劉權(quán)

摘要：本文主要圍繞著離散型隨機(jī)變量展開，第一部分主要講述了幾種取值有限的離散型隨機(jī)變量和幾種取值無限的離散型隨機(jī)變量；第二部分主要利用隨機(jī)變量常見數(shù)字特征的定義推導(dǎo)出了幾種離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征。

關(guān)鍵詞：離散型；有限值隨機(jī)變量；無限值隨機(jī)變量；數(shù)字特征

一、常見離散型隨機(jī)變量及其分類

（一）取值有限的離散型隨機(jī)變量

1.伯努利分布

假設(shè)在一次伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概率為q=1-p，定義隨機(jī)變量X1為，

我們稱X1服從伯努利分布，記為X1～B（1， p）.

伯努利的概率分布為，

2.二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布是伯努利分布的推廣，在n次伯努利試驗(yàn)中，我們定義隨機(jī)變量X2為事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機(jī)變量X2服從二項(xiàng)分布，記作X2～B（n， p）.

隨機(jī)變量X2的概率分布為，

3.超幾何分布

假定在N件產(chǎn)品中有M件次品，其余產(chǎn)品為正品，在N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品，記X3為次品件數(shù)，則稱隨機(jī)變量X3服從超幾何分布，記作X3～H（N，n，M ）.

超幾何分布的概率分布：

其中，k∈{0，1，2，…，min{n，M}}.

（二）取值無限的離散型隨機(jī)變量

1.幾何分布

幾何分布是典型的取值無限的離散型隨機(jī)變量，無限次的伯努利試驗(yàn)中，首次試驗(yàn)成功出現(xiàn)在第X4次，則稱隨機(jī)變量X4服從幾何分布，記作X4～G（ p）.

幾何分布的概率分布為，

其中，k∈N *.

2.帕斯卡分布

帕斯卡分布是幾何分布的推廣，無限次的伯努利試驗(yàn)中，首次出現(xiàn)第r次成功所需進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)記為X5，則稱隨機(jī)變量X5服從帕斯卡分布，記作X5～Pa（ p，r）.

帕斯卡分布的概率分布為，

其中，k=r， r+1， ….

3.泊松分布

假設(shè)隨機(jī)變量X6的可能取值為所有非負(fù)整數(shù)值，并且X6的概率分布為，

其中，λ>0，為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X6服從泊松分布，記作，X6～P（λ）.

由ex的麥克勞林級數(shù)展開式，

容易驗(yàn)證，

二、幾種離散型隨機(jī)變量的數(shù)字變量特征

隨機(jī)變量常見的數(shù)字特征主要包括：數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩等。下文就本文第一部分的部分隨機(jī)變量給出他們常見的數(shù)字特征。

（一）二項(xiàng)分布的數(shù)字特征

二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望推導(dǎo)如下，

關(guān)于一般隨機(jī)變量的方差求法，

二項(xiàng)分布的方差推導(dǎo)如下，

（二）泊松分布的數(shù)字特征

泊松分布的數(shù)學(xué)期望推導(dǎo)如下，

泊松分布的方差推導(dǎo)如下，

可以看出泊松分布的一個重要性質(zhì)是其數(shù)學(xué)期望和方差是相等的，都是λ.

（三）幾何分布的數(shù)字特征

三、小節(jié)

隨機(jī)變量作為概率論的最核心的內(nèi)容，探討它的數(shù)字特征顯得非常重要。隨機(jī)變量主要可以分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量，本文主要探討的幾種隨機(jī)變量都是離散型的隨機(jī)變量，這些離散型的隨機(jī)變量也是非常重要的隨機(jī)變量。

參考文獻(xiàn)：

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