楊勤勇,段心標(biāo)

(中國石油化工股份有限公司石油物探技術(shù)研究院,江蘇南京211103)

地震偏移成像歷經(jīng)疊后時間偏移、疊后深度偏移、疊前時間偏移、疊前深度偏移幾個發(fā)展階段,對逐漸復(fù)雜的地下構(gòu)造成像發(fā)揮著越來越重要的作用。特別是基于雙程波方程的逆時偏移[1-6],能夠描述地下反射界面的空間位置和幾何結(jié)構(gòu),為精細(xì)地質(zhì)構(gòu)造解釋和井位落實(shí)提供了可靠的資料。但隨著地震勘探的不斷深入,地層巖性油氣藏占比越來越大,以構(gòu)造落實(shí)為主要目標(biāo)的偏移成像技術(shù)已不能很好地滿足勘探需求,能夠估計(jì)儲層彈性參數(shù)并借助于巖石物理進(jìn)行(半)定量儲層描述的地震反演成像技術(shù)受到越來越多學(xué)者的關(guān)注。20世紀(jì)80年代,TARANTOLA[7]基于Bayes估計(jì)理論,建立了一套時間域地震波場反演理論框架,由觀測地震數(shù)據(jù)直接反演地下介質(zhì)彈性參數(shù),將波動方程作為觀測數(shù)據(jù)的預(yù)測器,求得使預(yù)測數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)的總誤差最小的參數(shù)模型,并作為地下介質(zhì)參數(shù)的估計(jì)值。FWI是典型的非線性反演問題,由于非線性問題求解極端困難,因此普遍將FWI分解成線性化的層析成像加線性化的最小二乘偏移成像,前者的主要目標(biāo)是建立盡可能準(zhǔn)確的背景速度模型,后者的主要目標(biāo)是估計(jì)(角度)反射系數(shù)?；谧钚《朔囱莩上竦睦碚搩?yōu)點(diǎn),許多學(xué)者開展了最小二乘偏移成像方法研究[8-21]。LEBRAS等[8]、LAMBARE等[9]提出了線性迭代反演方法和最小二乘偏移思想;COLE等[10]、NEMETH等[11]實(shí)現(xiàn)了最小二乘kirchhoff偏移地震成像方法;TANG[12]提出了一種加速最小二乘偏移效率的編碼方法;DAI等[13]提出了一種基于融合解碼算子的混疊數(shù)據(jù)最小二乘偏移方法。目前,基于線性反演理論框架的最小二乘偏移研究主要集中在三個方面:①近似求取Hessian逆矩陣,譬如基于水平層狀介質(zhì)假設(shè),用射線理論計(jì)算格林函數(shù),構(gòu)建對角Hessian矩陣并作為反褶積算子對偏移結(jié)果進(jìn)行處理[22-23];由初始偏移結(jié)果和再偏移結(jié)果估計(jì)非穩(wěn)相濾波器來近似Hessian矩陣的逆,將濾波器作用于初始偏移結(jié)果提高成像結(jié)果的質(zhì)量[24]。②正則化(或預(yù)條件)算子的構(gòu)建[25-26],采用合適的正則化(或預(yù)條件)算子保證反演過程穩(wěn)定,改善反演效果,有效提高反演的收斂速度。③將最小二乘偏移分為數(shù)據(jù)域方法和成像域方法兩種,數(shù)據(jù)域反演通過多次迭代使得預(yù)測數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)之間的殘差最小[27-30],這類方法不需要顯式計(jì)算Hessian矩陣,只需要構(gòu)建一對互為共軛的正演算子和偏移算子;成像域反演是近似求解線性反演問題的法方程[31-32],這類方法需要顯式計(jì)算(部分)Hessian矩陣,能夠進(jìn)行面向目標(biāo)的最小二乘偏移。

