(jì)年；算法

基金項(xiàng)目：四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃”項(xiàng)目（ZY16001）.

作者簡介：余小芬（1986-），女，四川內(nèi)江人，理學(xué)碩士，講師，研究方向：高考研究、中小學(xué)數(shù)學(xué)教育.

干支紀(jì)年法是我國古代流傳至今的一種紀(jì)年方法，它是中華民族寶貴的文化遺產(chǎn)之一所謂干支紀(jì)年，是將十天干“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”和十二地支“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”按固定的順序相互配合，組成六十個(gè)基本單位用以紀(jì)年，故又稱“六十甲子”（見表1）如“予猶記周公之被逮在丁卯三月之望”（張溥《五人墓碑記》），這里的“丁卯”指的是公元1627年還比如甲午戰(zhàn)爭、戊戌變法、辛亥革命中的“甲午”“戊戌”“辛亥”分別指的是公元1894年、1898年、1911年

天干地支內(nèi)涵豐富，從天文到地理，從自然到社會，都有著其神秘的身影，它蘊(yùn)藏著周而復(fù)始、生生不息的規(guī)律，寓意著大自然永恒持久的生命力從古至今，人們試圖從玄學(xué)、哲學(xué)、理學(xué)等不同角度研究天干地支，認(rèn)識干支紀(jì)年，期待能更多揭示它的神秘面紗下面用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識表1中干支配伍的一些規(guī)律及干支紀(jì)年的簡單算法，以饗讀者.

一、表1中，出現(xiàn)“甲”的干支均位于表格第一列，分別為：甲子、甲戌、甲申、甲午、甲辰、甲寅

說明 由于“甲”是天干中的第一個(gè)，且天干循環(huán)周期為10，故有“甲”出現(xiàn)的干支均位于第一列又每一干支對應(yīng)表1中的一個(gè)數(shù)（1～60），且天干周期為10，地支周期為12，于是有10m+1=12n+j，其中0≤m≤5，0≤n≤4，1≤j≤12，m，n，j∈N當(dāng)m=0時(shí)，則n=0，j=1，即對應(yīng)干支為甲子；當(dāng)m=1時(shí)，則n=0，j=11，即對應(yīng)干支為甲戌；……；當(dāng)m=5時(shí)，則n=4，j=3，即對應(yīng)干支為甲寅.

注 同理，可分析與天干“乙”搭配的地支為丑、亥、酉、未、巳、卯其余類似可推.

二、出現(xiàn)“子”的干支有甲子、丙子、戊子、庚子、壬子，其位置呈“階梯”狀，且相鄰兩個(gè)干支均間隔一列

說明 同上，10m+i=12n+1，其中0≤m≤5，1≤i≤10，0≤n≤4，m，i，n∈N當(dāng)n=0時(shí)，則m=0，i=1，即對應(yīng)干支為甲子；當(dāng)n=1時(shí)，則m=1，i=3，即對應(yīng)干支為丙子；……；當(dāng)n=4時(shí)，則m=4，i=9，即對應(yīng)干支為壬子.

注 同理，可分析與地支“丑”搭配的天干為乙、丁、己、辛、癸其余類似可推.

三、已知表1排列序號求對應(yīng)干支

例1 求表1中序號為37的干支年.

說明 同上，10m+i=12n+j=37，其中0≤m≤5，1≤i≤10，0≤n≤4，1≤j≤12，m，i，j，n∈N當(dāng)m=3，i=7，則天干為庚，當(dāng)n=3，j=1，則地支為子故37號為庚子年.

四、已知干支求表1中對應(yīng)排列序號

例2 求丙申年在表1中的排列序號.

說明 丙位于天干第三個(gè)，申位于地支第9個(gè)，所以10m+3=12n+9，其中0≤m≤5，0≤n≤4， m，n∈N所以10m=12n+6，即m=3，n=2時(shí)等式成立，故序號為33號.

五、公元后年份的干支算法

例3 求2018年對應(yīng)的干支.

解 （2018-3）÷10=201……5，故天干為戊；（2018-3）÷12=167……11，故地支為戌，即2018年為戊戌年.

如，計(jì)算例3中2018年對應(yīng)的干支：2018÷10=201……8，故天干為戊；2018÷12=168……2，故地支為戌，即2018年為戊戌年.

下面對表2和表3中天干（或地支）編號間的聯(lián)系進(jìn)行說明：

先分析表2，表3中天干編號間聯(lián)系：設(shè)a表示公元后某一年份，且a=10m+i，a-3=10n+j，其中0≤m，n≤5，1≤i，j≤10，m，i，j，n∈N所以10m+i=10n+j+3，因此i=j+3或i=j+3-10=j-7，即表2與表3中對應(yīng)天干編號之差為3或7.

同理，可分析表2，表3中地支編號的聯(lián)系：a=12e+f，a-3=12g+h，其中0≤e，g≤4，1≤f，h≤12，e，f，g，h∈N所以12e+f=12g+h+3，因此f=h+3或f=h+3-12=h-9，即表2與表3中對應(yīng)地支編號之差為3或9.

六、公元前年份的干支算法

例4 求公元前56年對應(yīng)的干支.

解 56÷10=5……6，故天干為乙；56÷12=4……8，故地支為丑即公元前56年為乙丑年.

下面對表3和表4中天干（或地支）編號間的聯(lián)系進(jìn)行說明：

先分析表3，表4中天干編號的聯(lián)系：設(shè)a（a>0）表示公元前某一年份，b表示公元后某一年份，且a，b對應(yīng)的干支相同設(shè)a=10m+i，b=10n+j，其中0≤m，n≤5，1≤i，j≤10，m，i，j，n∈N又a，b對應(yīng)的干支相同，故b=-a+60k+1（k∈N），因此10n+j=-10m-i+60k+1，所以i+j-1=10（6k-m-n），所以i+j-1=10，即i+j=11所以表3，表4中對應(yīng)天干編號之和為11.

同理，設(shè)a=12e+f，b=12g+h，其中0≤e，g≤4，1≤f，h≤12，e，f，g，h∈N又b=-a+60k+1（k∈N），因此12g+h=-12e-f+60k+1，所以h+f-1=12（5k-e-g），所以h+f-1=12，即h+f=13所以表3，表4中對應(yīng)地支編號之和為13.

特別指出，計(jì)算已知年份對應(yīng)天干方法較多，希望有興趣讀者繼續(xù)研究.

干支紀(jì)年讓我們看到了我國古代勞動人民的智慧和創(chuàng)造力，感受到中華民族悠久而燦爛的文化，它所蘊(yùn)藏的無窮奧妙，還有待我們不斷用科學(xué)的方法去認(rèn)識它，理解它.