☉江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué) 丁 建

方法、途徑眾多的數(shù)學(xué)思想在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)技能與思維品質(zhì)上均能發(fā)揮重要的作用，著眼于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，巧設(shè)認(rèn)知階梯，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化方法的探究，能使學(xué)生在類比、數(shù)形、表征、辯證等過程中理解轉(zhuǎn)化的核心、精髓與價(jià)值，并在此基礎(chǔ)上掌握與運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略以提升數(shù)學(xué)能力.

一、類比轉(zhuǎn)化

魯班因齒形物割傷自己而類比聯(lián)想鋸子的發(fā)明，既包含了屬性相近的內(nèi)容，又囊括了本質(zhì)上的差異.教師應(yīng)從此類事例中掌握類比轉(zhuǎn)化的教學(xué)本質(zhì)并精心設(shè)計(jì)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)上進(jìn)行觀察、分析、比較并最終掌握類比對(duì)象本質(zhì)的方法，使學(xué)生最終在思維碰撞的觀察、聯(lián)想與類比中獲得新的突破.

案例1 幾何概型的計(jì)算公式.

問題：如圖1，線段AB長(zhǎng)3m，P1，P2，P3，P4，P5五點(diǎn)將其分成了六等份，則這五個(gè)點(diǎn)中取任意一點(diǎn)到線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的距離都不小于1m的概率是多少？

圖1

（1）本題中的基本事件與總數(shù)分別是什么？（取點(diǎn)，總數(shù)為5）

（2）假如將“取任意一點(diǎn)到線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的距離都不小于1m”記作事件A，那么滿足事件A的點(diǎn)共有幾個(gè)？（3個(gè)，分別為P2，P3，P4）

（4）這屬于哪種概率模型？有何特點(diǎn)？（古典概型，事件中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等及所有基本事件的數(shù)量有限是古典模型的兩個(gè)特點(diǎn)）

圖2

（5）將問題進(jìn)行變化：如圖2，線段AB長(zhǎng)3m，則在線段AB上任取一點(diǎn)到線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的距離都不小于1m的概率是多少？

①此處的基本事件與總數(shù)又分別如何呢？（取點(diǎn)；線段AB上所有的點(diǎn)）

②各基本事件發(fā)生的可能性相等嗎？（相等）

③這屬于古典概型嗎？和古典概型相比可有異同呢？（不屬于；各基本事件發(fā)生的可能性相等是兩者的共同點(diǎn)；不同點(diǎn)是所有基本事件的數(shù)量無限）

④假如將“任取一點(diǎn)到AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離都不小于1m”記作事件B，那么滿足事件B的點(diǎn)有多少呢？（無數(shù)）

⑤在知道基本事件與滿足事件B的總數(shù)的情況下仍然可以采取古典概型公式進(jìn)行計(jì)算嗎？結(jié)果應(yīng)該是多少呢？

⑥“基本事件的總數(shù)”和“事件B的個(gè)數(shù)”分別與線段AB上哪部分的點(diǎn)對(duì)應(yīng)呢？（如圖3，將線段AB分成三等份并將中間兩點(diǎn)記作C、D，則基本事件的總數(shù)為線段AB上的點(diǎn)；滿足事件B的總數(shù)為線段CD上的點(diǎn)）

圖3

⑦由“無數(shù)”轉(zhuǎn)化成“有限”又該怎樣變化呢？（假設(shè)一份“無數(shù)個(gè)點(diǎn)”組成每一等份的線段，則基本事件的總數(shù)為3份“無數(shù)個(gè)點(diǎn)”；滿足事件B的總數(shù)為1份“無數(shù)個(gè)點(diǎn)”，則

⑧對(duì)于此處的1份“無數(shù)個(gè)點(diǎn)”和3份“無數(shù)個(gè)點(diǎn)”又該怎樣進(jìn)行抽象概括呢？（1份“無數(shù)個(gè)點(diǎn)”構(gòu)成1份“線段的長(zhǎng)度”；3份“無數(shù)個(gè)點(diǎn)”構(gòu)成3份“線段的長(zhǎng)度”）

⑨此處的“線段”是什么量呢？（幾何量）

（6）概括（定義、計(jì)算公式等略）.

引導(dǎo)學(xué)生在觀察、聯(lián)想、類比中體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的核心環(huán)節(jié)、轉(zhuǎn)化的方法，以及在何處轉(zhuǎn)化是本案例中的關(guān)鍵.

二、數(shù)形轉(zhuǎn)化

突破思維定式并結(jié)合形象思維與邏輯思維能使學(xué)習(xí)者在研究對(duì)象的觀察與挖掘中進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想與轉(zhuǎn)化，因此，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化并因此鍛煉學(xué)生觀察的敏銳性與思維的靈活性.

