史光輝

(中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033)

1 引 言

一個(gè)好的變焦距物鏡設(shè)計(jì)結(jié)果，不僅要求成像質(zhì)量好，而且要求體積小、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和工藝性能好。像ZEMAX和CODE.V那樣的光學(xué)設(shè)計(jì)軟件，雖然優(yōu)化功能很強(qiáng)，但若想得到一個(gè)好的設(shè)計(jì)結(jié)果，初始解的選擇仍然是至關(guān)重要的。求初始解的普遍做法是將已有的光學(xué)系統(tǒng)，或系統(tǒng)中的某個(gè)組元進(jìn)行縮放。如果已有的光學(xué)系統(tǒng)和要設(shè)計(jì)的光學(xué)系統(tǒng)相仿，則不失為一種省事的方法。而有助于創(chuàng)新設(shè)計(jì)的、利用高斯光學(xué)和三級(jí)像差理論求初始解的方法卻很少被應(yīng)用。文獻(xiàn)[1]認(rèn)為，這種方法求解太繁瑣，不如用現(xiàn)成的進(jìn)行縮放的方法好。對(duì)于常規(guī)的光學(xué)系統(tǒng)，一般會(huì)有相仿的設(shè)計(jì)，但對(duì)于有特殊要求的光學(xué)系統(tǒng)，尤其是沒(méi)有先例的、非常規(guī)的光學(xué)系統(tǒng)則很難有相仿的設(shè)計(jì)，如果硬要將一種不相干的光學(xué)系統(tǒng)或組元拿來(lái)縮放，則很難求得最佳的初始解。長(zhǎng)期采用拿來(lái)進(jìn)行縮放的方法，會(huì)使設(shè)計(jì)者對(duì)計(jì)算機(jī)過(guò)分依賴而不能很好發(fā)揮主觀能動(dòng)性。根據(jù)作者的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)非常規(guī)光學(xué)系統(tǒng)時(shí)，若不是利用高斯光學(xué)和三級(jí)像差理論求初始解，則很難完成這些沒(méi)有先例的光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)[2-5]。

20世紀(jì)60年代末，在薛鳴球院士的帶領(lǐng)下，開(kāi)始了利用高斯光學(xué)和三級(jí)像差理論求變焦距物鏡初始解研究[6-7]。核心內(nèi)容是用阻尼最小二乘法進(jìn)行優(yōu)化，求出各組元的、物在無(wú)限遠(yuǎn)的、規(guī)化的P、W。然后再用P、W求解各組元的結(jié)構(gòu)形式。因此有人稱它為P W法。此后有多篇文章介紹這一方法。但至今缺少一個(gè)有說(shuō)服力的實(shí)例。

用高斯光學(xué)和三級(jí)像差理論求變焦距物鏡初始解的一個(gè)理念是：對(duì)于大部分變焦距物鏡光學(xué)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，各組元都是由相貼合的透鏡組成的，光線在其各組元半徑上的高度和在主面上的高度差別不大，因此加厚了的光學(xué)系統(tǒng)，基本保留了原薄透鏡系統(tǒng)像差，特別是高級(jí)像差特性，以及隨著焦距連續(xù)改變而產(chǎn)生的像差變化特性。當(dāng)然，隨著相對(duì)孔徑和視場(chǎng)的增加，透鏡厚度也增加，像差的變化會(huì)逐漸加大。但一般情況下，仍然基本保留薄透鏡像差特性。作者設(shè)計(jì)過(guò)10倍變焦距物鏡和非常規(guī)形式的、23倍高倍率變焦物鏡，最大相對(duì)孔徑為F/1.6、最大視場(chǎng)58.7°，也都是用這種方法求初始解的。