從求解線性問題法方程的角度看,最小二乘偏移相當(dāng)于對常規(guī)偏移結(jié)果作用一個Hessian逆矩陣算子,可以降低或者去除由于照明不均或者存在采集腳印所導(dǎo)致的偏移假象,校正偏移結(jié)果中存在的振幅誤差,以及提高地震成像的分辨率。雖然最小二乘偏移理論優(yōu)勢明顯,但在實(shí)際應(yīng)用中明顯存在一些問題從而影響了最小二乘偏移成像的效果[33-36]。如經(jīng)典最小二乘偏移采用了迭代反演算法,通過匹配觀測數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)的誤差收斂到一個穩(wěn)定的成像結(jié)果估計(jì)值很困難。最小二乘偏移迭代算法計(jì)算量巨大,要想獲得較為理想的成像結(jié)果需要花費(fèi)目前生產(chǎn)難以承受的計(jì)算代價。為了解決上述問題,近年來發(fā)展了許多優(yōu)化算法,如正則化、預(yù)條件等,成像域非迭代最小二乘偏移也受到更多的重視并取得了一定的應(yīng)用效果。

本文首先介紹最小二乘偏移的方法原理和理論優(yōu)勢,總結(jié)了當(dāng)前國內(nèi)外最小二乘偏移的研究現(xiàn)狀,然后討論了目前最小二乘偏移應(yīng)用中仍然存在的瓶頸問題和一些應(yīng)對方案,最后對最小二乘偏移的發(fā)展趨勢和研究方向進(jìn)行了展望。

1 最小二乘偏移原理及優(yōu)勢

依據(jù)Bayes決策理論,地球物理反演問題都可以描述為尋找使觀測數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)之間的誤差達(dá)到最小的那一組模型參數(shù),在數(shù)學(xué)上可以歸結(jié)為一個最優(yōu)化問題。在線性反演框架下,最小二乘偏移是要找到一個最優(yōu)的偏移成像結(jié)果m,使得觀測數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)的2范數(shù)誤差最小。目標(biāo)函數(shù)定義為:

(1)

式中,dobs是實(shí)際觀測數(shù)據(jù),dcal為由成像值m和正演算子L計(jì)算的預(yù)測數(shù)據(jù)。

要使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值,必須令其梯度為零,則有如下法方程:

(2)

進(jìn)而有成像結(jié)果的估計(jì)值:

(3)

式中,LTL為Hessian矩陣,可用H表示,LTdobs是對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行常規(guī)偏移成像,結(jié)果用可m0表示,則有

(4)

(4)式表明,最小二乘偏移是Hessian矩陣的逆H-1作用于常規(guī)偏移成像。最小二乘偏移中,波場算子L可以是Kirchhoff積分算子,也可以是單程波算子或雙程波算子,分別對應(yīng)于最小二乘Kirchhoff偏移、最小二乘單程波偏移和最小二乘逆時偏移。

Hessian矩陣可以表示為:

(5)

式中:f(ω)為地震子波;G(xs,x,ω),G(xs,y,ω)分別表示炮點(diǎn)到點(diǎn)x和y的Green函數(shù);G(xr,x,ω),G(y,xr,ω)分別表示點(diǎn)x和y到檢波點(diǎn)xr的Green函數(shù)?？梢?Hessian矩陣是一個模糊化算子,包含了子波效應(yīng)、Green函數(shù)表述的波場傳播效應(yīng)和觀測系統(tǒng)決定的照明因素等?？梢哉J(rèn)為,常規(guī)偏移是模糊化算子作用于真實(shí)地下參數(shù),其結(jié)果是一個模糊化的像;最小二乘偏移則是Hessian矩陣的逆作用于常規(guī)偏移成像結(jié)果,通過去模糊化能夠得到一個清晰的地震成像結(jié)果。所以,最小二乘偏移相對于常規(guī)偏移成像而言,能夠提高成像分辨率、彌補(bǔ)不規(guī)則照明的影響、減少成像假象、改善成像聚焦,消除波傳播的影響因素、均衡成像振幅、提高成像保幅性。圖1對比了Sigsbee模型數(shù)據(jù)常規(guī)偏移與最小二乘偏移的效果[37],可見最小二乘偏移分辨率更高,鹽丘下照明得到補(bǔ)償,鹽丘邊界成像也更加清晰,反射系數(shù)的振幅關(guān)系更好地體現(xiàn)了地下真實(shí)情況,充分顯示了最小二乘偏移的理論優(yōu)勢。

