齊鳳蓮，王永章，張幗英，劉冠誠

（1.沈陽建筑大學，遼寧 沈陽 110168；2.北方重工防務事業(yè)部技術部，內蒙古 包頭 014000）

0 引言

隨著生活水平的提高，我國的汽車擁有量大幅度增加，據(jù)國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)顯示，截止2015年底，每百戶家庭擁有私家車31輛，汽車占機動車比例達到61.8%，汽車擁有量達到了16284.45萬輛。汽車擁有量的大幅度增長，就需要大量的停車設施滿足停車的需要?，F(xiàn)有的停車設施大部分是平面停車場，不僅不能滿足需要，而且大量占用土地面積，使城市土地資源越來越緊張[1～3]。立體車庫的出現(xiàn)極大地緩解了停車位數(shù)量需求增加和停車位建設難之間的矛盾，但是立體車庫在運行過程中也有很多不足的地方。現(xiàn)階段，存取車耗費時間長是立體車庫運行過程中的一個重要問題，針對這個問題，學者們在存取策略的優(yōu)化問題上做了大量的研究[1～10]。筆者發(fā)現(xiàn)，學者們在對存取策略進行研究時，只是對一段時間或特定的存取隊列進行優(yōu)化分析，對于研究對象的描述與實際情況有較大出入，無法準確描述一天甚至更長時間段內的立體車庫的運行情況，使得優(yōu)化策略雖然獲得了良好的優(yōu)化效果，但只是特定情況下的情況，難以代表更為普遍的情況，所以需要為優(yōu)化策略的研究提供一種更為貼近實際的模型。

本文從顧客的到達規(guī)律出發(fā)，創(chuàng)新性地引入了嵌入式馬爾可夫鏈，建立了能夠長時間模擬立體車庫系統(tǒng)服務過程的動態(tài)模型，使存取策略的研究更加接近實際。而且該模型不依賴于特定的立體車庫，所以也為研究各種立體車庫服務過程中的情況提供了一個可行性。

1 立體車庫服務系統(tǒng)概述

在立體車庫系統(tǒng)中，顧客為了請求獲得存車或取車服務而來到系統(tǒng)，若不能立即獲得服務而系統(tǒng)又允許排隊等待，則加入等待隊伍，待獲得服務后離開系統(tǒng)，這種服務模式符合排隊論所研究的問題，所以立體車庫是一個排隊系統(tǒng)，或稱隨機服務系統(tǒng)。

對于排隊問題，必須說明的問題有三個：①顧客到達系統(tǒng)的情況；②系統(tǒng)對每個顧客提供服務時所花費的時間長短；③系統(tǒng)對顧客提供服務的先后順序。實際的排隊系統(tǒng)各有不同，但概括起來都由3個基本部分組成：輸入過程、服務機制、排隊及排隊規(guī)則[11]。

本文針對立體車庫的實際運行情況，重點研究立體車庫服務系統(tǒng)中的輸入過程，以及輸入過程和服務機制的結合。

2 基于非齊次泊松分布的輸入過程

立體車庫服務系統(tǒng)的輸入過程描述的是顧客的來源以及顧客按照怎樣的規(guī)律到達系統(tǒng)，前者說明的是顧客的總體數(shù)，后者說明的是顧客的到達類型和相繼到達顧客的間隔時間服從什么樣的概率分布[11]。

2.1 輸入過程的研究現(xiàn)狀

目前國內的學者們在研究過程中通常假設顧客的數(shù)量是無限的或不考慮顧客的數(shù)量，到達規(guī)律服從泊松流分布，以這種簡化的到達規(guī)律對立體車庫服務系統(tǒng)的服務對象進行研究，然后模擬一段時間內有若干個存取車顧客，以存取車比例來區(qū)分高峰和平峰[1～5]，這種方法在普遍性和隨機性上體現(xiàn)不明顯，沒有完全體現(xiàn)立體車庫運行過程中顧客到達的隨機性。

2.2 存取車規(guī)律匯總

對于立體車庫的服務系統(tǒng)，顧客的到達規(guī)律是相當復雜的，與立體車庫的建設位置和服務對象有密切的關聯(lián)，如表1所示。為獲得更準確的客流量數(shù)據(jù)，筆者在某商場做了為期一天的調查，部分數(shù)據(jù)如表2～表4所示。

表1 建設位置與顧客服務規(guī)律的關聯(lián)Tab.1 The relationship between construction location and custom er service

