毛宗楊，陳韜偉，余益民，趙 昆

(云南財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息學(xué)院, 昆明 650221)

優(yōu)化問(wèn)題是科研和工程實(shí)踐中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，按照目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)，可分為單目標(biāo)優(yōu)化和多目標(biāo)優(yōu)化。多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題(multi-objective optimization problems，MOPs)需要同時(shí)計(jì)算多個(gè)目標(biāo)函數(shù)，這些目標(biāo)函數(shù)之間通常是相互矛盾的，因此，存在一個(gè)折衷解的集合，稱(chēng)為Pareto最優(yōu)解集或非支配解集。

最初，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的解決方法是將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)加權(quán)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題，采用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法進(jìn)行求解，但效率較低，且它們對(duì)于權(quán)值或目標(biāo)次序難以科學(xué)地確定[1]。

膜計(jì)算也稱(chēng)P系統(tǒng)，由Paun在1998年提出，并于2000年發(fā)表了第1篇相關(guān)論文[2]。 主要有以下幾種類(lèi)型的P系統(tǒng)：細(xì)胞型P系統(tǒng)[3]、組織型P系統(tǒng)[4]和神經(jīng)型P系統(tǒng)[5]。目前，膜計(jì)算理論框架已廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和生物學(xué)等眾多領(lǐng)域。由于膜計(jì)算框架理論具有分布性、并行性、非確定性和可拓展性等特點(diǎn)[6]，它可引入上述的各種算法中實(shí)現(xiàn)進(jìn)化計(jì)算、群智能計(jì)算與膜計(jì)算結(jié)合算法的新應(yīng)用。Guo[7]利用膜系統(tǒng)的并行計(jì)算和分布式模型解決了SAT問(wèn)題。Zhang等[8]將膜系統(tǒng)應(yīng)用到GPU中，將GPU的串行方式改為并行方式。張群慧等[9]將粒子群算法引入膜系統(tǒng)中，并將其應(yīng)用在云資源調(diào)度中從而提高了任務(wù)的處理效率。Sun等[10]將膜計(jì)算與PSO算法結(jié)合提出新算法MCBPSO,并用于處理復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題。劉春秀等[11]將P系統(tǒng)與量子進(jìn)化算法結(jié)合，并用于收集雷達(dá)輻射源信號(hào)。Lefticaru等[12]將膜系統(tǒng)與進(jìn)化方法結(jié)合，拓展了膜計(jì)算的應(yīng)用。Wang等[13]在膜計(jì)算的基礎(chǔ)上提出單閾值圖像分割技術(shù)，即利用膜計(jì)算的進(jìn)化規(guī)則選取最優(yōu)閾值。Pavel等[14]提出Enzymatic Numerical P系統(tǒng)，這是數(shù)值P系統(tǒng)的擴(kuò)展。Song等[15]將信道狀態(tài)和反向運(yùn)輸及通向轉(zhuǎn)移引入膜系統(tǒng)中。Pan等[16]用扁平膜系統(tǒng)最大并行度處理了SAT問(wèn)題。Singh等[17]將粒子群優(yōu)化規(guī)則與膜系統(tǒng)結(jié)合來(lái)處理Blasius微分方程。

總之，采用P系統(tǒng)與進(jìn)化計(jì)算、群智能算法相結(jié)合求解近似優(yōu)化算法是目前研究的一個(gè)方向。從研究的成果來(lái)看，與P系統(tǒng)結(jié)合的算法多數(shù)是針對(duì)單目標(biāo)優(yōu)化算法的求解，對(duì)于高維度的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的研究較少，仍需要進(jìn)一步的研究。本文在前期研究的基礎(chǔ)上，將膜系統(tǒng)與煙花爆炸算法結(jié)合，提出了一種膜框架下的煙花爆炸算法。算法充分利用膜的分裂、合并等操作與基于煙花爆炸的尋優(yōu)搜索方式相結(jié)合，能更好地平衡算法的局部開(kāi)采和全局勘探的能力。在仿真實(shí)驗(yàn)中，采用標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)ZDT和DTLZ系列對(duì)提出的算法進(jìn)行測(cè)試。結(jié)果表明：該算法所得的非支配解集更接近真實(shí)Pareto前沿，在多樣性、收斂性、準(zhǔn)確性等方面優(yōu)于或部分優(yōu)于其他算法。

