☉浙江省平湖中學(xué) 高玉良

☉浙江省嘉興市第一中學(xué) 沈新權(quán)

2018年高考已經(jīng)落下帷幕，各省市的高考試卷中都有不少體現(xiàn)新課改理念的試題，這些試題的求解都有角度寬、視點(diǎn)多、層次好的特點(diǎn)，能夠很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解能力和數(shù)學(xué)的理性思維能力，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.如果我們對(duì)這些“雅俗共賞”的試題認(rèn)真研究，仔細(xì)品味，那么這些試題不僅僅是我們“津津樂(lè)道”的好題，更是我們?nèi)粘＝虒W(xué)中“深入淺出”的教學(xué)素材.

下面以2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷的第17題為例，來(lái)談?wù)勎覀兊慕忸}感受和該試題對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一些啟示.

一、試題呈現(xiàn)，立意分析

A，B滿足A■→P=2P■→B，則當(dāng)m=______時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.

本題是試卷填空題的最后一題，屬于壓軸題.本題題干簡(jiǎn)潔，但問(wèn)題的內(nèi)涵豐富，設(shè)問(wèn)方式不落俗套.問(wèn)題中“明”的參數(shù)是m，但“暗”的參數(shù)則是隱藏在題目背后的直線AB的斜率.要計(jì)算點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值，我們可以m為變量，也可以直線AB的斜率為變量，甚至還可以求出點(diǎn)B的軌跡方程.

二、策略探尋，一題多解

方法1：以m為變量，通過(guò)向量的坐標(biāo)關(guān)系，將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解.

圖1

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1），則（-x1，1-y1），P■→B=（x2，y2-1）.

方法2：以直線AB的斜率k為變量，通過(guò)向量的坐標(biāo)關(guān)系，將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則（-x1，1-y1），■=（x2，y2-

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，x2=0，此時(shí)m=9.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB為y=kx+1，代入方程+y2=m（m＞1），可得（1+4k2）x2+8kx+4-4m=0.由m＞1知，點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，故一定有兩個(gè)交點(diǎn)，由韋達(dá)定理得當(dāng)且僅當(dāng)|k|=時(shí)取等號(hào)，此，解得m=5.

點(diǎn)評(píng)：此法學(xué)生入手容易，將直線與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的解的問(wèn)題，通過(guò)韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)運(yùn)算將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)用直線AB的斜率k進(jìn)行表征，轉(zhuǎn)化為型函數(shù)的最值問(wèn)題求解，可用基本不等式簡(jiǎn)化運(yùn)算，事實(shí)上，由對(duì)稱性不妨設(shè)x1＜0，x2＞0，由可知k＞0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，可得m=5.

方法3：運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程，把點(diǎn)B的坐標(biāo)設(shè)成點(diǎn)參的形式，然后借助三角關(guān)系進(jìn)行消參.

當(dāng)m=5時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.

點(diǎn)評(píng)：此法通過(guò)橢圓的參數(shù)方程將橢圓上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x，y統(tǒng)一成θ的形式，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，運(yùn)用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1簡(jiǎn)化計(jì)算，最終轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的最值問(wèn)題求解，簡(jiǎn)單明了.

當(dāng)m=5時(shí)，|x2|max=2.

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生對(duì)圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題用點(diǎn)差法非常 熟 悉 ， 本 題 通 過(guò)知與普通的點(diǎn)差法相比需要配系數(shù)，有一定技巧性，此種解法勝在計(jì)算量小，也是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的最值問(wèn)題求解，直截了當(dāng)，不繞圈子.

所以|xB|max=2，此時(shí)，可得m=5.

點(diǎn)評(píng)：直線的參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)選修內(nèi)容，在高考中并未涉及，此法通過(guò)直線參數(shù)方程將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求型三角函數(shù)的最值問(wèn)題求解，可聯(lián)想到斜率的幾何意義，也可求導(dǎo)求解，計(jì)算量較大，不適合解填空題.

