☉山東省肥城市第六高級中學(xué) 桑圣一

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，構(gòu)造跟原問題有關(guān)的數(shù)學(xué)模型并通過模型的研究而獲得解題的方法即為數(shù)學(xué)構(gòu)造法，借助某一類我們熟知的問題性質(zhì)進(jìn)行未知問題性質(zhì)的探究是數(shù)學(xué)構(gòu)造法的基本原理.

一、幾種常見的構(gòu)造法

1.構(gòu)造圖形法

數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)往往可以通過數(shù)量關(guān)系中所隱藏的形的信息得以形象而直觀地反映，數(shù)與形往往會在圖形構(gòu)造的過程中得以關(guān)聯(lián)到一起并因此將問題表達(dá)得更加明朗而清晰.

解法1（一般方法）：根據(jù)題意，有

解法2（構(gòu)造法）：根據(jù)題意可知，△ABC的底邊是定值，高是變化的，由三角形的面積公式可以推斷要求△ABC面積的最大值，只要對點(diǎn)A進(jìn)行研究即可.如圖1，構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，令B（-1，0），C（1，0），設(shè)A（x，y），則=（-1-x，-y），=（1-x，-y），

即x2+y2=2，

由余弦定理，得4=b2+c2-2，即b2+c2=6，

所以6=b2+c2≥2bc，即bc≤3，

圖1

△ABC

根據(jù)圓的特點(diǎn)，hmax=r=，所以S△ABC≤.

2.構(gòu)造函數(shù)法

構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的性質(zhì)解題的方法即為函數(shù)構(gòu)造法.

例2 對于任意x∈R，不等式2x2-a+3＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：直接研究不等式左邊的條件往往會令學(xué)生感覺困難，因此，對不等式進(jìn)行等價(jià)處理才是解題首先應(yīng)該處理的環(huán)節(jié).

令（fu）=2u2-au+1（u≥1），

所以a＜3.

因?yàn)閒（t）在［1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，

所以f（t）≥f（1）=3，即f（t）min=3，所以a＜3.

過程不同的兩個方法實(shí)質(zhì)上都是構(gòu)造函數(shù)并在研究函數(shù)性質(zhì)的過程中令問題順利得解的.

3.構(gòu)造向量法

包含坐標(biāo)運(yùn)算與圖形運(yùn)算的向量知識在高中數(shù)學(xué)的解題過程中是一個相當(dāng)重要的工具.因此，很多高中數(shù)學(xué)問題都會因?yàn)橄蛄恐R而得到更加快捷的解答.

令，m，n兩向量不共線，則有|y|=||m|-|n||≤|m-n|=，即|y|≤，所以y∈［-，］.

4.構(gòu)造方程法

如果能在解題過程中找出已知和未知之間的等式關(guān)系，并且觀察出其具備方程的某些特性，具體解題時就可以考慮構(gòu)造方程來解決這一數(shù)學(xué)問題.

例4 已知a，b，c滿足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，得

a（9-a-b）+（9-a-b）b+ab=24，整理得a2+（b-9）a+b2-9b+24=0.

將上述方程視為關(guān)于a的二次方程，此問題即變成了二次方程有實(shí)數(shù)解，則有（b-9）2-4（b2-9b+24）≥0，解之，得b∈［1，5］.

5.構(gòu)造等價(jià)命題法

一些直接論證相對困難的數(shù)學(xué)命題往往可以在構(gòu)造命題的否命題中來解決.

例5 已知命題“?x∈［1，2］，使x2+2x+a≥0”為假命題，則a的取值范圍如何？

解：根據(jù)題意可知，該命題的否定形式“?x∈［1，2］，使x2+2x+a＜0”是真命題.這與x2+2x+a＜0對x∈［1，2］恒成立是等價(jià)的，也就是與a＜-（x2+2x）對x∈［1，2］恒成立是等價(jià)的.

設(shè)f（x）=-（x2+2x）=-（x+1）2+1，

所以f（x）min=f（1）=-3.所以a＜3.

二、教學(xué)感悟

1.培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力

構(gòu)造法的順利構(gòu)建、實(shí)施與學(xué)生的創(chuàng)造性思維是緊密相關(guān)的，學(xué)生必須具備較強(qiáng)的“讀題”能力才會對題目本身形成更加獨(dú)到的領(lǐng)悟與想法.因此，教師在構(gòu)造法解題教學(xué)的過程中首先要重視學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng)，有意識地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確的數(shù)學(xué)閱讀并使其在數(shù)學(xué)閱讀中提升理解能力，把一部分“機(jī)械讀題”的習(xí)慣進(jìn)行修正并使學(xué)生盡快實(shí)現(xiàn)“意義讀題”，只有這樣，學(xué)生才能在題目意義的理解中挖掘出解題所需要的隱蔽條件并獲得解題的第一步突破.

2.培養(yǎng)學(xué)生綜合知識的能力

構(gòu)造法解題不僅對學(xué)生的閱讀能力提出了較高的要求，對學(xué)生綜合知識的能力一樣如此，學(xué)生只有在理解題目意圖并順利建構(gòu)知識點(diǎn)之間關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上才能順利解題.因此，教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中一定要重視知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)并將其縱向、橫向之間的聯(lián)系進(jìn)行梳理與體現(xiàn)，使學(xué)生能夠明了知識點(diǎn)間的外在與內(nèi)在聯(lián)系并獲得解題的第二步突破.例如，貫穿高中整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的函數(shù)知識是很多知識點(diǎn)都能與之關(guān)聯(lián)的，教師在具體教學(xué)中就應(yīng)將其經(jīng)常與其他知識點(diǎn)進(jìn)行關(guān)聯(lián)性的訓(xùn)練，學(xué)生在這種有意義的訓(xùn)練下往往能夠更好地對知識點(diǎn)進(jìn)行重組與概括，知識點(diǎn)的延伸功能也會因此得以更好地彰顯，這對于構(gòu)造法解題來說是極有意義且關(guān)鍵的.

3.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

構(gòu)造法解題還需要學(xué)生能夠?qū)栴}展開多角度的思考，學(xué)生的發(fā)散性思維在構(gòu)造法解題過程中的重要性也就非常明顯了，因此，教師應(yīng)從多方面入手對學(xué)生的發(fā)散思維進(jìn)行訓(xùn)練.比如，教師應(yīng)該對數(shù)學(xué)命題的發(fā)散性多加關(guān)注，可以對命題的條件、結(jié)論進(jìn)行改變并引導(dǎo)學(xué)生在不斷的變化中展開積極的思考、歸納與概括，使學(xué)生從不同角度對數(shù)學(xué)本質(zhì)形成更加深刻而綜合的認(rèn)識.我們數(shù)學(xué)教師都極為重視的變式訓(xùn)練實(shí)質(zhì)上就是對學(xué)生解題方法發(fā)散的訓(xùn)練，多角度的研究與解決是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的重要途徑，也是構(gòu)造法解題訓(xùn)練必不可少的重要手段.

總之，構(gòu)造法解題對于學(xué)生分析問題、解決問題、構(gòu)造新問題的能力均提出了較高的要求，從其本質(zhì)講，這是一種探究與創(chuàng)新思維的體現(xiàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與熱情都會因?yàn)闃?gòu)造法解題的掌握而獲得更好的發(fā)展.W