圖1 Sigsbee模型成像剖面對比a 單程波偏移; b 最小二乘單程波偏移

實(shí)際最小二乘偏移計(jì)算中,由于目標(biāo)函數(shù)梯度為零僅僅是一種理想假設(shè),且Hessian矩陣非常龐大,因而計(jì)算和存儲都很困難,求Hessian矩陣的逆更不具可行性,不能通過直接求解法方程實(shí)現(xiàn)最小二乘偏移。最小二乘偏移通?；谂诩瘮?shù)據(jù)采用迭代法從初始解開始逐步逼近真實(shí)解,實(shí)際應(yīng)用中存在觀測數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)的匹配問題,而且要求地震數(shù)據(jù)的信噪比不能太低,速度模型精度要高,否則無法收斂到一個穩(wěn)定的成像結(jié)果。

2 最小二乘偏移的研究現(xiàn)狀

迭代法最小二乘偏移在實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)據(jù)匹配問題和計(jì)算效率低影響了最小二乘偏移的應(yīng)用。基于此,當(dāng)前最小二乘偏移有兩個重點(diǎn)研究方向:一是構(gòu)造合適的正則化(或預(yù)條件)算子,保證反演過程穩(wěn)定,改善反演效果,有效提高反演的收斂速度;二是對Hessian矩陣進(jìn)行簡化或近似計(jì)算,以降低實(shí)現(xiàn)最小二乘偏移成像的成本。前者主要用于數(shù)據(jù)域的最小二乘偏移,后者主要用于成像域的最小二乘偏移。

數(shù)據(jù)域迭代法是經(jīng)典的最小二乘偏移實(shí)現(xiàn)方法,包括最小二乘Kirchhoff偏移技術(shù)、最小二乘單程波偏移技術(shù)和最小二乘逆時偏移技術(shù)。SALOMONS等[38]介紹了一種最小二乘Kirchhoff偏移技術(shù),與常規(guī)最小二乘偏移不同,其目標(biāo)泛函中除了預(yù)測數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)的匹配,還考慮了共成像點(diǎn)道集的相似性和成像剖面的橫向連續(xù)性。利用該技術(shù)進(jìn)行了加拿大和尼日利亞兩個三維工區(qū)的實(shí)際資料處理。加拿大探區(qū)陸上采集數(shù)據(jù)稀疏、不規(guī)則,地下照明不均勻,常規(guī)偏移成像效果不佳,小偏移距成像剖面存在嚴(yán)重的偏移畫弧現(xiàn)象。采用最小二乘Kirchhoff偏移技術(shù)后大幅改善了常規(guī)偏移存在的畫弧效應(yīng),消除了淺層的采集腳印影響,成像道集的質(zhì)量得到了明顯提高。尼日利亞探區(qū)成像結(jié)果也顯示最小二乘Kirchhoff偏移提高了地震成像的分辨率和信噪比(圖2)。三維最小二乘單程波偏移相對基于雙程波算子的最小二乘逆時偏移而言,采用了更高效率的單程波算子,圖3為最小二乘單程波偏移技術(shù)在墨西哥灣某三維寬方位實(shí)際數(shù)據(jù)處理的實(shí)例[37]。與常規(guī)單程波偏移相比,最小二乘單程波偏移減少了采集腳印的影響,提高了成像分辨率和深部的成像質(zhì)量,剖面的斷層結(jié)構(gòu)更加清晰。DAI等[39]展示了數(shù)據(jù)域迭代最小二乘逆時偏移技術(shù)在鹽下成像中的應(yīng)用效果,指出該技術(shù)能夠增強(qiáng)鹽下成像能量,改善同相軸的連續(xù)性(圖4),然而從剖面上并沒有看到成像分辨率的明顯提升。

