張娜娜 李淑靜2)? 閆紅梅 何亞亞 王海2)

1)(山西大學光電研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

2)(山西大學,極端光學協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

(2018年3月2日收到;2018年9月27日收到修改稿)

1 引 言

薛定諤貓態(tài),又稱宏觀量子疊加態(tài)[1?8],因其獨特的非經(jīng)典特性,一直以來都是人們的研究熱點.薛定諤貓態(tài)還是一類重要的非高斯態(tài),可以用于量子隱形傳輸[9],量子計算[10,11]等.過去的二十幾年間,在原子系綜[12]、固態(tài)系統(tǒng)[13]和光學系統(tǒng)[14,15]中一些薛定諤貓態(tài)的產(chǎn)生方法被相繼提出,目前實驗上最常用的方法是通過真空壓縮態(tài)減光子獲得薛定諤貓態(tài)[16?24].2004年,法國Grangier研究組在實驗上通過減光子方案將壓縮光場轉(zhuǎn)換到非高斯光場[21].2006年,丹麥Polzik研究組制備了852 nm薛定諤貓態(tài),貓態(tài)幅度α=1.3,保真度為53%[16].2007年,日本Furusawa研究組獲得了860 nm的薛定諤貓態(tài)[19],經(jīng)過不斷優(yōu)化,2017年他們將制備貓態(tài)的保真度提高到78%[22],其中貓態(tài)幅度|α|2=1.02.2014年,法國Laurat研究組制備了1064 nm的薛定諤貓態(tài),貓態(tài)幅度|α|2≈1,保真度為65%[23].理想情況下,具有一定壓縮度的真空壓縮純態(tài)通過分束器減掉一個光子,其輸出態(tài)與貓態(tài)有很高的保真度[18,25].然而在貓態(tài)制備過程中,實驗條件的不完美將會對貓態(tài)質(zhì)量產(chǎn)生影響.

Suzuki等[18]研究了減光子方案中W(0)與壓縮光場的壓縮度和閾值單光子探測器的探測效率及暗計數(shù)的關(guān)系,Kim等[17]研究了W(0)與壓縮光場的壓縮純度、壓縮度和平衡零拍探測損耗的關(guān)系.在此基礎上,我們綜合考慮了壓縮態(tài)的壓縮度和純度、閾值單光子探測器的效率和暗計數(shù)以及平衡零拍探測的損耗等因素,系統(tǒng)地研究了實驗參數(shù)對貓態(tài)制備的影響.理想情況下通過減光子方案制備到的薛定諤貓態(tài)為奇光子數(shù)態(tài),其Wigner函數(shù)在相空間原點呈現(xiàn)出負值,而保真度可以度量制備態(tài)與理想貓態(tài)的相似程度.本文通過相空間特征函數(shù)的方法建立了壓縮態(tài)減光子理論模型,得到了制備態(tài)的Wigner函數(shù)、相空間原點值W(0)以及與理想貓態(tài)保真度的解析表達式,對W(0)值及保真度隨各個實驗參數(shù)的變化關(guān)系進行了計算和分析,為制備高質(zhì)量的貓態(tài)提供了理論指導.

2 真空壓縮場減光子制備薛定諤貓態(tài)的理論模型

利用真空壓縮減光子獲得薛定諤貓態(tài)的原理如圖1所示.真空壓縮態(tài)輸入到分束器BS1(透過率為一部分光場被反射進入單光子探測器,當單光子探測器探測到一個光子時,從BS1透射的光場被制備到減光子壓縮態(tài),這個態(tài)在一定條件下與薛定諤貓態(tài)有很高的保真度.真空壓縮態(tài)(s代表壓縮度)的Weyl特征函數(shù)為

其中A與B分別為光場壓縮和反壓縮分量的噪聲起伏方差,ξr與ξi分別為特征參數(shù)ξ的實部和虛部.壓縮態(tài)的純度[26,27]與噪聲起伏方差A和B直接相關(guān),在實驗上經(jīng)常用壓縮度s和反壓縮度s′來描述光場的噪聲特性,壓縮度(反壓縮度)與壓縮噪聲起伏方差(反壓縮噪聲起伏方差)之間的關(guān)系為s=10logA(s′=10logB).

圖1 真空壓縮減光子制備貓態(tài)的原理圖 BS1-2,分束器;HBS,50/50分束器;SPD,單光子探測器;|s〉1,真空壓縮態(tài);|0〉2—|0〉L,真空態(tài);BHD,平衡零拍探測Fig.1 .Principle diagram of generation of Cat State by subtracting photons from the vacuum squeezed state.BS1-2,beam splitter;HBS,50:50 beam splitter;SPD,single photon detector;|s〉1,vacuum squeezed state;|0〉2–|0〉L,vacuum state;BHD,balanced homodyne detector.