另一個(gè)理念是:光學(xué)設(shè)計(jì)就是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)矛盾和解決矛盾，尤其是發(fā)現(xiàn)主要矛盾和解決主要矛盾的過(guò)程。這在用高斯光學(xué)和三級(jí)像差理論求初始解的過(guò)程中會(huì)得到充分的體現(xiàn)。因而利用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件進(jìn)行像差優(yōu)化，基本上只是起到使各種像差之間的矛盾達(dá)到最佳平衡的作用。

利用高斯光學(xué)和三級(jí)像差理論求初始解雖然繁瑣、計(jì)算量大，但一旦編制好了程序，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算就會(huì)變得容易和省時(shí)了。作者編制了3個(gè)這樣的程序。

第一個(gè)程序[8]的功能包括解變焦方程，求出每個(gè)焦距下移動(dòng)組元的移動(dòng)量，以及各組元的間隔、倍率和每個(gè)組元的軸上光線和主光線出射角、光線高度。還給出凸輪曲線的公差。為了使連續(xù)變焦過(guò)程產(chǎn)生的像差變化量達(dá)到最小，以及能容易找出影響像差變化量和P、W及P0值的因素，程序沒(méi)有采用阻尼最小二乘法，而是采用了解像差聯(lián)立方程的方法。參與解方程的焦距位置可從最短焦距至最長(zhǎng)焦距內(nèi)任意選擇。最后求解出各組元的、規(guī)化的、物在無(wú)限遠(yuǎn)的P、W和P0值，以及8個(gè)焦距位置的S1、S2、S3和S5值 。變焦距有各種形式，這可通過(guò)更換變焦方程來(lái)解決，其它部分是可以共用的。本文對(duì)這一程序又進(jìn)行了較大的修改。

第二個(gè)程序[9]的功能是由規(guī)化的C1和物在無(wú)限遠(yuǎn)、規(guī)化的P、W求各組元的結(jié)構(gòu)形式、光學(xué)材料和半徑。每個(gè)組元的透鏡組最少可由兩個(gè)單透鏡或一個(gè)雙膠合透鏡組成。最多可由任意排列的、多個(gè)雙膠合透鏡和多個(gè)單透鏡組合而成。

第三個(gè)程序[10]是用于計(jì)算、選擇和修正凸輪曲線的。 因?yàn)橥馆啙L筒的大小以及曲線形式的選擇會(huì)影響變焦距物鏡的體積和重量，因此在求初始解時(shí)就應(yīng)該考慮。這部分內(nèi)容除了計(jì)算出每一步的兩個(gè)移動(dòng)量外，還計(jì)算出每一步的焦距、升角和倍率變化速度值。可以通過(guò)選擇凸輪曲線的方法來(lái)減小凸輪的升角。如果需要，還可以兼顧變焦倍率變化的均勻性。如果不限制筒長(zhǎng)和體積，甚至可得到曲率小、升角小和倍率變化均勻的解。

這樣一來(lái)，用高斯光學(xué)和三級(jí)像差理論求初始解的過(guò)程中的所有計(jì)算，就可完全用計(jì)算機(jī)完成了。

下面通過(guò)一個(gè)10倍的、負(fù)組補(bǔ)償?shù)淖兘咕辔镧R設(shè)計(jì)實(shí)例來(lái)驗(yàn)證上述理念。本文說(shuō)明，即使有現(xiàn)成的、可以拿來(lái)縮放的常規(guī)系統(tǒng)，用高斯光學(xué)和三級(jí)像差理論求初始解的方法仍有利于得出創(chuàng)新的、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和小型化的初始解。變焦距物鏡的參數(shù)為，焦距：10～100 mm 、F/4 、視場(chǎng)：3.44°～33.4°。(線視場(chǎng)直徑為6 mm)。

2 用高斯光學(xué)求解變焦距物鏡的高斯參數(shù)

2.1 求解變焦方程

通常的變焦方程應(yīng)該稱作是凸輪方程，即給出變倍組的移動(dòng)量求出補(bǔ)償組的移動(dòng)量，若想得到確定的焦距，得經(jīng)過(guò)多次逐次逼近計(jì)算，這對(duì)求初始解很不方便。因此需推導(dǎo)出在給定焦距后，求解兩個(gè)移動(dòng)量以及間隔等參數(shù)的變焦方程。

