☉江蘇省灌云縣第一中學(xué) 吳中雙

數(shù)學(xué)教師在課堂這一主陣地中應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生將注意力全部集中在課堂活動(dòng)中，使學(xué)生以最大的熱情與主動(dòng)性展開(kāi)知識(shí)的探索并因此獲得最大限度的思維活動(dòng).高三數(shù)學(xué)教師更是應(yīng)該不斷思考怎樣才能觸及學(xué)生的情緒與意志領(lǐng)域這一重要問(wèn)題，著眼于數(shù)學(xué)本質(zhì)的凸顯并因此打造出高效優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)課堂.筆者以為這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)可以從以下兩個(gè)方面著手.

一、一題多解

例1 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，AB的中點(diǎn)是E，以點(diǎn)A為圓心、AE為半徑作弧與AD相交于點(diǎn)F.若點(diǎn)P是劣弧EF上的動(dòng)點(diǎn)，則P■→C·P■→D的最小值是______.

此題難度中等偏上，考查的知識(shí)核心是平面向量的數(shù)量積.解決此類題目一般有兩種思路.思路一，建立平面直角坐標(biāo)系并將平面幾何問(wèn)題代數(shù)化，比如以下即將介紹的解法1、2、3遵循的就是這一思路；思路二，選取基本已知向量來(lái)表示題中所要求的向量，學(xué)生往往會(huì)在怎樣選取已知向量上感覺(jué)困難，教師應(yīng)在長(zhǎng)度或角度這兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行已知向量的選取，解法4遵循的正是這一思路.

解法1：如圖1，建立平面直角坐標(biāo)系，則C（2，2），D（0，2），圓弧EF的方程為x2+y2=1（0≤x≤1）.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則

圖1

因?yàn)椋▁-1）2+（y-2）2表示圓弧EF上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（1，2）的距離的平方，因此（x-1）2+（y-2）2的最小值等于（的最小值為5-2.

解法2：如圖1，建立平面直角坐標(biāo)系，則C（2，2），D（0，2），圓弧EF的方程為x2+y2=1（0≤x≤1）.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓弧EF上，因此x2+y2=1.

解法3：如圖1，建立平面直角坐標(biāo)系，則C（2，2），D（0，2），圓弧EF的方程為x2+y2=1（0≤x≤1）.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cosθ，sinθ），則

圖2

二、多題一解

此題一般會(huì)作為填空題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大，學(xué)生的得分情況往往也不容樂(lè)觀.利用不等式解決二元最值問(wèn)題是此題最核心的內(nèi)容，常值代換、轉(zhuǎn)化與化歸是解決此類題目最為常用的方法.事實(shí)上，這是教材中一個(gè)習(xí)題的變式.

這是基本不等式這一章節(jié)內(nèi)容中比較典型的一個(gè)習(xí)題，此題的解法較多，常值代換是其中最為簡(jiǎn)單的一個(gè)解決方法，具體過(guò)程如下：

變式1將原型題中的常數(shù)1改成了3，因此，解題時(shí)構(gòu)造出系數(shù)即可解題，具體過(guò)程如下：

變式2（改變模式）：已知正數(shù)x，y滿足x+y=xy，則x+2y的最小值為_(kāi)_____.

變式2中的此類問(wèn)題一般可以借助基本不等式利用常值代換來(lái)解決，兩個(gè)和式且其中一個(gè)為分式的形式是此類題型的基本模式.因此，將已知條件的整式兩邊同除以xy即可變成我們所說(shuō)的基本模型，具體過(guò)程如下：

變式3對(duì)于學(xué)生來(lái)講有一定難度，難點(diǎn)主要表現(xiàn)在以下兩處：難點(diǎn)之一是減元化簡(jiǎn)到，這一步驟時(shí)會(huì)產(chǎn)生兩種想法：一種想法是運(yùn)用通分轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)，這種解法相對(duì)復(fù)雜；另一種想法是通過(guò)常數(shù)分離到難點(diǎn)之二是學(xué)生發(fā)現(xiàn)不了代數(shù)式+1中兩個(gè)分母之間的常數(shù)關(guān)系：（4b-1）+4（1-b）=3.具體解題如下：

所以m＞0，n＞0，且m+n=3，

變式4（改變等號(hào)）：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且x+y≤2，則的最小值是______.

變式4將已知條件中的等號(hào)改成了不等號(hào)并對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了新得構(gòu)造，這是在變式3的基礎(chǔ)上進(jìn)行的拓展與延伸，這對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)與能力比較薄弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種挑戰(zhàn).具體解題如下：

三、教學(xué)反思

將高三數(shù)學(xué)教學(xué)視為某種程度上的解題教學(xué)是一點(diǎn)不為過(guò)的，不過(guò)，教師如果在教學(xué)中僅僅局限于就題講題那就有失偏頗了，教師不能滿足于題目得解而止步不前，而應(yīng)該重視“一題多解”“多題一解”并引領(lǐng)學(xué)生擺脫茫茫題海，使學(xué)生在多角度、深層次的思考中開(kāi)拓思路并獲得思維的拓展與發(fā)散，學(xué)生在興趣倍增的思考與探索中往往會(huì)令自身的思維品質(zhì)更上一個(gè)臺(tái)階.因此，教師應(yīng)重視“一題多解”“多題一解”這一重要的教學(xué)方式并引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)多角度、多層次的思考，激活學(xué)生思維的發(fā)散性與創(chuàng)造性并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逐層深入的思索，使學(xué)生能夠在知識(shí)交匯處迅速突破并獲得正確的解題思路.

不僅如此，教師在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中還應(yīng)該始終不忘回歸課本，對(duì)近年來(lái)的高考試題、模擬試題進(jìn)行觀察與分析，我們不難發(fā)現(xiàn)很多試題都能從課本中找到原型.因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)不忘課本典型例題與習(xí)題的研究并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解、一題多變、多題一解，使學(xué)生能夠在典型問(wèn)題的探究中追根溯源并學(xué)會(huì)多角度、多層次的思考，使學(xué)生的思維不斷走向多維并因此不斷提升其思維的品質(zhì).W