1 相關(guān)概念

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

多目標(biāo)數(shù)學(xué)模型包括兩個(gè)部分：兩個(gè)及兩個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù)、約束條件。多目標(biāo)優(yōu)化的最小化描述為式(1)：

F(x)=min{f1(x),f2(x),…,fm(x)}

s.thj(x)≥0,j=1,2,…,p

gi(x)=0,i=1,2,…,q

(1)

式(1)中有n個(gè)決策變量；x=(x1,x2,…,xn)?Rn，Rn為n維決策空間；F(x)=Rm表示m維目標(biāo)空間，目標(biāo)函數(shù)F(x)定義了決策變量與目標(biāo)空間的映射關(guān)系；gi(x)表示q個(gè)等式約束；hj(x)表示p個(gè)不等式約束。

定義1(可行解) 對(duì)任意x∈Rm，并滿(mǎn)足上式(1)中的約束條件，則稱(chēng)x為可行解。

定義2(Pareto占優(yōu)) 對(duì)滿(mǎn)足定義1的所有可行解組成的集合稱(chēng)為可行解集合，并用X表示，則X?Rn；若存在兩個(gè)可行解分別為xa,xb∈X，xa與xb進(jìn)行相比較，xa是Pareto占優(yōu)的則滿(mǎn)足下面條件：

?i=1,2,…,m;fi(xa)

?j=1,2,…,m;fj(xa)≤fj(xb)

(2)

記作xa

定義3(Pareto最優(yōu)解) 如果存在一個(gè)X*滿(mǎn)足：X*={x∈Rn|﹁ ?x′∈

定義4(Pareto前沿) 最優(yōu)解集X*在目標(biāo)函數(shù)空間上的映射，即：

PF=F(x*)=min{f1(x*),f2(x*),…,

fm(x*)|x*∈X*}

(3)

映射后的集合稱(chēng)為Pareto前沿。

1.2 膜計(jì)算

膜計(jì)算(membrane computing)是從細(xì)胞的結(jié)構(gòu)和功能以及組織或神經(jīng)元中細(xì)胞的相互作用中抽象出來(lái)[18]。膜系統(tǒng)指由多個(gè)膜組成并且每層膜都是一個(gè)計(jì)算單元，所以膜系統(tǒng)有并行計(jì)算和分布式的特性。

膜系統(tǒng)由以下3部分組成：膜結(jié)構(gòu)、對(duì)象多重集和反應(yīng)規(guī)則[6]。用字符對(duì)象和多重集表示所求優(yōu)化問(wèn)題的可行解和可行解集。反應(yīng)規(guī)則既有對(duì)膜結(jié)構(gòu)的操作又有對(duì)字符對(duì)象的操作。本文采用細(xì)胞型的膜系統(tǒng)進(jìn)行研究。細(xì)胞型膜系統(tǒng)的模型介紹如下：

∏={V,T,u,w1,w2,…,wn,R}

(4)

根據(jù)式(4)知：V為字母表，其中的元素為字符對(duì)象。細(xì)胞中分子和化學(xué)物質(zhì)抽象為字符對(duì)象。T?V,T表示輸出字母表；u表示含有n個(gè)膜的膜結(jié)構(gòu)，n為膜系統(tǒng)Π的度；wi∈V*，i=1,2,…,m，wi表示u中第i個(gè)膜內(nèi)包含字符對(duì)象的多重集，V*為V中字符對(duì)象組成的字符多重集；R為進(jìn)化規(guī)則的有限集合，Ri,i=1,2,…,m,為膜結(jié)構(gòu)u中第i區(qū)域的進(jìn)化規(guī)則。