經(jīng)過分束器BS1后輸出態(tài)的Weyl特征函數(shù)為[28]

n1=TA+R,n2=TB+R,c1=Tr(A?1),c2=Tr(B?1),m1=RA+T,m2=RB+T.經(jīng)過分束器BS1后輸出態(tài)的密度算符可表示為

將Weyl特征函數(shù)經(jīng)過傅里葉變換可得到Wigner函數(shù):

計算可得:

接下來計算了制備態(tài)與理想貓態(tài)之間的保真度.兩個量子態(tài)之間的保真度可以表示為[17]

其中C|cat?〉(ζ)為貓態(tài)

的Weyl特征函數(shù),

N?=α為貓態(tài)的幅度(計算過程中取α為實數(shù)).理想情況下,減光子壓縮態(tài)與貓態(tài)的保真度

其中χ為壓縮參數(shù)[17].對于給定的壓縮參數(shù)χ,對保真度求導且令導數(shù)為0,可求得制備貓態(tài)的最優(yōu)化等效幅度

壓縮度s和壓縮參數(shù)χ均用來表示光場的壓縮噪聲,它們之間的關(guān)系為e?2χ=10s/10.將(5)式和(9)式代入(8)式求得保真度的表達式為

利用(7)式和(10)式,分別計算了W(0)值和保真度隨壓縮純度μ的變化曲線,如圖2(a)和圖2(b)所示,其中BS1透過率取為95%. 黑實線、紅點線和藍點劃線的壓縮度分別為?3,?2和?1 dB,對應的壓縮噪聲起伏方差分別為0.5,0.63和0.79,保真度計算中對應貓態(tài)的最優(yōu)化幅度α分別為1.06,0.85和0.597.圖2(a)中灰色的虛線表示W(wǎng)(0)=0,從圖中可以看出壓縮度越大,W(0)<0對壓縮純度的要求越低.當壓縮度s=?1 dB時,壓縮純度需滿足μ>70%;當s=?2 dB時,μ>83%.對于給定的壓縮度,保真度隨壓縮純度的增大而增大.在相同純度下,大的壓縮度對應高的保真度;壓縮度增大意味著壓縮光場中混入的奇光子數(shù)態(tài)布居降低,導致減光子后制備態(tài)中的偶光子數(shù)態(tài)布居減小、保真度增大.

圖2 W(0)值(a)和保真度(b)隨壓縮純度μ的變化,黑實線、紅點線和藍點劃線的壓縮度分別為?3,?2和?1 dBFig.2 .Dependence of the value of W(0)and the f i delity on the squeezing purity.The squeezing degree are?3 dB(black solid line),?2 dB(red dot line),and?1 dB(blue dot dash line),respectively.

貓態(tài)的幅度是量子計算中一個備受關(guān)注的指標.我們計算了制備貓態(tài)的保真度隨幅度的變化,如圖3所示,其中BS1透過率取為95%.黑實線、紅點線和藍點劃線的壓縮純度分別為1.0,0.9和0.7.當純度為1時,|α|6 1.2的幅度范圍內(nèi)保真度超過了99%,之后保真度隨幅度的增加快速降低.這是因為減光子真空壓縮態(tài)的光子數(shù)分布隨光子數(shù)增加單調(diào)遞減,而理想貓態(tài)的光子數(shù)分布在|α|2附近出現(xiàn)峰值.當純度不為1時,在小幅度范圍內(nèi)保真度呈增加趨勢,我們對其原因進行了分析.非純態(tài)的壓縮光場中除了偶光子數(shù)態(tài)還包含有奇光子數(shù)態(tài),對于給定純度的壓縮光場,隨著壓縮度(對應貓態(tài)幅度)增加,其偶光子態(tài)布居增大,減光子后制備態(tài)中的奇光子數(shù)態(tài)布居相應增加,與貓態(tài)的保真度隨之增大.實驗中不能取過高的壓縮度,只有在合適的壓縮度下,制備光場與理想貓態(tài)之間才會達到較高的保真度[29].

圖3 制備貓態(tài)的保真度隨幅度α的變化,黑實線、紅點線和藍點劃線的壓縮純度分別為1.0,0.9和0.7Fig.3 .The f i delity of prepared cat state as a function of amplitude α.The squeezing purity are 1.0(black solid line),0.9(red dot line)and 0.7(blue dash dot line),respectively.

