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        ?

        一類(lèi)非線性分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性*

        2018-12-15 01:50:50
        關(guān)鍵詞:邊值問(wèn)題格林等式

        施 敏

        (南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇 南京 210023)

        1 問(wèn)題的提出

        分?jǐn)?shù)階微積分理論是當(dāng)今數(shù)學(xué)界的一個(gè)熱點(diǎn)話題,它在流體力學(xué)、生物進(jìn)化、高分子材料和圖像處理等領(lǐng)域有極其重要的應(yīng)用.伴隨著非線性科學(xué)的發(fā)展,研究分?jǐn)?shù)階微分方程及其邊值問(wèn)題,對(duì)解決非線性問(wèn)題的意義越來(lái)越大.目前,很多學(xué)者[1-4]采用非線性分析的方法(如不動(dòng)點(diǎn)定理和Leray-Schauder度理論等)探討分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題1個(gè)或多個(gè)正解的存在性.受文獻(xiàn)[1]的啟發(fā),筆者將研究如下具有積分邊值條件的Caputo型非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問(wèn)題:

        (1)

        其中:0<λ

        2 預(yù)備知識(shí)

        定義1[5]函數(shù)f:[0,+∞)→R的α(α>0)階Caputo型微分定義為

        其中[α]為實(shí)數(shù)α的整數(shù)部分.

        定義2[5]函數(shù)f:[0,+∞)→R的α(α>0)階Riemann-Liouville型積分定義為

        等式右邊在(0,+∞)上是逐點(diǎn)定義的.

        定義3[5]函數(shù)f:[0,+∞)→R的α(α>0)階Riemann-Liouville型導(dǎo)數(shù)定義為

        等式右邊在(0,+∞)上是逐點(diǎn)定義的.

        引理3[7]設(shè)n<α

        (2)

        (3)

        證明根據(jù)引理2,問(wèn)題(2)中的等式CDαu(t)+y(t)=0等價(jià)于

        由條件u(0)=u′(0)=…=u(k-1)(0)=u(k+1)(0)=…=u(n)(0)=0,可得

        因此

        (4)

        從而解得

        (5)

        將(5)式代入(4)式,可得

        引理3得證.

        引理4[1]設(shè)n<α

        (1)對(duì)于?t,s∈[0,1],λ≠k+1,有G(0,s)=G(t,1)=0;

        (2)對(duì)于?s∈[0,1],有G(1,s)=0當(dāng)且僅當(dāng)λ=0;

        (3)對(duì)于?s∈(0,1),有G(1,s)>0當(dāng)且僅當(dāng)λ∈(0,k+1);

        (4)對(duì)于?t∈(0,1),有G(t,0)>0當(dāng)且僅當(dāng)λ∈[0,k+1);

        (5)對(duì)于?t,s∈(0,1),有G(t,s)>0當(dāng)且僅當(dāng)λ∈[0,k+1);

        引理5設(shè)n<α

        證明首先考慮0≤t≤s≤1的情況.令

        由0≤t≤s≤1,n<α

        然后考慮0≤s≤t≤1的情況.令

        由0≤s≤t≤1,n<α

        斷言h(t,s)>tk,?0

        對(duì)一切0v,?0tk,?0

        引理5得證.

        (ⅰ)‖(Tu)(t)‖≥‖u(t)‖,u(t)∈P∩?Ω1,且‖(Tu)(t)‖≤‖u(t)‖,u(t)∈P∩?Ω2;

        (ⅱ)‖(Tu)(t)‖≤‖u(t)‖,u(t)∈P∩?Ω1,且‖(Tu)(t)‖≥‖u(t)‖,u(t)∈P∩?Ω2.

        3 主要結(jié)果及其證明

        并記

        定理1算子T:P→P是全連續(xù)的.

        因此T(P)?P.

        然后由函數(shù)G(t,s)和f(t,u(t))的連續(xù)性可知算子T:P→P是連續(xù)的.

        故集合T(Ω)在X中有界.對(duì)于?u(t)∈Ω,有

        定理1證畢.

        定理2假定如下條件之一成立:

        則問(wèn)題(1)在P中至少有1個(gè)解.

        定理2證畢.

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