細(xì)胞型膜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，圖中最外層的膜為表層膜，用于將細(xì)胞外和細(xì)胞膜的內(nèi)部結(jié)構(gòu)分隔開(kāi)。每個(gè)膜都有一個(gè)確定的區(qū)域，每個(gè)區(qū)域中反映規(guī)則和多重集。若某個(gè)區(qū)域中不包含膜，稱(chēng)為基本膜。

圖1 細(xì)胞型的膜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1.3 精英反向?qū)W習(xí)

反向?qū)W習(xí)(opposition based learning)由Tizhoosh提出，在全局最優(yōu)的問(wèn)題上反向解比當(dāng)前解更接近最優(yōu)解。反向?qū)W習(xí)是在個(gè)體當(dāng)前所在的區(qū)域產(chǎn)生反向個(gè)體，同時(shí)將當(dāng)前個(gè)體與反向個(gè)體一同競(jìng)爭(zhēng)，競(jìng)爭(zhēng)后產(chǎn)生的個(gè)體進(jìn)入下一代。

定義6(反向解優(yōu)化) 假設(shè)優(yōu)化問(wèn)題為公式(1)中最小化優(yōu)化問(wèn)題，假設(shè)存在一個(gè)當(dāng)前解X，設(shè)X′為其反向解，則更新機(jī)制如下：如果XX′，則保留X′。如果X和X′彼此間非支配，則隨機(jī)選擇X或X′進(jìn)行保留。

在多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中一般將非支配解稱(chēng)為精英個(gè)體，精英個(gè)體中包含許多將種群向最優(yōu)Pareto前沿收斂的信息。加強(qiáng)對(duì)精英個(gè)體所在區(qū)域的搜索會(huì)使算法的收斂速度和全局搜索能力得到改善。

1.4 煙花爆炸算法

1.4.1 煙花爆炸算法的優(yōu)化機(jī)制

煙花爆炸算法(fireworks algorithm，F(xiàn)WA)是模擬現(xiàn)實(shí)生活中煙花爆炸的現(xiàn)象，將煙花爆炸的空間看成優(yōu)化問(wèn)題的搜索空間，用爆炸點(diǎn)和爆炸點(diǎn)爆炸產(chǎn)生火花的位置來(lái)表示優(yōu)化問(wèn)題的解。根據(jù)已有的火花和爆炸點(diǎn)進(jìn)行選擇，使相對(duì)較理想的火花位置保留下來(lái)，不停迭代直至得到滿(mǎn)意結(jié)果。

煙花爆炸算法具有全局搜索和局部搜索能力。每個(gè)火星產(chǎn)生的爆炸半徑和火星的個(gè)數(shù)是不同的，如果煙花的適應(yīng)度值較好(適應(yīng)度值較小)則在較小的范圍內(nèi)產(chǎn)生較多的火星因此具有開(kāi)采性，反之在較大的范圍內(nèi)產(chǎn)生較少的火花因此具有勘探性。

*(rinit-rend)+rend

(5)

(6)

如果搜索空間是低維度，選擇坐標(biāo)軸為爆炸方向，假設(shè)為n維(n<10)，那么爆炸的方向?yàn)?n個(gè)。如果搜索空間是高維度，繼續(xù)用2n個(gè)爆炸方向，此時(shí)會(huì)消耗大量的空間，所以每層爆炸方向采用從2n個(gè)方向中隨機(jī)選n/3個(gè)方向同時(shí)再加上這n/3個(gè)方向的相反方向。以二維的搜索空間為例，如圖2所示，其中圓心處黑點(diǎn)表示爆炸點(diǎn)，坐標(biāo)軸上的圓圈表示火星。