策略3：解析幾何終究還是幾何，如果能從幾何的視角分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，則能收到事半功倍的效果，也利于分析題目的本質(zhì)含義.

方法6：如果我們把橢圓化為圓，那么隱藏在問(wèn)題中的幾何性質(zhì)就“昭然若揭”，而把橢圓化為圓，只要利用合適的換元即可.

圖2

通過(guò)仿射變換T將橢圓變成圓，利用直線與圓的位置關(guān)系及垂徑定理等平面幾何知識(shí)，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，四兩撥千斤，大大減少計(jì)算量.

策略4：既然點(diǎn)B是運(yùn)動(dòng)的，我們能不能求出其軌跡方程呢？由A■→P=2P■→B我們可以把點(diǎn)A的坐標(biāo)用點(diǎn)B的坐標(biāo)來(lái)表示，而且已知條件中的橢圓系是離心率不變的橢圓系，因此，利用橢圓的垂徑定理可以求得點(diǎn)B的軌跡方程，然后求出其橫坐標(biāo)的最大值.

圖3

方法7：如圖3，設(shè)B（x0，y0），由=2得A（-2x0，3-2y0），從而AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由橢圓垂徑定理得，化簡(jiǎn)得，即|x0|max=2，此時(shí)y0=2，代入=m（m＞1）得到m=5.

三、解后反思，感悟教學(xué)

（1）這是一道不可多得的高考試題.雖然它考查的內(nèi)容依然是圓錐曲線中的熱點(diǎn)問(wèn)題——范圍問(wèn)題，但其形式簡(jiǎn)潔，解題入口較寬，思維方法多樣，各種方法之間又有密切的聯(lián)系，既突出考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，又不露痕跡地考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這恰恰體現(xiàn)了解決高考數(shù)學(xué)試題所需要的思維特點(diǎn)：“想得少一點(diǎn)，算得多一點(diǎn)；想得多一點(diǎn)，算得少一點(diǎn)”，以此區(qū)分學(xué)生的思維層次.因此，這又是一道有“思想”的數(shù)學(xué)試題.

（2）數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有任何問(wèn)題是可以解決的十全十美的，總剩下些工作要做.經(jīng)過(guò)充分的探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平.”所以，要提高高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)效率，教師要首先重視解題研究，正如數(shù)學(xué)家弗里德曼在《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》一書(shū)中所呼吁的那樣：“應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)這樣一種對(duì)待習(xí)題的態(tài)度，即把習(xí)題看做是精密研究的對(duì)象，而把解答習(xí)題看做是設(shè)計(jì)和發(fā)明的目標(biāo).”通過(guò)教師的演示，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是解題，而解題也不單單是為了找到答案，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)的能力.

（3）陜西師范大學(xué)的羅增儒老師指出：“我們的解題實(shí)踐表明：分析典型例題的解題過(guò)程是學(xué)會(huì)解題的有效途徑，至少在沒(méi)有找到更好的途徑之前，這是一個(gè)無(wú)以替代的好主意.”什么樣的問(wèn)題是典型的問(wèn)題？除了高中數(shù)學(xué)中一些經(jīng)典的問(wèn)題，每年高考試卷中所涌現(xiàn)出來(lái)的高考試題無(wú)疑是值得我們研究的對(duì)象.高考數(shù)學(xué)試題里面蘊(yùn)含著巨大的思想財(cái)富，教師在教研過(guò)程中要善于挖掘高考數(shù)學(xué)試題所特有的教學(xué)功能，不僅要重視對(duì)典型高考試題的一題多解的研究，更要引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題探究的過(guò)程中透過(guò)紛繁復(fù)雜的外表看清問(wèn)題的本質(zhì)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)背景及數(shù)學(xué)本源的挖掘，在知識(shí)的縱橫聯(lián)系中讓學(xué)生真切地感受到知識(shí)的來(lái)龍去脈，感悟到解題方法的自然和諧，借此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度、厚度和廣度，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).H