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        一類非線性Burgers方程組差分格式的計算穩(wěn)定性*

        2018-12-15 01:50:44馬永柳曹艷華
        吉首大學學報(自然科學版) 2018年5期
        關鍵詞:啟發(fā)性初值微分

        馬永柳,曹艷華

        (華北電力大學數(shù)理學院,北京 102206)

        在利用數(shù)值方法求解非線性偏微分方程時會產(chǎn)生計算不穩(wěn)定性.計算不穩(wěn)定性不同于線性不穩(wěn)定性,它是一種突變型的指數(shù)增長,且不會隨著時間步長和空間步長的改變而改變,因此在求解非線性偏微分方程時首先要分析其計算穩(wěn)定性.非線性偏微分方程初值問題的解,一般情況下只在時間T的局部范圍內(nèi)存在,即使初值充分光滑,其解的整體存在性也無法確定.相應的解在有限時間內(nèi)會失去正則性并產(chǎn)生奇解,稱為解的破裂[1-2].1968年,C W Hirt[3]提出了分析非線性偏微分方程差分格式計算穩(wěn)定性的方法,即啟發(fā)性分析方法.楊曉忠等[4]將啟發(fā)性分析方法用于判定KdV方程和Burgers方程的差分格式的計算穩(wěn)定性,并討論了三時間層和二時間層差分格式的計算穩(wěn)定性問題,得到了計算穩(wěn)定性的判斷依據(jù).Burgers方程是模擬沖擊波傳播和反射的非線性數(shù)學物理方程,被廣泛應用在流體力學、非線性聲學和氣體動力學等領域[5-9].對于非線性耦合Burgers方程組

        (1)

        曲娜等[10]僅分析了其差分格式的穩(wěn)定性而沒有考慮計算穩(wěn)定性.筆者將利用啟發(fā)性分析方法來推導該非線性耦合Burgers方程組差分格式具有計算穩(wěn)定性的必要條件.

        1 差分格式的表示

        向前差分格式為

        (2)

        選適當內(nèi)節(jié)點(xj,tk+1),則該節(jié)點處的微分方程組為

        向后差分格式為

        (3)

        2 差分格式計算穩(wěn)定性的啟發(fā)性分析

        將差分格式進行Taylor展開和自循環(huán)消元,轉(zhuǎn)化為等價的變形方程組,即修正微分方程組(Modified PDE).判斷該差分格式具有計算穩(wěn)定性的依據(jù)是其修正微分方程組等號右端的二階導數(shù)項為正耗散項,此方法稱為MPDE識別法.筆者將MPDE識別法運用于非線性耦合Burgers方程組(1),以向前差分格式(2)為例進行分析.由Taylor展開,可得

        進一步得到如下展開:

        (4)

        將Taylor展開結果(4)代入向前差分格式(2),可得

        略去上下標后可得

        (5)

        由方程組(5)可得

        對(6)式關于t求微分,可得

        (8)

        對(6)式關于x求微分,可得

        (9)

        對(7)式關于x求微分,可得

        (10)

        對(9)式關于x求微分,可得

        (11)

        將(7),(10),(11)式代入(8)式,可得

        (12)

        同理

        (13)

        將(12),(13)式代入方程組(5)可得向前差分格式(2)的修正微分方程組

        同理,向后差分格式(3)的修正微分方程組為

        由啟發(fā)性分析方法可知,只有當差分格式的修正微分方程等號右端的二階耗散項系數(shù)為正時,差分格式才具有計算穩(wěn)定性;因此有如下結論:

        定理1非線性耦合Burgers方程組(1)的向前差分格式(2)具有計算穩(wěn)定性的必要條件為

        定理2非線性耦合Burgers方程組(1)的向后差分格式(3)具有計算穩(wěn)定性的必要條件為

        3 數(shù)值實驗

        由定理1和定理2可知,非線性耦合Burgers方程組(1)的差分格式的計算穩(wěn)定性僅與u(x,t)和v(x,t)的初值及α,β,Δt有關.現(xiàn)取4個初值進一步驗證非線性耦合Burgers方程組(1)的普遍性差分格式的計算穩(wěn)定性與初值、差分格式結構之間的關系.4個初值分別為:

        取α=-1,β=2,-5≤x≤5,0≤t≤1,則非線性耦合Burgers方程組(1)化為

        取Δx=0.1,Δt=0.001,左邊界值為0,右邊界值用Lagrange一次插值方法外插.差分格式的計算穩(wěn)定性結果列于表1.

        表1 差分格式的計算穩(wěn)定性結果

        由表1可知,當α,β,Δt固定時,差分格式的計算穩(wěn)定性僅與u(x,t)和v(x,t)的初值有關,而不同的初值在x處取不同值時,就得到不同的計算穩(wěn)定性結果.

        4 結語

        利用啟發(fā)性差分格式對一類非線性耦合Burgers方程組的差分格式進行計算穩(wěn)定性分析,當差分格式的修正微分方程組等號右端的二階耗散系數(shù)大于0時,差分格式是穩(wěn)定的.非線性發(fā)展方程差分格式是否具有計算穩(wěn)定性,與方程解的性質(zhì)緊密相關,而本研究中的非線性耦合Burgers方程組差分格式的計算穩(wěn)定性,依賴于其耗散系數(shù)α,β,Δt及初值u(x,0),v(x,0)的選取.

        雖然本研究得到的判斷依據(jù)只是判斷一類非線性耦合Burgers方程組差分格式計算穩(wěn)定性的必要條件,即差分格式具有計算穩(wěn)定性必須滿足該判斷依據(jù),而滿足該判斷依據(jù)的差分格式未必具有計算穩(wěn)定性;但是,由于在計算中利用該判斷依據(jù)可以刪除不具有計算穩(wěn)定性的差分格式,避免盲目計算,因此計算穩(wěn)定性的必要條件是非常有效且實用的.

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