圖1 兩個(gè)移動(dòng)組元的變焦距物鏡 Fig.1 Zoom objective lens with two move components

如圖1所示，上圖的起始焦距F0位置，可選擇任一焦距，一般選定為最長(zhǎng)焦距或最短焦距。下圖為任一焦距Fi位置。通常稱f1為變倍組，f2為補(bǔ)償組。當(dāng)f1、f2以及f1的倍率和間隔確定后，從物點(diǎn)到像點(diǎn)的共軛距也就確定了。變焦方程首先要使任一焦距Fi位置的共軛距與F0位置相等。于是,

式中，l和l′表示物距和像距。用倍率表示則為：

式中，m表示組元的倍率。要求出兩個(gè)未知量X和Y，還需要一個(gè)方程：

(3)

解(2)和(3)兩個(gè)方程后，得出二次方程：

(4)

其中：

于是：

(9)

2.2 結(jié)構(gòu)形式和各組元焦距以及組元間隔的選擇

兩個(gè)移動(dòng)組中前面的一組稱為前固定組，后面的一組稱為后固定組，后固定組一般由分離的兩組組成。這兩組的形式一般有兩種，一為正，正分離形式，一為正，負(fù)分離形式。前者會(huì)增加筒長(zhǎng)；后者會(huì)使結(jié)構(gòu)復(fù)雜以及會(huì)增加S4值。為了簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)、不增加筒長(zhǎng)和S4，本例后固定組的后組采用了由焦距相同和玻璃相同的正、負(fù)兩個(gè)透鏡組成的無(wú)光焦度形式。因?yàn)樵诖宋恢?，它的主光線高度和角度比較小。5個(gè)組元的焦距依次分別為f1、f2、f3、f4和f5。 其中f4是為滿足總焦距計(jì)算出來(lái)的。其它焦距是要進(jìn)行選擇的，選擇的根據(jù)是有利于解決像差校正和結(jié)構(gòu)的小型化的矛盾。為使各焦距的相對(duì)孔徑相等，將光欄放在后固定組前組上。

首先要選擇的是f1。它對(duì)筒長(zhǎng)、體積、后面各組的相對(duì)孔徑，主光線的偏角和S4都有很大影響，選擇的主要依據(jù)是最長(zhǎng)焦距的相對(duì)孔徑大小。f2對(duì)筒長(zhǎng)和S4影響很大。選取f2的主要依據(jù)是固定組和變倍組之間的間隔。這一間隔選取時(shí)要考慮的因素是筒長(zhǎng)、主光線在前固定組上的高度和進(jìn)入變倍組的入射角度。間隔大，筒長(zhǎng)小，但主光線在前組的入射高度過(guò)高會(huì)增加前組口徑，以及增加入射面到變倍組的主光線角度，從而增加軸外高級(jí)像差。因此，對(duì)于最短焦距的視場(chǎng)很大的、高倍率變焦物鏡，這個(gè)距離應(yīng)盡量小，視場(chǎng)超過(guò)60°時(shí)，為了降低入射到變倍組的主光線的角度，前固定組應(yīng)采用負(fù)、正分離的復(fù)雜化形式。f3的選擇范圍很重要，其與補(bǔ)償組和后固定組的偏角，以及補(bǔ)償曲線的曲率、升角和公差都有關(guān)。無(wú)光焦度組單透鏡的焦距選擇原則是使該組的高級(jí)像差最小，有個(gè)最佳值。

變倍組和補(bǔ)償組，補(bǔ)償組和后固定組之間的間隔主要是以透鏡組之間不相碰為主。有時(shí)也可通過(guò)調(diào)整間隔來(lái)小程度改變P、W和P0值。如本例的補(bǔ)償組和變倍組間隔比較大就是為了減小前固定組和后固定組前組的P0值不得不采取的辦法。后固定組兩組之間的間隔的選擇要看是否有利于減小無(wú)光焦度組的高級(jí)像差，其也有一個(gè)最佳值。