表2 早晨時間段部分客流量情況Tab.2 Partial passenger flow in the morning time period

表3 中午時間段部分客流量情況Tab.3 Partial passenger flow at noon time

表4 傍晚時間段部分客流量情況Tab.4 Partial passenger flow in the evening time

調查數(shù)據(jù)顯示，一天中顧客的到達強度是一個變化值，早晨存車較多但強度不是很大呈現(xiàn)平穩(wěn)上升趨勢，平時存取車平穩(wěn)且存取車平衡。研究過程中發(fā)現(xiàn)，一種特定的顧客到達模型無法代表所有的立體車庫服務場所和所有的時間段立體車庫服務系統(tǒng)的顧客到達情況，即模型不具有代表性。為此本文結合顧客到達規(guī)律建立了一種具有廣泛適用性的顧客到達模型。

2.3 基于非齊次泊松分布的顧客到達模型

對于立體車庫的服務系統(tǒng)，我們對顧客的到達情況作如下假設：

（1）在不相交的時間區(qū)間中到達系統(tǒng)的顧客個數(shù)是獨立的，即無后效性。

（2）在時刻 t，對充分小的時間長度 Δt，在時間區(qū)間[t，t+Δt）內有一個顧客到達的概率與t和Δt有關，與 t成函數(shù)關系 λ（t），約與 Δt成正比，即：

式中：P1—時間區(qū)間[t，t+Δt）內有 1 個顧客到達的概率；ο（Δt）—當 Δt→0 時，是Δt的高階無窮小；λ—單位時間有一個顧客到達的概率，稱為概率強度。

（3）對于充分小的 Δt，在時間區(qū)間[t，t+Δt）內有兩個或兩個以上顧客到達的概率極小，以致可以忽略，即：

式中：Pn—時間區(qū)間[t，t+Δt）內有 n 個顧客到達的概率。

假設1說明顧客的到達具有獨立增量性，假設2說明顧客到達不具有平穩(wěn)增量性，由假設我們得到顧客的到達規(guī)律是強度函數(shù)為λ（t）的非齊次泊松分布。令：

則：

式中：Pn—時間長度為s內到達顧客為n時的概率；N（t）—時間區(qū)間[t，t+Δt）內到達系統(tǒng)的顧客數(shù)。

立體車庫服務系統(tǒng)的顧客到達過程中，其強度函數(shù)λ（t）有界，在研究過程中將非齊次泊松過程看作齊次泊松過程的隨機取樣。即，λ（t）≤λ，在強度為λ的齊次泊松過程中，時刻t來到的顧客以概率λ（t）/λ被允許接受服務或加入等待隊列，被接受的顧客所構成的分布就是符合強度函數(shù)λ（t）的非齊次泊松分布。

3 研究對象的動態(tài)模擬

3.1 服務機制

服務機制需要說明服務員的數(shù)量以及連接形式，顧客是單個還是成批接受服務，服務時間的分布情況，其中服務時間的分布情況是最重要的一項[11]。

立體車庫服務系統(tǒng)中顧客是單個還是成批接受服務跟立體車庫的結構有關，升降橫移式可以多個顧客同時接受服務；垂直升降式顧客單個接受服務；巷道堆垛式的服務情況跟堆垛機數(shù)量有關。

立體車庫的服務時間與其結構有關，升降橫移式立體車庫的服務時間同移動載車板的次數(shù)成正比，巷道堆垛式立體車庫和垂直升降式立體車庫的服務時間同服務車位的位置有關。目前學者對于服務時間的確定是通過建立立體車庫服務時間的數(shù)學模型，用數(shù)學公式描述了服務時間與車位之間的關系[1，2，4，6，7，10]。

3.2 排隊及排隊規(guī)則

排隊指的是隊長的限制，對于立體車庫一般是允許排隊但不允許隊長無限長。排隊規(guī)則指的是排隊等待的顧客接受服務的順序是什么，一般有先到先服務、后到先服務、隨機服務、有優(yōu)先權的服務等[11]。

立體車庫的服務系統(tǒng)，由于車位的數(shù)量有限，所以立體車庫允許排隊但不允許隊長無限長。目前國內學者對于立體車庫服務系統(tǒng)的研究側重于排隊規(guī)則。分析連續(xù)存車、連續(xù)取車、交叉存取和原地待命四種策略在不同時間段的應用，得出省時間的策略或策略組合[1～4]或采用遺傳算法對一段時間的若干個存取車顧客的服務順序進行優(yōu)化[6～9]。

目前國內的學者在研究立體車庫的存取策略時選擇的研究對象一般是在一段時間內有若干個存取車顧客，然后將優(yōu)化策略對這些顧客的服務時間進行計算，最后進行比較，得出一種優(yōu)化策略[1～10]。

這種研究對象的選取方法只能模擬一段時間內的存取情況，無法說明實際情況中不同時刻有不同數(shù)量的存取車顧客排隊等待時存取策略的優(yōu)化情況。

本文創(chuàng)新性地引入了嵌入式馬爾可夫鏈，使用馬爾可夫鏈對顧客在接受服務過程中，系統(tǒng)中排隊顧客的變化情況進行了模擬。應用此模型，多種優(yōu)化算法可以在更接近實際情況的條件下進行模擬仿真，得到更有力的分析結果。