圖2 二維空間爆炸點(diǎn)的方式

對(duì)火星和爆炸點(diǎn)的邊界進(jìn)行限制設(shè)xi(i=1,2,…,n)為搜索空間中的決策變量，并且xi屬于[ai,bi]，如果有火星xj超出邊界[ai,bj]，則要將xj在第i維上的值重置，火星的重置有利于火星多樣性的提高，重置方式如(7)所示。

(7)

rand( )是[ai,bj]中的均勻隨機(jī)數(shù)。

1.4.2 選擇火星

從第二代開(kāi)始將會(huì)產(chǎn)生大量火星，將火星和爆炸點(diǎn)一起進(jìn)行選擇，選出較優(yōu)的火星進(jìn)行下一次爆炸。為保持火星多樣性和種群的規(guī)模采用基于距離的方式進(jìn)行篩選。設(shè)xi屬于m,m是爆炸點(diǎn)和火星的集合，xi與m中其他元素的距離之和如式(8)所示。

(8)

選中xi的概率為P(xi),如式(9)所示。

(9)

對(duì)p(x)進(jìn)行降序排序，選擇排序較前的個(gè)體。

綜上所述，因?yàn)槟は到y(tǒng)是由多個(gè)膜組成，每層膜都是一個(gè)計(jì)算單元，所以膜系統(tǒng)有并行計(jì)算和分布式的特性。而煙花爆炸算法在求解優(yōu)化問(wèn)題時(shí)具有隨機(jī)性、局部性、爆發(fā)性、隱并行性、多樣性和瞬時(shí)性等特點(diǎn)，滿(mǎn)足在某一范圍內(nèi)的解和其鄰域解擁有相似的性質(zhì)。因此，將膜框架與煙花爆炸算法結(jié)合對(duì)求解優(yōu)化問(wèn)題是可行的。在基本膜中，煙花的種群中所有的煙花根據(jù)適應(yīng)度值進(jìn)行信息的交互和資源的分配，增加了種群的多樣性，克服算法早熟收斂。最后，在表層膜中的精英反向?qū)W習(xí)的應(yīng)用，反向解比當(dāng)前的解更接近全局最優(yōu)，有利于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的求解。

2 膜計(jì)算框架下的煙花爆炸算法

用外部檔案來(lái)存放最優(yōu)字符對(duì)象，為確保外部檔案內(nèi)字符對(duì)象的多樣性和整體數(shù)量的穩(wěn)定，引入精英反向?qū)W習(xí)和NSGA-Ⅱ算法中的擁擠距離與非支配排序。

擁擠距離指在相同的非支配等級(jí)中兩字符對(duì)象的距離，如式(10)所示。

(10)

通過(guò)式(10)計(jì)算完擁擠距離之后對(duì)字符對(duì)象進(jìn)行擁擠距離排序，即將字符對(duì)象通過(guò)擁擠距離進(jìn)行降序排序。

基于膜框架下的煙花爆炸算法的具體步驟如圖3所示。

圖3 算法執(zhí)行流程

設(shè)搜索空間為m維，目標(biāo)數(shù)目為n，字符對(duì)象規(guī)模為N，外部檔案的容量為M。則煙花爆炸算法的時(shí)間復(fù)雜度如下：

步驟1 在優(yōu)化問(wèn)題的約束條件得到滿(mǎn)足的基礎(chǔ)上，對(duì)字符對(duì)象進(jìn)行初始化(初始化時(shí)間復(fù)雜度為O(mN))，即在表層膜內(nèi)隨機(jī)生成N個(gè)字符對(duì)象，并且用十進(jìn)制對(duì)字符對(duì)象進(jìn)行編碼，描述形式如(式11)所示。

(11)

步驟2 對(duì)目標(biāo)算法的每個(gè)字符對(duì)象進(jìn)行計(jì)算，求出適應(yīng)度值并根據(jù)適應(yīng)度值確定火星質(zhì)量的好壞。適應(yīng)度值好的獲取的資源相對(duì)多；相反，適應(yīng)度值差的獲取資源少。