圖2 尼日利亞某探區(qū)成像結(jié)果對比a Kirchhoff偏移; b 最小二乘Kirchhoff偏移

圖3 墨西哥灣某探區(qū)成像結(jié)果對比a 單程波偏移; b 最小二乘單程波偏移

圖4 墨西哥灣某探區(qū)成像結(jié)果對比a RTM; b 最小二乘RTM

由于迭代法最小二乘偏移計(jì)算量大、效率低,近幾年成像域非迭代最小二乘偏移方法受到越來越多的關(guān)注。其主要思路是利用初始偏移結(jié)果和基于此偏移結(jié)果的反偏移數(shù)據(jù)再做一次偏移,利用兩次偏移結(jié)果之間的關(guān)系(m=LTLm0=Hm0),估計(jì)出一系列非穩(wěn)相濾波器來近似Hessian矩陣的逆,然后利用這些濾波器對偏移結(jié)果進(jìn)行標(biāo)定和濾波。FLETCHER等[40]比較了數(shù)據(jù)域最小二乘偏移與成像域最小二乘偏移,認(rèn)為采用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的成像域最小二乘偏移也能夠提高成像分辨率,在噪聲滿足一定條件時,兩種方法的結(jié)果應(yīng)該一致。WANG等[41]總結(jié)了數(shù)據(jù)域最小二乘偏移和成像域最小二乘偏移實(shí)現(xiàn)方法,利用實(shí)際鹽下成像數(shù)據(jù)對兩種方法進(jìn)行了對比分析,認(rèn)為數(shù)據(jù)域迭代法最小二乘偏移可以拓展成像頻帶,但對于減少成像噪聲效果不佳,成像域最小二乘偏移則可以補(bǔ)償因照明不佳導(dǎo)致的振幅損失,減少偏移假象(圖5)。CASASANTA等[42]給出了成像域最小二乘偏移在加蓬地區(qū)的應(yīng)用實(shí)例,在偏移算子里考慮了衰減補(bǔ)償(即LSQ-Kirchhoff偏移),相對于一般Kirchhoff偏移而言,顯著提高了成像分辨率。然而對比頻譜可以看出,這種視分辨率的提升主要來源于Q補(bǔ)償(圖6),最小二乘偏移技術(shù)本身對分辨率的提升有限。

圖5 墨西哥灣某探區(qū)成像結(jié)果對比a RTM; b 成像域最小二乘RTM

圖6 不同技術(shù)成像結(jié)果的頻譜

綜合分析以上實(shí)例中的應(yīng)用效果,可以認(rèn)為迭代法最小二乘偏移理論效果佳,但對資料品質(zhì)要求高,迭代計(jì)算量大,基于非穩(wěn)相濾波器的成像域最小二乘偏移技術(shù)能夠補(bǔ)償振幅、增強(qiáng)同相軸連續(xù)性,明顯改善深層反射層的成像質(zhì)量。最小二乘偏移特別是最小二乘逆時偏移要達(dá)到較為理想的效果,能夠在生產(chǎn)中得到推廣應(yīng)用,還需要持續(xù)開展實(shí)用化研究。張宇[43]指出,目前最小二乘偏移在生產(chǎn)中的應(yīng)用仍然處于試驗(yàn)探索階段。

