☉山東省肥城市第一高級中學 田祖榮

在數(shù)學解題中，我們要有意識地應用一些常規(guī)且熟知的方法去分析問題、解決問題，形成能力，進而提升數(shù)學素質(zhì)，使自己具有良好的數(shù)學頭腦和獨特的解題眼光.特別對于平面向量問題，需要抓住基本的解題方法加以突破，達到巧妙求解平面向量的目的.

一、基底法

在解決一些平面向量的線性運算問題中，經(jīng)常根據(jù)平面向量的基本定理，通過轉(zhuǎn)化，把對應的向量轉(zhuǎn)化為只含有基底的兩個向量（不共線）的運算，進而利用向量的有關(guān)運算法則來處理.通過此種基底法來解決相關(guān)的平面向量問題，往往可使平面向量問題簡單化、統(tǒng)一化，方便進一步分析與求解.

例1 （2018年全國卷Ⅰ）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則=（ ）.

圖1

點評：通過合適基底的選取，使得相關(guān)平面向量的線性轉(zhuǎn)化有目標，最終的運算得以合理轉(zhuǎn)化與應用.基底法處理，巧妙化解決.

二、坐標法

在解答高考平面向量試題時，結(jié)合已有的平面直角坐標系或利用題目條件建立相應的平面直角坐標系，通過對應點、向量的坐標，結(jié)合向量的坐標運算、數(shù)量積公式等來處理相應的平面向量問題.利用坐標法解決平面向量問題時，具有很強的目的性與操作性，解答過程流暢，解題方法巧妙.

例2（2018年上海卷）在平面直角坐標系中，已知點A（-1，0），B（2，0），E，F(xiàn)是y軸上的兩個動點，且=2，則的最小值為______.

分析：直接利用已知平面直角坐標系，設(shè)出E，F(xiàn)的坐標，結(jié)合條件確定對應參數(shù)之間的關(guān)系式，通過坐標運算得到的關(guān)系式，通過配方來確定最值即可.

點評：通過坐標法的處理，結(jié)合點的坐標、向量的坐標的轉(zhuǎn)化，把對應的平面向量的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定相應的最值.利用坐標法解決平面向量問題，特別是數(shù)量積問題，也是高考等相關(guān)考試中比較常見的一類技巧方法.

三、平方法

在平面向量的性質(zhì)中，向量模長的性質(zhì)|a|2=a2往往是解決問題的一個突破口，可以巧妙轉(zhuǎn)化數(shù)量積運算與模長問題.利用平方法，可以有效實現(xiàn)數(shù)量積運算與模長問題兩者之間的轉(zhuǎn)化，解答巧妙.

例3 （2018年北京卷）設(shè)a，b均為單位向量，則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的（ ）.

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

分析：結(jié)合題目條件，通過關(guān)系式|a-3b|=|3a+b|的平方展開，結(jié)合a·b=0與a⊥b的關(guān)系來分析與判斷充分必要條件問題.

解：由于a，b均為單位向量，可得a2=b2=1.

當|a-3b|=|3a+b|時，兩邊平方整理可得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2，則有a·b=0，可得a⊥b；

反之，當a⊥b時，則有a·b=0，可得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2，即（a-3b）2=（3a+b）2，亦即|a-3b|=|3a+b|成立.

所以“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要條件.故選C.

點評：在解決一些平面向量的模問題時，往往巧妙利用平方法，有效轉(zhuǎn)化數(shù)量積運算與模長問題，再結(jié)合平面向量與相關(guān)知識（涉及函數(shù)或不等式等）來處理與分析問題.這也是解決平面向量問題中比較常見的一類思維方式.

四、極化恒等式法

例4 （2018年天津卷）如圖2，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若點E為邊CD上的動點，則的最小值為（ ）.

圖2

解：如圖3，取AB的中點F，連接EF.根據(jù)極化恒等式可得=

圖3

因為AD⊥CD，從而可得EF∥AD.

又∠BAD=120°，可得∠AFE=60°.

如圖3，過點A作AG⊥EF，垂足為點G，

而此時四邊形AGED為矩形，可得EG=AD=1，則有EF=EG+FG=.

點評：由于極化恒等式具有化動（動點）為定（定點），化動（動態(tài)）為靜（靜態(tài)），化曲（曲線）為直（直線），化普通為特殊之功效，應用十分靈活.特別地，在近幾年全國各地高考試題中，與極化恒等式有關(guān)的素材迅速成為創(chuàng)新問題的熱點與亮點，隨之出現(xiàn)與之相關(guān)的平面向量的相關(guān)應用問題.

五、不等式法

含有絕對值的不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，既適用于代數(shù)形式，也適用于向量形式.在處理一些涉及平面向量的模的最值問題時，有時可以利用絕對值不等式的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化與應用，顯得更為簡單快捷.

例5 （2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2-4e·b+3=0，則|a-b|的最小值是（ ）.

分析：巧妙通過轉(zhuǎn)化|a-b|=|a-2e-（b-2e）|，再結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)，可以非常有效快捷地轉(zhuǎn)化，進而得以確定|a-b|的最小值.

解：由b2-4e·b+3=0，可得（b-2e）2=1，即|b-2e|=1，

所以|a-b|=|a-2e-（b-2e）|≥|a-2e|-|b-2e（|絕對值不等式）≥|2e|sin-1=-1（當且僅當向量a-2e與a垂直時，|a-2e|最小，此時|a|=1）.故選A.

點評：利用含有絕對值的不等式定理來處理有關(guān)平面向量的模的最值問題，關(guān)鍵是對條件加以合理、適當轉(zhuǎn)化，再通過適當?shù)姆趴s變化來處理相應的最值問題.方法簡單易懂，過程簡便.

其實，數(shù)學方法是從數(shù)學基本知識或內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學知識的精髓，是將數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁之一，有著廣泛的應用.特別地，由于平面向量的特殊形式，其對應問題中蘊含著豐富的數(shù)學方法，根據(jù)相應的題設(shè)特點，以及平面向量的相關(guān)知識，靈活地運用相應的數(shù)學方法與技巧，往往能使問題的解決更為簡捷、準確，提高效益.W