案例2已知a＞0且a≠1，（fx）=x2-ax，當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)均有（fx）＜，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

引導(dǎo)學(xué)生探究以下問題：

（1）將（fx）=x2-ax代入條件“（fx）＜”可以得到什么？（不 等 式x2-ax＜）

（2）直接解該不等式可行嗎？（有難度）

（3）直接解不等式屬于“數(shù)”的范疇，那么，從“形”的角度可否解決呢？（很難找到和它對(duì)應(yīng)的圖形）

（4）能不能將這一“組合式”拆分成我們熟悉的模型呢？

（5）能否從函數(shù)的角度對(duì)“f1（x）＜f2（x）”進(jìn)行表征？

生：根據(jù)函數(shù)圖像和不等式的關(guān)系可得：在區(qū)間I上，f（x）＜g（x）?函數(shù)f（x）的圖像在函數(shù)g（x）的下方，則問題轉(zhuǎn)化成：a為何值時(shí)，在區(qū)間（-1，1）上的圖像均在f2（x）=ax的圖像下方？具體如圖4.

圖4

引導(dǎo)學(xué)生在逐個(gè)問題的思考中領(lǐng)略數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法與精髓，不僅激發(fā)了學(xué)生的積極態(tài)度，也使學(xué)生在轉(zhuǎn)化的依據(jù)、條件、緣由上進(jìn)行了更多的思考.

三、表征轉(zhuǎn)化

對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行不同的數(shù)學(xué)表征直至尋得有用的信息往往能夠幫助學(xué)生有效解題，學(xué)會(huì)運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決同一問題往往也會(huì)在不同的表征中實(shí)現(xiàn)，因此，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生在重構(gòu)問題的表征中獲得等價(jià)的問題以提升學(xué)生思維的靈活性.

案例3 不等式ax2+bx-10＜0的解集是{x|-2＜x＜5}，求a、b的值.

分析：學(xué)生往往比較習(xí)慣于正向思維，因此對(duì)于這種需要討論參數(shù)a、b的二次不等式ax2+bx-10＜0的求解往往會(huì)感覺煩瑣，但學(xué)生如果能夠聯(lián)想方程、函數(shù)、不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系并從方程的角度對(duì)這一問題進(jìn)行新的表征，該問題很快也就轉(zhuǎn)化成了“方程ax2+bx-10=0的解分別為-2，5”，結(jié)合方程的定義或根與系數(shù)的關(guān)系求得a、b的值也就不難了.

解：由不等式解集的幾何含義可知，不等式ax2+bx-10＜0的解集為{x|-2＜x＜5}與方程ax2+bx-10=0的解為-2，5是等價(jià)的.由方程根的定義或根與系數(shù)的關(guān)系可得解得a=1，b=-3.

引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“方程的根”對(duì)“不等式的解集”進(jìn)行表征是此題化難為簡(jiǎn)的關(guān)鍵，學(xué)生感悟到視覺變化的同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了解題的優(yōu)化.

四、辯證轉(zhuǎn)化

教師在學(xué)生順向思維受阻之時(shí)應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維方式并勇于打破常規(guī)，引導(dǎo)學(xué)生在問題的對(duì)立面進(jìn)行思考并獲得解題的簡(jiǎn)化.

案例4 已知三條拋物線y1=x2+2ax+a2-a+3，y2=2x2-（4a-2）x+2a2-a，y3=x2-（2a+1）x+a2+2中至少有一條和x軸相交，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：與x軸相交的拋物線不止一條這一條件包含了7種不同的情況，如果從問題的正面著手考慮，這7種不同情況的分類討論就是相當(dāng)繁雜的，但是如果從反面考慮三條拋物線不與x軸相交，問題則會(huì)變得簡(jiǎn)單許多.

解：設(shè)三條拋物線與x軸不相交，則相應(yīng)判別式均小

引導(dǎo)學(xué)生在問題的對(duì)立面進(jìn)行分析與思考能使學(xué)生感受到辯證思維答題的巧妙，解題過程變得別開生面的同時(shí)也將解題變得更加簡(jiǎn)單.

數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想是一種特別有價(jià)值的意識(shí)與創(chuàng)新，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)啟發(fā)性的情境并使學(xué)生在積極的探索中展開觀察、分析、聯(lián)想與思考，使學(xué)生在很多繁難問題的探究中學(xué)會(huì)類比、數(shù)形結(jié)合、多元表征與辯證并因此逐漸養(yǎng)成善于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的意識(shí)與習(xí)慣，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的思維與能力必然會(huì)獲得長(zhǎng)足的發(fā)展.H