步驟3 初始化操作后，在表膜的內(nèi)部使用分裂規(guī)則，分裂出M個(gè)基本膜，將初始化后的M個(gè)多重集發(fā)送到M個(gè)基本膜內(nèi)。使用并行膜結(jié)構(gòu)的形式如式(12)所示。

[ ]0→[ [ ]1, [ ]2, …, [ ]m]

(12)

其中：M為基本膜層數(shù)；[ ]0為表膜；[ ]m為第m個(gè)基本膜。

為使每個(gè)基本膜都有與其對(duì)應(yīng)的多重集，需要對(duì)多重集對(duì)象進(jìn)行劃分，首先需求出各字符對(duì)象的適應(yīng)度，并進(jìn)行非支配排序，然后將排序好的多重集分成等大小的子集。具體操作見(jiàn)式(13)。

w*=sort(w)

w*={w1,w2,…,wm}

n=sizeof(w)/m

(13)

式中：w為多重集；sort( )為對(duì)w進(jìn)行非支配排序；wi為多重集的第i個(gè)子集；sizeof(w)為多重集內(nèi)字符對(duì)象的個(gè)數(shù)；n為每個(gè)基本膜內(nèi)字符對(duì)象的個(gè)數(shù)。

步驟4 利用通信規(guī)則將表層膜內(nèi)的多重集發(fā)送給基本膜。利用選擇規(guī)則依據(jù)擁擠距離選擇字符對(duì)象，擁擠距離與非支配排序的引入提高了算法的局部搜索能力。

步驟5 在基本膜內(nèi)執(zhí)行煙花爆炸算法實(shí)現(xiàn)字符對(duì)象的重寫(xiě)規(guī)則。通過(guò)爆炸半徑計(jì)算方式(5)，爆炸點(diǎn)i產(chǎn)生火星的迭代公式(6)等對(duì)基本膜內(nèi)的字符對(duì)象進(jìn)行操作(一個(gè)爆炸點(diǎn)爆炸產(chǎn)生火星的時(shí)間復(fù)雜度為O(8n2/3),N個(gè)爆炸點(diǎn)產(chǎn)生火星的時(shí)間復(fù)雜度為O(8Nn2/3))。

步驟6 以上操作完成后調(diào)用溶解規(guī)則，當(dāng)m個(gè)基本膜溶解后基本膜中的多重集全部進(jìn)入表層膜中。并將字符對(duì)象放入外部檔案中，然后將字符對(duì)象進(jìn)行精英反向?qū)W習(xí)(運(yùn)行精英反向?qū)W習(xí)的時(shí)間復(fù)雜度為O(nM))，最后將表層膜和外部檔案中的字符對(duì)象進(jìn)行非支配排序(外部檔案多樣性維護(hù)的時(shí)間復(fù)雜度為O(n(N+M)2log(N+M))，將非支配等級(jí)小的字符對(duì)象重新組合作為下一代多重集(產(chǎn)生下一代字符對(duì)象的時(shí)間復(fù)雜度為O(mN2))。

步驟7 外部檔案使算法能快速地收斂到真實(shí)的目標(biāo)前沿，外部檔案中引入精英反向?qū)W習(xí)增強(qiáng)了算法全局搜索能力，因此該算法跳出局部極值的能力得到了提高。外部檔案實(shí)現(xiàn)如下：① 對(duì)字符對(duì)象進(jìn)行擁擠距離和非支配排序操作；② 根據(jù)結(jié)果選取非支配等級(jí)相對(duì)較低的字符對(duì)象，若存在兩字符對(duì)象非支配等級(jí)相等，則比較兩字符對(duì)象的擁擠距離，選擇擁擠距離相對(duì)較大的對(duì)象；③ 通過(guò)以上操作，將選取的字符對(duì)象放入外部檔案內(nèi)，然后將字符對(duì)象進(jìn)行精英反向?qū)W習(xí)，最后刪除檔案中受支配的字符對(duì)象將外部檔案中剩余的字符對(duì)象作為下一代多重集。

