康美仙， 趙葉青

(中北大學(xué) 理學(xué)院, 太原 030051)

1 問(wèn)題的提出

禽流感最早在1878年報(bào)道于意大利,它是由甲型流感病毒引起的傳染性疾病,且一般是由雞、鴨等動(dòng)物傳染給人類的一種疾病。絕大多數(shù)禽流感不會(huì)感染人類,但是甲型H5N1和H7N9等某些病毒會(huì)造成嚴(yán)重的人類傳染。甲型H5N1病毒亞型是一種高致病性禽流感病毒,它于1997年在香港首次發(fā)現(xiàn)禽類會(huì)把疾病傳染給人類,又于2003和2004年由亞洲傳播到歐洲、非洲,致使大量的禽類和人類死亡。而甲型H7N9病毒亞型是一種低致病性禽流感病毒,在2013年3月首次感染3位人類。這2種禽流感病毒已經(jīng)在人類中流行起來(lái),引起了全世界衛(wèi)生組織的高度重視,因此為了能更好地預(yù)防和控制禽流感病毒,最近幾年進(jìn)行了大量的理論研究,成果見(jiàn)文獻(xiàn)[1-5]。到目前為止,國(guó)家已經(jīng)研制出一些預(yù)防和控制禽流感病毒的藥物,但是藥物資源有限且價(jià)格昂貴。如果投入量太大的話,在一定程度上會(huì)造成浪費(fèi),但是投入量太小的話,會(huì)在疾病流行時(shí)造成更大的人類和禽類的損失。文獻(xiàn)[6-7]提出了一種分段治療函數(shù),當(dāng)染病者數(shù)量沒(méi)有超出最大治療能力時(shí),治療率和染病者成正比;當(dāng)染病者數(shù)量超出最大治療能力時(shí),取最大飽和治療值。

本文把禽類和人類結(jié)合到一起考慮,把宿主人類分為S1,I1,R三類分別表示人類的易感者、感染者和恢復(fù)者；把媒介禽類也分為3類,分別用S2,I2,V表示禽類的易感者、染病者和接種免疫者。文獻(xiàn)[8-9]研究了帶有飽和治療率的S,I,R模型,本文在禽流感模型中取類似于式(1)的治療函數(shù):

(1)

其中I0表示醫(yī)療體系中所承載的最大患病者數(shù)量?？紤]帶有治療的如下禽流感傳染病模型:

(2)

其中：正參數(shù)A1和A2分別表示人類和禽類的出生率；d1和d2分別表示人類和禽類的自然死亡率；μ1和μ2分別表示人類和禽類染病者的因病死亡率；r表示患者的恢復(fù)率；β1和β2表示傳染率；p表示禽類的預(yù)防接種比例；θ表示免疫失效比例。

(3)

F1(z)=(A1-d1S1-β1S1I2,β1S1I2-

(d1+μ1+r)I1-kI1)′=

(f11(z),f12(z))′

F2(z)=(A1-d1S1-β1S1I2,β1S1I2-

(d1+μ1+r)I1-kI0)′=

(f21(z),f22(z))′

當(dāng)I1=I0時(shí),f12(z)=f22(z)，則系統(tǒng)(3)連續(xù)。

證明設(shè)zi∈M∩Gi,zi=(Si,Ii),g1=A1-d1S1-β1S1I2,g2=β1S1I2-(d1+μ+r)I1, |F1(z)-F2(z)|=[g1(z1)-g1(z2)]2+[g2(z1)-g2(z2)-k(I1-I0)]2≤[g1(z1)-g1(z2)]2+[∣g2(z1)-g2(z2)∣-k(I1-I0)]2。

從而由于

∣g1(z1)-g1(z2)∣2≤L1∣z1-z2∣2，

[g2(z1)-g2(z2)-k(I1-I0)]2≤

[∣g2(z1)-g2(z2)∣2+k2(I1-I0)2]≤

2L2∣z1-z2∣2+2k2(I1-I0)2≤

2L2∣z1-z2∣2+2k2(z1-z2)2=

(2L2+2k2)2∣z1-z2∣2

則|F1(z)-F2(z)|2≤(2L2+2k2+L1)∣z1-z2∣2,|F1(z)-F2(z)|≤L∣z1-z2∣,得證,從而系統(tǒng)的解存在且唯一。

當(dāng)0

(4)

當(dāng)I1>I0時(shí),系統(tǒng)(2)變?yōu)椋?/p>

(5)

2 平衡點(diǎn)的存在性

本節(jié)討論系統(tǒng)(4)和系統(tǒng)(5)平衡點(diǎn)的存在性,首先對(duì)系統(tǒng)(4)進(jìn)行分析。

利用Van den Driessche和Watmough的方法,得到模型(2)的基本再生數(shù)為

ξ=(R0-1)d2(d2+μ2)(d2+θ+p),η=β2(1-p)(d2+μ2)(θ+d2),由地方病平衡點(diǎn)的正性,可得以下定理:

定理1 對(duì)于系統(tǒng)(4),當(dāng)R0<1時(shí),僅存在無(wú)病平衡點(diǎn)E0，當(dāng)R0>1時(shí),不僅存在無(wú)病平衡點(diǎn),還存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*。對(duì)于系統(tǒng)(5),當(dāng)R0>1時(shí),僅存在惟一的地方病平衡點(diǎn)E**。