3.3 馬爾可夫鏈定義

馬爾可夫鏈的定義：設隨機過程{X（t），t∈T}的狀態(tài)空間為 I，如果對時間 t的任意數(shù)值 t1＜t2＜…＜tn，n≥3，ti∈T 在條件 X（ti）=xi，xi∈I，i=1，2，…，n-1 下，X（tn）的條件分布函數(shù)恰等于在條件 X（tn-1）=xn-1下 X（tn）的條件分布函數(shù)，即：

則稱隨機過程{X（t），t∈T}為馬爾可夫鏈。

馬爾可夫鏈具有這樣的性質，過程（或系統(tǒng)）在時刻t0之前所處的狀態(tài)為已知條件下，過程在時刻t＞t0所處狀態(tài)的條件分布與過程在時刻t0之前所處的狀態(tài)無關，即在已知過程“現(xiàn)在”的條件下，“將來”的狀態(tài)不依賴于“過去”。

在立體車庫服務系統(tǒng)中，顧客的到達規(guī)律符合泊松流，服務時間是確定但不是恒定的，若以X（t）記在時刻t系統(tǒng)中的顧客人數(shù)，在任意的時刻t，正在接受服務的顧客可能還沒有服務結束，那么從時刻t起的剩余服務時間分布不再具有無記憶性質，即{X（t），t≥0}不具有馬爾可夫性。

3.4 嵌入式馬爾科夫排隊模擬

為了解決這個問題，采用嵌入式馬爾可夫鏈進行排隊模擬，只在顧客離開系統(tǒng)時考察系統(tǒng)，即以Xn記第n個顧客離開系統(tǒng)后留在系統(tǒng)中的顧客數(shù)，n≥1。又以Yn記第n個顧客接受服務期間來到系統(tǒng)的顧客數(shù)，Tn記第n個顧客的服務時間。當Xn＞0時，第n個顧客離開系統(tǒng)時剩余Xn個顧客，其中一個顧客接受服務，其余Xn-1個顧客排隊等候。因此第n+1個顧客離開系統(tǒng)時系統(tǒng)將包含在排隊的Xn-1個顧客以及第n+1個顧客服務期間來到系統(tǒng)的顧客。當Xn=0時類似?？傻茫?/p>

由于Yn，n≥1表示不相重疊的服務時間中來到系統(tǒng)的顧客數(shù)，到達規(guī)律服從泊松分布，所以相互獨立，且：

當已知 Xn時，Xn+1只與到達過程有關，而與 X1，X2，…，Xn-1無關，所以過程{Xn，n≥1}是馬爾可夫鏈，由于此馬爾可夫鏈是界定在特定點上的，所以這個鏈又稱為嵌入式馬爾可夫鏈。

其一步轉移概率是最重要的式子：

當 i≥1，時，

其中：M=m（t+Tn+1）-m（t），k=j-i+1

當 i=0，時，

其中：k=j

嵌入式馬爾可夫鏈{Xn，n≥1}的一步轉移概率矩陣可寫成：

其中：

嵌入式馬爾可夫鏈模型的建立需要的數(shù)據(jù)有顧客的到達規(guī)律和服務時間，到達規(guī)律在上一節(jié)已經說明，服務時間跟結構和服務類型有關。

3.5 模型應用

立體車庫由于建設位置的不同，服務對象會有很大的差異，優(yōu)化策略的研究也就不盡相同。本文建立的模型適合多種立體車庫，而且由于是動態(tài)模擬，優(yōu)化策略研究的結果更加符合實際情況。在使用模型過程中需要的參數(shù)有到達強度函數(shù)λ（t）和存取車比例函數(shù)p（t）。此模型假設在較長時間內顧客到達服從參數(shù)為λ（t）的泊松分布，在較短的時間段內顧客的到達強度可以認為是不變的，即服從齊次泊松分布，不同時間段內顧客的存取車比例不相同，通過調節(jié)存取車比例函數(shù)p（t）來適應不同時間段的情況。

4 結論

本文主要針對立體車庫的服務系統(tǒng)進行了研究，重點對其客流的輸入過程和排隊服務等環(huán)節(jié)進行了深入研究，獲得以下結論：

提出了一種新的與實際情況接近的存取車模型，即非齊次泊松分布規(guī)律，顧客到來強度是時間t的函數(shù)。

采用嵌入式馬爾可夫鏈，提出了一種動態(tài)模擬排隊的模型，該模型將顧客的到達規(guī)律和立體車庫系統(tǒng)的服務時間結合起來，建立了一個立體車庫的動態(tài)服務過程，更接近實際的研究對象。

本文提出的存取車模型和動態(tài)服務過程可以適用多種不同的排隊規(guī)則，更好的服務多種類型立體車庫和多種服務場合。