步驟8 若不滿(mǎn)足終止條件，從步驟2開(kāi)始繼續(xù)執(zhí)行；若滿(mǎn)足條件，算法結(jié)束，將表層膜內(nèi)的多重集輸出。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

1) 多目標(biāo)優(yōu)化算法及測(cè)試函數(shù)

為測(cè)試膜框架下煙花爆炸算法的性能選取6個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)與其進(jìn)行對(duì)比，分別為：GrEA、IBEA、MOMB-Ⅲ、NSGA-Ⅱ、NSGA-Ⅲ和SPEA-Ⅱ。測(cè)試函數(shù)采用ZDT和DTLZ系列的函數(shù)，ZDT系列的函數(shù)為：ZDT1、ZDT2和ZDT3，DTLZ系列的函數(shù)為：DTLZ1、DTLZ3和DTLZ7。

2) 參數(shù)設(shè)置

根據(jù)文獻(xiàn)[19]將煙花爆炸算法的半徑遞減指數(shù)α設(shè)為5，算法的初始爆炸半徑rinit=a*(xi,max-xi,min)，a∈[0.05,0.3]，rend的值為10-6。論文的膜系統(tǒng)由5層膜組成。

進(jìn)行比較實(shí)驗(yàn)時(shí)各多目標(biāo)優(yōu)化算法在兩個(gè)目標(biāo)的測(cè)試函數(shù)中將外部檔案的容量M=100,字符對(duì)象設(shè)置為N=100，算法的迭代次數(shù)為1 000；3個(gè)目標(biāo)的測(cè)試函數(shù)外部檔案的容量M=100,字符對(duì)象設(shè)置為N=100，算法的最大迭代次數(shù)為10 000。

仿真實(shí)驗(yàn)在聯(lián)想天逸310筆記本上運(yùn)行，使用Windows 10 X64 操作系統(tǒng)，4 G內(nèi)存，2.4 GHz雙核CPU，算法用Matlab實(shí)現(xiàn)。

3) 性能指標(biāo)

本文用反轉(zhuǎn)世代距離(inverted generational distance，IGD)的方法對(duì)算法性能進(jìn)行評(píng)估。IGD是度量算法獲取的近似Pareto前沿與真實(shí)Pareto前沿之間的距離。IGD的值越低，說(shuō)明算法的多樣性和收斂性越好。IGD的表達(dá)式如式(14)所示：

(14)

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

多目標(biāo)優(yōu)化算法在兩個(gè)目標(biāo)的測(cè)試函數(shù)(ZDT1、ZDT2和ZDT3)下運(yùn)行的結(jié)果分別如圖4～6所示。

圖4 基于ZDT1測(cè)試函數(shù)分布

圖5 基于ZDT2測(cè)試函數(shù)分布

圖6 基于ZDT3測(cè)試函數(shù)分布

圖4為各多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)在測(cè)試函數(shù)ZDT1下的運(yùn)行結(jié)果，圖中黑線為真實(shí)Pareto前沿，從圖4可以看出FWA算法更接近真實(shí)Pareto前沿，其他算法的效果相對(duì)比較差。圖5為ZDT2測(cè)試函數(shù)下不同算法的測(cè)試結(jié)果，相對(duì)于NSGAⅢ算法，其他算法比較逼近真實(shí)Pareto前沿，效果最好的是FWA算法。圖6為ZDT3測(cè)試函數(shù)下不同算法的分布情況效果，比較理想的是FWA算法。