3 單光子探測器的不完美對薛定諤貓態(tài)制備的影響

目前商用的單光子探測器絕大部分不能區(qū)分光子數(shù),量子效率ηapd較低,并且有一定的暗計數(shù).這種探測器為閾值探測器,當一個或多個光子到達探測器被探測到,探測器即被觸發(fā)處于“on”狀態(tài).閾值單光子探測器“of f”狀態(tài)的投影算符為

其中ηapd為單光子探測器的量子效率,ν為單光子探測器的暗計數(shù).閾值單光子探測器“on”狀態(tài)的投影算符為

當閾值單光子探測器處于“on”狀態(tài)時,BS1透射場的密度矩陣為

其中N1為歸一化因子.對應的Weyl特征函數(shù)為

將(12)式經(jīng)過傅里葉變換即可得到對應的Wigner函數(shù):

其中,

下面計算BS1反射端的光子數(shù)分布概率.分束器BS1的反射端的密度算符為其中Cout(0,ξ)為反射光場的Weyl特征函數(shù).BS1反射端的光子數(shù)分布概率可表示為

當輸入真空壓縮態(tài)的壓縮度為?3 dB,純度為1,BS1的透射率為0.95的情況下,BS1反射光路上出現(xiàn)光子態(tài)的概率分別為0.99396,0.00583,2×10?4,3.2×10?6.從上面的結(jié)果可以看出:光子數(shù)態(tài)出現(xiàn)的概率隨著光子數(shù)的增加而遞減,態(tài)出現(xiàn)的概率比態(tài)降低了兩個量級,本文計算過程當中忽略了n>2的光子數(shù)態(tài),BS1透射光場的Wigner函數(shù)為

其中,

圖4 W(0)值(a)和保真度(b)隨單光子探測器量子效率ηapd的變化,黑實線、紅點線和藍點劃線的壓縮純度分別為1.0,0.9和0.7Fig.4 .Dependence of the value of W(0)(a)and f i delity(b)on the quantum efficiency of single-photon detector ηapd.The squeezing purity are 1.0(black solid line),0.9(red dot line),and 0.7(blue dot dash line),respectively.

圖5 W(0)值(a)和保真度(b)隨暗計數(shù)ν的變化,黑實線、紅點線和藍點劃線的壓縮純度分別為1.0,0.9和0.7Fig.5 .The value of W(0)(a)and the f i delity(b)as a function of the dark count rate ν.The squeezing purity are 1.0(black solid line),0.9(red dot line),and 0.7(blue dot dash line),respectively.

單光子探測器的暗計數(shù)也是影響貓態(tài)制備的一個主要因素,由于暗計數(shù)的出現(xiàn),使制備態(tài)中混入了真空壓縮態(tài),W(0)值負性減小、保真度降低.圖5(a)和圖5(b)分別是W(0)和保真度隨單光子探測器暗計數(shù)的變化曲線.計算中輸入真空壓縮的壓縮度取為?3 dB,BS1透過率取為95%,單光子探測器的量子效率取為70%(目前實驗室使用的800 nm商用單光子探測器的量子效率可以達到這個水平).由圖可知,隨著暗計數(shù)增大,W(0)值的負性和保真度都逐漸減小.從圖5(a)可以看出,壓縮純度越小,W(0)<0對暗計數(shù)ν的要求越高.當壓縮純度μ=1時,W(0)<0要求暗計數(shù)ν<4×10?3;當μ=0.7時,W(0)<0要求ν<1.5×10?3.這是因為暗計數(shù)的出現(xiàn)相當于在制備態(tài)中增加了|0〉態(tài)布居,使W(0)值負性減小;而高純度壓縮光場減光子后制備態(tài)中混入的偶光子態(tài)布居少、W(0)值負性大,所以W(0)<0對暗計數(shù)有較好的容忍度.從圖5(b)可知壓縮純度越高,保真度隨暗計數(shù)的變化越敏感;因為在相同的壓縮度下,純度越高壓縮光場中包含多光子態(tài)的成分越少,致使單光子探測器產(chǎn)生較少的錯誤計數(shù)率(探測到多光子的概率),所以保真度對暗計數(shù)的變化敏感.暗計數(shù)是在沒有光場輸入的情況下探測器產(chǎn)生的計數(shù)噪聲,而雜散光場產(chǎn)生的計數(shù)噪聲會對貓態(tài)的制備產(chǎn)生同樣的影響.在實驗上可以從這方面入手對制備的貓態(tài)進行優(yōu)化,不僅要選擇暗計數(shù)低的單光子探測器,同時還要阻擋雜散光場進入單光子探測器.

4 平衡零拍探測器的不完美對制備薛定諤貓態(tài)的影響

實驗中需要用到平衡零拍探測器(BHD)對制備貓態(tài)的正交分量進行測量,BHD不可避免地會引入損耗.一個不完美的平衡零拍探測系統(tǒng)等價于一個無損耗的平衡零拍探測器前加入一個分束器,圖1中BS2即是BHD損耗等效的分束器.分束器BS2的透過率相當于平衡零拍探測系統(tǒng)的總效率η,η = ηbγ2λ,其中ηb為平衡零拍探測器的量子效率,γ為平衡零拍探測系統(tǒng)中信號光與本振光的干涉對比度,λ為光路傳輸效率.在這種情況下,真空壓縮態(tài)減光子后測量得到的薛定諤貓態(tài)的Wigner函數(shù)形式就要發(fā)生一些變化.