3 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)(4)在無(wú)病平衡點(diǎn)E0的Jacobian矩陣為

課外學(xué)習(xí)的開(kāi)展應(yīng)該建立在課堂中課文的基礎(chǔ)之上，在開(kāi)展的過(guò)程當(dāng)中，教師應(yīng)該保證課外學(xué)習(xí)的內(nèi)容既與課堂當(dāng)中學(xué)習(xí)的內(nèi)容相聯(lián)系，同時(shí)還應(yīng)該滿足教學(xué)大綱的需求。教師在給學(xué)生留課下學(xué)習(xí)的任務(wù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，以在課堂中學(xué)到的知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，再對(duì)生活當(dāng)中或者實(shí)際的社會(huì)當(dāng)中所遇到的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行展開(kāi)。另一方面，課外學(xué)習(xí)也可以從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)來(lái)開(kāi)展，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，組織開(kāi)展社區(qū)或者學(xué)校里面的興趣活動(dòng)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

其對(duì)應(yīng)的特征方程為

(λ+d1)2[λ+(d1+μ1+r+k)](λ+d2)·

(λ+θ+p+d2)(λ-m)=0

其中m=(d2+μ2)(R0-1),因此當(dāng)R0<1時(shí),則方程的根均為負(fù)實(shí)部,可得出下面定理:

定理2 對(duì)于系統(tǒng)(4),當(dāng)R0<1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

定理3 對(duì)于系統(tǒng)(4),當(dāng)R0≤1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的。

4 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

首先對(duì)系統(tǒng)(4)的正平衡點(diǎn)進(jìn)行討論,當(dāng)h(I1)=kI1時(shí)，

[λ+(d1+β1I2)][λ+(d1+μ1+r+k)][λ+d1]=0

那么λ1=-(d1+β1I2),λ2=-(d1+μ1+r+k),λ3=-d1,A的特征根均為負(fù)的。

下面對(duì)矩陣C進(jìn)行分析。C的特征方程是:λ3+n1λ2+n2λ+n3=0。其中:

n2=(θ+d2)d2R0+d2pR0+

(θ+d2)[(θ+d2)d2R0+d2pR0]>0

由Routh-Hurwitz判據(jù)得,C的特征根均具有負(fù)實(shí)部。于是有以下定理:

定理4 對(duì)于系統(tǒng)(4),當(dāng)R0>1時(shí),E*是局部漸近穩(wěn)定的。

下面分析系統(tǒng)(5)的正平衡點(diǎn),當(dāng)h(I1)=kI0時(shí),

矩陣C與h(I1)=kI1時(shí)相同， 因此E**在R0>1是局部漸近穩(wěn)定的。于是有下面的定理:

定理5 對(duì)于系統(tǒng)(5),當(dāng)R0>1時(shí),地方病平衡點(diǎn)E**是局部漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)平衡點(diǎn)E*和平衡點(diǎn)E**發(fā)生碰撞時(shí),此時(shí)得到系統(tǒng)(3)的一個(gè)廣義平衡點(diǎn)E***,因?yàn)橄到y(tǒng)(3)是非光滑系統(tǒng),需要應(yīng)用廣義雅克比矩陣論,即

{(1-p)J(E*)+pJ(E**)∣p∈[0,1]}

其矩陣A的特征多項(xiàng)式為:(λ+d1+β1I2)[λ+d1+μ1+r+(1-p)k](λ+d1)=0，那么λ1=-(d1+β1I2),λ2=-(d1+μ1+r)+(p-1)k,λ3=-d1。

由于p<1,則矩陣A的特征值均為負(fù)的,矩陣C與h(I)=kI1時(shí)相同，因此E***在R0>1是局部漸近穩(wěn)定的。于是有下面的定理:

定理6 系統(tǒng)(3)的廣義平衡點(diǎn)E***是局部漸近穩(wěn)定的。

以下討論正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，由于系統(tǒng)(2)的后3個(gè)方程不含S1,I1,R,后3個(gè)和前2個(gè)方程都不含R,因此要分析系統(tǒng)(2)平衡點(diǎn)E*的全局穩(wěn)定性,只需研究系統(tǒng)(3)。

定理7 系統(tǒng)(3)在Ω區(qū)域中不存在極限環(huán)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將人類和禽類結(jié)合到一起考慮，在治療的情形下,建立了SIR-SIV動(dòng)力學(xué)模型,通過(guò)對(duì)模型的分析,得到了禽流感是否傳播的閾值,證明了當(dāng)病人在治療能力范圍之內(nèi)時(shí),模型在R0<1時(shí),只存在1個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)且是全局漸近穩(wěn)定的,即疾病會(huì)消失。當(dāng)R0>1時(shí),只存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*且是全局漸近穩(wěn)定的,即疾病會(huì)流行,如圖1(a)所示。當(dāng)醫(yī)院超出治療能力范圍時(shí),只有在R0>1時(shí),存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E**且是全局漸近穩(wěn)定的,即疾病會(huì)傳播,如圖1(b)所示。因此為了疾病得到進(jìn)一步的控制,可以降低禽類的輸入,或者進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟稓⒌?從而對(duì)疾病起到良好的控制作用。

圖1 固定參數(shù)A1=4, d1=0.5, β1=0.01,μ1=0.3, r=0.6, k=0.05, A2=10, θ=0.4,p=0.25, β2=0.6, d2=0.6, μ2=0.3