☉江蘇省江陰市青陽(yáng)中學(xué) 吳國(guó)華

2018年高考已經(jīng)落下帷幕，縱觀江蘇卷，其試題遵循數(shù)學(xué)考試大綱要求，切實(shí)落實(shí)高考例題原則：考查基礎(chǔ)，同時(shí)注重考查能力.在以能力立意的命題指導(dǎo)思想下，真正突出了數(shù)學(xué)主干知識(shí)的考查，注重了數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的交匯，將數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)加以有機(jī)融合，全面考查了數(shù)學(xué)核心知識(shí)和基本技能，進(jìn)而著重考查了數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)能力、創(chuàng)新意識(shí)等.特別是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在此份試卷中得以充分體現(xiàn).

一、數(shù)學(xué)抽象

從數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，進(jìn)而從中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表達(dá)，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析與處理.

例1（2018年江蘇卷9）函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在區(qū)間（-2，2］上則f（f（15））的值為_(kāi)_____.

分析：通過(guò)題目條件中的抽象函數(shù)的基本性質(zhì)與關(guān)系式確定函數(shù)的周期性，并結(jié)合周期性的轉(zhuǎn)化以及分段函數(shù)的表達(dá)式來(lái)求解即可.

解：由f（x+4）=f（x），得函數(shù)f（x）是周期為T(mén)=4的周期函數(shù)，則

點(diǎn)評(píng)：從題目條件出發(fā)，利用抽象函數(shù)的解析式特征得到相應(yīng)函數(shù)的周期性規(guī)律，真正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素質(zhì)與品質(zhì).求解分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，往往要先確定所要求的函數(shù)值的自變量屬于哪一段區(qū)間，再代入該段的解析式加以求值.當(dāng)出現(xiàn)復(fù)合函數(shù)的解析式f（f（a））的形式時(shí)，應(yīng)由內(nèi)到外依次求值.

二、邏輯推理

邏輯推理主要涉及：從特殊到一般或從一般到特殊的推理，其邏輯推理形式分別有歸納、類(lèi)比、演繹等.

例2 （2018年江蘇卷13）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC=，又∠B的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為_(kāi)_____.

分析：根據(jù)三角形的面積的轉(zhuǎn)化確定a與c的關(guān)系式ac=a+c，則有=1，進(jìn)而利用基本不等式來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最小值問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)合理的邏輯推理與轉(zhuǎn)化，利用基本不等式解決解三角形中的最值問(wèn)題時(shí)，往往與三角形的邊、角的三角函數(shù)的正參數(shù)等有關(guān)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是進(jìn)行合理的化歸與轉(zhuǎn)化，把有關(guān)的邊、角的三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式問(wèn)題，再結(jié)合基本不等式來(lái)確定最值.

三、直觀想象

直觀想象包括：借助空間直觀來(lái)認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化及運(yùn)動(dòng)規(guī)律等；利用圖形直觀的描述來(lái)分析與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題等；通過(guò)建立數(shù)與形的聯(lián)系，進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，達(dá)到探索解決問(wèn)題的目的.

例3 （2018年江蘇卷10）如圖1，以棱長(zhǎng)為2的正方體的所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)_____.

圖1

分析：根據(jù)題目條件確定對(duì)應(yīng)的多面體是一個(gè)正八面體，并結(jié)合條件確定其棱長(zhǎng)，再利用兩個(gè)正四棱錐的和來(lái)求解相應(yīng)的體積即可.

解：根據(jù)題目條件可知，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體是一個(gè)正八面體，棱長(zhǎng)為，則對(duì)應(yīng)的體積為

點(diǎn)評(píng)：本題借助正方體模型，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的正八面體的體積求解為突破口，通過(guò)直觀想象確定圖形特征與相應(yīng)的信息，考查直觀想象的核心素養(yǎng)與空間想象能力.

四、數(shù)學(xué)運(yùn)算

在數(shù)學(xué)解題中，根據(jù)題目條件理解數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象，掌握相應(yīng)知識(shí)的運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，巧妙設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，進(jìn)而求得運(yùn)算結(jié)果，達(dá)到最終解決問(wèn)題的目的.

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α-β）的值.

分析：（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的余弦公式加以運(yùn)算求解；（2）利用二倍角的正切公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角差的正切公式加以運(yùn)算求解.

（2）因?yàn)棣?，β為銳角，則有α+β∈（0，π）.

點(diǎn)評(píng)：涉及此類(lèi)三角函數(shù)的運(yùn)算求值問(wèn)題，往往綜合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換等相應(yīng)的三角公式，并借助三角函數(shù)的求值等來(lái)進(jìn)行運(yùn)算與處理.在處理三角函數(shù)的運(yùn)算中，要注意角的范圍的限制對(duì)相應(yīng)的三角函數(shù)值的影響.

五、數(shù)據(jù)分析

在一些數(shù)學(xué)問(wèn)題中，往往通過(guò)收集并整理數(shù)據(jù)，進(jìn)而提取信息，通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行推理并獲得結(jié)論，達(dá)到利用數(shù)據(jù)來(lái)分析與解決問(wèn)題的目的.

例5 （2018年江蘇卷14）已知集合A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}. 將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn＞12an+1成立的n的最小值為_(kāi)_____.

分析：通過(guò)改編，把等差數(shù)列與等比數(shù)列混編成一個(gè)新的數(shù)列再進(jìn)行求和，結(jié)合數(shù)據(jù)的分析與處理，以及通過(guò)數(shù)列不等式來(lái)確定n的最值問(wèn)題.

解：將數(shù)列{an}列舉出來(lái)：1，21，3，22，5，7，23，9，11，13，15，24，17，19，…，31，25，33，35，…，63，26，…

因?yàn)镾38=1+21+3+22+5+…+63+26==1150，12a39=780，符合條件不等式Sn＞12an+1；

同時(shí)，S21=1+21+3+22+5+…+31+25=

=318，12a22=396，不符合條件不等式Sn＞12an+1.

由此列表分析：

項(xiàng)數(shù) n Sn an+1 12an+1 檢驗(yàn) Sn＞12an+1 22 33+318=351 35 420 否23 35+351=386 37 444 否24 37+386=423 39 468 否25 39+423=462 41 492 否26 41+462=503 43 516 否27 503+43=546 45 528 是

故滿足Sn＞12an+1的n的最小值為27.

點(diǎn)評(píng)：本題巧妙地把等差數(shù)列與等比數(shù)列加以融合，通過(guò)數(shù)列的項(xiàng)、數(shù)列求和中相關(guān)數(shù)據(jù)的分析與處理，利用列表分析這一直觀有效的手段來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，進(jìn)而解決問(wèn)題.

其實(shí)，在平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要真正切實(shí)融入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，重視學(xué)生的閱讀與理解能力，讓學(xué)生充分理解與思考，在思考中充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，主動(dòng)獲取知識(shí)，提高抽象推理能力，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程與發(fā)展，真正有利于學(xué)生的各方面發(fā)展.H