經(jīng)過BS2后,透射光場的特征函數(shù)為

可計算求得保真度.

圖6(a)和圖6(b)分別是W(0)值和保真度隨平衡零拍探測效率η的變化曲線,黑實線、紅點線和藍點劃線對應的壓縮純度分別為1.0,0.9,0.7.計算中輸入真空壓縮的壓縮度取為?3 dB,BS1透過率取為95%,單光子探測器暗計數(shù)為ν=10?4,單光子探測器的量子效率取為70%.由圖可知,壓縮純度越低,W(0)<0對平衡零拍量子效率的要求越高.當壓縮純度為1.0和0.9時,在η>0.60計算范圍內(nèi),都滿足W(0)<0.當壓縮純度為0.7時,要使W(0)<0,必須滿足η>0.87.平衡零拍探測器效率的不完美降低了制備貓態(tài)的保真度,壓縮純度越低,保真度對效率η越不敏感.只有同時滿足高壓縮純度和高探測效率,才能實現(xiàn)高保真度.

最后我們計算了幾種實驗條件下制備貓態(tài)的保真度,并模擬了對應的Wigner函數(shù).計算過程中,真空壓縮的壓縮度取為?3 dB,對應貓態(tài)的最優(yōu)化幅度為1.06,BS1透過率為95%,單光子探測器量子效率取為70%.當平衡零拍探測量子效率取為92%(其中光路傳輸效率為99%,信號光與本振光的干涉對比度為99%,平衡零拍探測器量子效率為95%),暗計數(shù)為10?4,壓縮純度為90%(對應反壓縮度為3.92 dB)時,對應的Wigner函數(shù)如圖7(a)所示,W(0)=?0.147,保真度為0.6.壓縮純度是貓態(tài)制備中一個至關(guān)重要的參數(shù),純度越高,制備貓態(tài)的保真度越大.當壓縮純度提高到95%(對應反壓縮度為3.45 dB)時,重構(gòu)的Wigner函數(shù)如圖7(b)所示,W(0)=?0.25,保真度為0.69.理想貓態(tài)是奇光子數(shù)態(tài),在傳輸和測量中對損耗非常敏感,另外單光子探測器暗計數(shù)會增加制備貓態(tài)中的真空成分,降低保真度.通過提高壓縮態(tài)的純度和平衡零拍探測系統(tǒng)的效率,以及選用暗計數(shù)低的光子探測器,可以進一步提高保真度、降低相空間原點W(0)的值.當壓縮態(tài)純度達到0.99(對應反壓縮度為3.09 dB),平衡零拍探測效率達到0.98時,暗計數(shù)為10?5時,制備貓態(tài)的Wigner函數(shù)如圖7(c)所示,W(0)=?0.49,保真度為0.88.

圖6 W(0)值(a)和保真度(b)隨平衡零拍探測總效率η的變化,黑實線、紅點線和藍點劃線的壓縮純度分別為1.0,0.9和0.7Fig.6 .Dependence of the value of W(0)(a)and f idelity(b)on the total efficiency of the balanced homodyne detection η.The squeezing purity are 1(black solid line),0.9(red dot line)and 0.7(blue dot dash line),respectively.

圖7 幾種實驗條件下制備貓態(tài)的Wigner函數(shù)Fig.7 .The Wigner function of prepared cat states under several experimental conditions.

5 結(jié) 論

本文理論分析了實驗條件不完美對薛定諤貓態(tài)制備的影響.通過相空間特征函數(shù)建立了減光子方法制備貓態(tài)的理論模型,分析了真空壓縮態(tài)的壓縮度和純度、閾值單光子探測器的量子效率和暗計數(shù)以及平衡零拍探測損耗等諸多因素對制備貓態(tài)Wigner函數(shù)和保真度的影響.結(jié)果表明:壓縮度越大,W(0)<0對壓縮純度的要求越低;在壓縮純度小于1的情況下,存在最佳壓縮度使制備態(tài)與貓態(tài)保真度最大;低效率的閾值單光子探測器和平衡零拍探測損耗會進一步降低制備貓態(tài)的保真度.當真空壓縮的壓縮度為?3 dB壓縮純度達到0.99平衡零拍探測效率達到0.98時,利用商用閾值單光子探測器,制備貓態(tài)保真度為0.88.這個工作為薛定諤貓態(tài)的制備以及實驗參數(shù)優(yōu)化提供了理論指導.