煙花爆炸算法在3個(gè)目標(biāo)的測(cè)試函數(shù)DTLZ1、DTLZ3和DTLZ7下的測(cè)試結(jié)果如圖7所示。

對(duì)7個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化算法在6個(gè)測(cè)試函數(shù)下IGD的平均值(mean)、標(biāo)準(zhǔn)差(std.)的比較如表1所示，圖中粗體字表示在相同測(cè)試函數(shù)下IGD最小的值。

由表1可以得出：在相同測(cè)試函數(shù)下膜框架下的煙花爆炸算法比其他算法的IGD值都小，因此該算法比其他算法更占優(yōu)。

因?yàn)镮GD能同時(shí)反映一個(gè)算法的多樣性和收斂性，本文提出算法與其他算法對(duì)比顯示出較好的多樣性和收斂性，說(shuō)明煙花爆炸算法與膜系統(tǒng)結(jié)合較好地平衡了煙花算法的開(kāi)采和勘探過(guò)程。

圖7 基于3個(gè)目標(biāo)測(cè)試函數(shù)分布

測(cè)試函數(shù)GrEAMeanStd.IBEAMeanStd.MOMB-IIIMeanStd.NSGA-IIMeanStd.NSGA-IIIMeanStd.SPEA-IIMeanStd.FWAMeanStd.ZDT12.32×10-18.63×10-13.37×10-11.24×10-12.86×10-19.14×10-22.88×10-13.40×10-15.49×10-11.50×10-12.32×10-14.08×10-12.87×10-23.97×10-2ZDT22.75×10-11.22×10-14.52×10-12.57×10-23.40×10-11.33×10-13.23×10-18.21×10-15.71×10-19.98×10-23.07×10-18.20×10-23.01×10-23.08×10-2ZDT31.02×10-13.01×10-24.12×10-11.47×10-11.99×10-11.15×10-11.45×10-11.06×10-13.90×10-11.08×10-11.35×10-18.70×10-28.03×10-28.44×10-2DTLZ12.63×10-11.29×10-12.12×10-18.33×10-21.94×10-11.54×10-14.02×10-17.88×10-34.58×10-13.16×10-12.30×10-12.94×10-17.80×10-28.92×10-2DTLZ35.61×10-02.12×10-04.50×10-01.76×10-06.16×10-02.06×10-04.26×10-03.06×10-08.19×10-02.55×10-04.18×10-02.64×10-03.54×10-14.19×10-1DTLZ72.26×10-24.77×10-42.79×10-22.56×10-32.54×10-21.98×10-25.94×10-33.20×10-41.87×10-26.68×10-34.15×10-21.38×10-31.53×10-33.32×10-4

論文給出7種多目標(biāo)優(yōu)化算法在6種測(cè)試函數(shù)下的均值和方差排名情況，如圖8所示。

圖8 IGD均值和方差

圖8顯示結(jié)果可以看出：膜框架下的煙花爆炸算法在方差排名及均值排名相對(duì)于其他優(yōu)化算法比較占優(yōu)。這表明膜框架下的煙花爆炸算法相對(duì)于其他優(yōu)化算法有較好的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。

因?yàn)镮GD能反映一個(gè)算法的多樣性和收斂性，故采用IGD排名的方差和均值來(lái)比較各算法的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性。因此，由表1和圖8可以得出：膜框架下煙花爆炸算法的多樣性、收斂性、穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性均優(yōu)于其他多目標(biāo)優(yōu)化算法。

4 結(jié)束語(yǔ)

為了更好地解決生活中復(fù)雜的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，本文將膜系統(tǒng)與煙花爆炸算法結(jié)合，同時(shí)在外部檔案中應(yīng)用精英反向?qū)W習(xí)的方法。文中將該算法與其他6種多目標(biāo)優(yōu)化算法在6種測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行測(cè)試并得出IGD的值。實(shí)驗(yàn)表明：膜框架下的煙花爆炸算法相對(duì)于其他優(yōu)化算法有顯著的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和收斂性，說(shuō)明煙花爆炸算法與膜系統(tǒng)結(jié)合能有效地解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。