3 應(yīng)用中的瓶頸問題和技術(shù)方案

最小二乘偏移的目標(biāo)是估計(jì)正確的(角度)反射系數(shù),計(jì)算過程是去模糊化算子作用于常規(guī)偏移結(jié)果,理論上能夠得到一個振幅均衡、假象少、分辨率高的成像剖面。然而,實(shí)際應(yīng)用中最小二乘偏移較難有效收斂并得到較為理想的反演結(jié)果。最小二乘偏移反演成像效果不理想的原因包括:正演不能很好地模擬實(shí)際觀測數(shù)據(jù)、預(yù)測誤差不滿足高斯分布、子波未知、背景速度不能滿足線性反演假設(shè)要求和觀測數(shù)據(jù)不完整(有限孔徑、不規(guī)則)等。下面對影響最小二乘偏移應(yīng)用效果的瓶頸問題進(jìn)行具體分析,并介紹一些針對性的技術(shù)方案。

最小二乘偏移采用的算子基于常密度聲波方程,且只能模擬一次波信息,與觀測數(shù)據(jù)差別較大。實(shí)際地下介質(zhì)至少是粘彈性介質(zhì),且具有各向異性特征,真實(shí)地震記錄中除了縱波,還有橫波、轉(zhuǎn)換波等信息,即便是縱波,也包括一次反射波、多次波、直達(dá)波、折射波等。由于真實(shí)地層存在吸收衰減效應(yīng),記錄波場跟理論預(yù)測的波場也存在振幅、頻率等差異。同時,野外勘探條件復(fù)雜多樣,地震采集會記錄到許多干擾波,這些噪聲通常無法由理論正演算子來模擬,會影響數(shù)據(jù)匹配的質(zhì)量。這些因正演算子無法精確描述地下真實(shí)波場物理傳播過程或因野外采集因素而導(dǎo)致的難以避免的誤差,會影響最小二乘偏移的收斂和穩(wěn)定性,從而影響最終的成像效果。此外,實(shí)際資料中子波比較復(fù)雜,不同炮的子波也存在差異,而最小二乘偏移流程中一般利用理論子波進(jìn)行偏移和反偏移,這也將導(dǎo)致合成數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)的振幅、相位、頻帶存在較大差異。針對以上問題,DONG等[44]采用了一種預(yù)處理方案,對觀測數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)分別進(jìn)行預(yù)處理,包括去噪、濾波、振幅處理等,盡量縮小兩種數(shù)據(jù)間的誤差。ZHANG等[35]、DUTTA[45]、DUAN等[46]借鑒了全波形反演的思路,將互相關(guān)誤差泛函引入到了最小二乘偏移成像框架中,更多地強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)的相位信息,降低了最小二乘偏移方法對震源子波和振幅因素的敏感性,當(dāng)然這也損害了最小二乘偏移在分辨率提升方面的優(yōu)勢。ZENG等[47]針對預(yù)測數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)的不一致問題,引入了一個可信度參數(shù),通過歸一化的互相關(guān)來評估兩個數(shù)據(jù)的相似度,將可信度參數(shù)加入到目標(biāo)泛函中,提高反演的穩(wěn)定性?？紤]到實(shí)際介質(zhì)的復(fù)雜性,最小二乘偏移的偏移算子由各向同性聲波方程發(fā)展到各向異性彈性波方程,Q補(bǔ)償也被納入到算子中[42]。然而各向異性彈性波最小二乘偏移目前僅停留在理論研究方面,距離實(shí)際應(yīng)用還有很漫長的路要走。

實(shí)際資料地震成像中,通過常規(guī)層析建?？梢缘玫揭粋€低波數(shù)的速度場,這種速度場對于最小二乘偏移而言精度是不夠的。盡管偏移與反偏移共軛,速度模型誤差仍然會使得基于偏移疊加剖面的反偏移預(yù)測數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)存在走時差異,特別是在大偏移距位置,時差會超過1/4周期。針對這個問題,目前主要有兩種應(yīng)對方案,一是利用HALE[48]提出的動態(tài)拉伸技術(shù)將兩種數(shù)據(jù)走時校正一致,LUO等[49]、ZENG等[47]都在這方面進(jìn)行了嘗試和試驗(yàn);二是基于成像道集進(jìn)行反偏移,消除速度模型精度導(dǎo)致的預(yù)測數(shù)據(jù)走時誤差,如WANG等[50]在偏移中采用擴(kuò)展成像條件生成時移成像道集,再利用這種成像道集進(jìn)行反偏移,減少最小二乘偏移對于速度誤差的敏感性,加快收斂速度。

最小二乘偏移需要進(jìn)行多次迭代,計(jì)算量大,實(shí)際三維資料生產(chǎn)試驗(yàn)的成本非常高,限制了最小二乘偏移的實(shí)用化。其針對性的方案包括通過反演正則化提高收斂速度、采用非迭代最小二乘偏移算法,以及提高計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度,比如采用GPU卡加快波場傳播計(jì)算速度。

4 結(jié)論與展望

地震勘探本質(zhì)上是求解反問題,幾十年的發(fā)展歷程是反問題研究不斷深化的過程。最小二乘偏移采用了最小二乘意義下的線性反演理論,本質(zhì)上是對常規(guī)偏移成像結(jié)果去模糊化,能夠提高成像分辨率、減少成像假象、均衡成像振幅、消除采集照明不均勻的影響。經(jīng)典的數(shù)據(jù)域迭代最小二乘偏移技術(shù)受數(shù)據(jù)匹配不一致、子波未知、速度模型精度不夠和計(jì)算量大等因素影響,使得最小二乘偏移的理論優(yōu)勢無法充分體現(xiàn)。針對這些問題,學(xué)者們研究了數(shù)據(jù)域正則化技術(shù)和成像域Hessian逆近似估計(jì)方法,在一定程度上提高了最小二乘偏移的效果和效率。然而,目前最小二乘偏移的應(yīng)用瓶頸問題依然存在,最小二乘偏移在生產(chǎn)中的應(yīng)用仍然處于試驗(yàn)探索階段。但油氣儲層精細(xì)描述的需求必然推動最小二乘偏移成像技術(shù)不斷發(fā)展,筆者認(rèn)為,未來最小二乘偏移發(fā)展方向如下。

短期內(nèi),最小二乘偏移的主要發(fā)展方向是完善數(shù)據(jù)域迭代方法,包括增強(qiáng)預(yù)測數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)的一致性、采用合適的正則化技術(shù)、利用更多的先驗(yàn)信息對反演進(jìn)行約束等,提高迭代反演的穩(wěn)定性和收斂速度。另外一個發(fā)展方向是完善成像域非迭代最小二乘偏移技術(shù),本質(zhì)是更好地計(jì)算點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。

長期看,要獲得理想的最小二乘偏移成像結(jié)果,需要從根本上解決應(yīng)用領(lǐng)域的瓶頸問題:①使用更準(zhǔn)確的正演模擬算子,考慮變密度、各向異性、吸收衰減甚至彈性波理論等,本文將Q補(bǔ)償與最小二乘偏移結(jié)合的實(shí)例就代表了一個研究方向。由于地下介質(zhì)中地震波的物理傳播過程非常復(fù)雜,這方面的研究應(yīng)該是一個漫長的過程。②將反演從線性轉(zhuǎn)向非線性,在反演中不斷更新速度模型,提高速度模型的精度,將最小二乘成像融入到FWI過程中。③隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展,利用更好的計(jì)算資源解決最小二乘偏移計(jì)算量巨大的問題。④借鑒并應(yīng)用其他學(xué)科的先進(jìn)技術(shù),比如壓縮感知、模式識別、圖像處理、特征提取甚至人工智能技術(shù),它們與反演問題有著密切的聯(lián)系,能夠推動勘探地球物理反演問題的求解。

總之,日益精細(xì)的地震勘探需求是推動最小二乘偏移發(fā)展的源動力。隨著研究的不斷深化,最小二乘偏移的應(yīng)用效果將越來越明顯。