此外，在求初始解時(shí)，還要考慮攔光多少?？纱笾赂鶕?jù)h和hp的值來(lái)確定攔光的多少。半口徑等于h+hp時(shí)完全不攔光。本例設(shè)定最長(zhǎng)焦距的邊緣視場(chǎng)攔光不超過(guò)40%。要注意，主光線高度最大位置不是最短焦距，而是次短焦距，如本例在F=35處的主光學(xué)高度比F=10還大了3.5 m(表2)。忽略這一點(diǎn)，在視場(chǎng)很大的情況下，容易出現(xiàn)黑角。視場(chǎng)很大時(shí)，還要顧及光欄像差對(duì)攔光的影響。

表1 兩移動(dòng)組件的移動(dòng)量和各組之間間隔

2.3 倍率段選取

往下取的缺點(diǎn)是，因?qū)С套兌?，變焦速度變快，因此速度變化更加不均勻了；此外，往下取還會(huì)增加補(bǔ)償曲線的曲率和升角。相關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 F=100、F=35和F=10 各組元相關(guān)參數(shù)

2.4 雙曲線凸輪

圖2 凸輪曲線展開(kāi)圖。實(shí)線代表變倍曲線為直線，其升角36°。虛線代表變倍曲線為雙曲線。X為焦距由10變化到100時(shí)，變倍組移動(dòng)方向。Y為焦距由10變化到100的滾筒轉(zhuǎn)動(dòng)方向 Fig.2 Unfold curves of the cam. The solid lines express the variable curves in shape of strait line with rise angle of 36°. The dotted lines express the variable curves in shape of bi-curve. X:The moving direction of the zooming groups from F=10 to F=100. Y:The rotation direction of roller.

倍率選段往下取，導(dǎo)致補(bǔ)償曲線的曲率和升角增加的同時(shí)，卻減小了變倍曲線為直線時(shí)的升角。這樣就可以采用雙曲線凸輪來(lái)降低補(bǔ)償曲線的最大升角。計(jì)算凸輪時(shí)，首先要確定凸輪總轉(zhuǎn)角和滾筒直徑。本例總轉(zhuǎn)角設(shè)定為220°(應(yīng)當(dāng)盡可能往大取)，滾筒直徑為25 mm。得出變倍曲線為直線時(shí)的升角為36°，而補(bǔ)償曲線的升角，從最短焦距的-4.2°升至最長(zhǎng)焦距的58°(見(jiàn)圖2實(shí)線)。按文獻(xiàn)[10]的方法，通過(guò)選取不同曲線就可以降低凸輪的最大升角。最終得到變倍曲線的升角，從最長(zhǎng)距的22.4°上升到最短焦距的43°，而補(bǔ)償曲線的升角則由最短焦距的-5.3°上升為最長(zhǎng)焦距的43°(見(jiàn)圖2虛線)，補(bǔ)償曲線的最大升角降低了15°。這是通過(guò)讓兩條曲線的最大升角相同來(lái)達(dá)到凸輪曲線的最大升角最小化。如果還要降低最大升角，就要增大滾筒直徑了。

3 用三級(jí)像差理論求各組元的初始結(jié)構(gòu)

3.1 解像差聯(lián)立方程組減小連續(xù)變焦過(guò)程中的像差變化量并求出每個(gè)組元的和P0值

無(wú)論什么形式的變焦距，也無(wú)論組元數(shù)多少，變量總是有限的，在用光學(xué)軟件優(yōu)化時(shí)也只能選幾個(gè)焦距位置，因而也就這幾個(gè)焦距位置的像差能得到校正。若保證在連續(xù)變焦過(guò)程中的成像質(zhì)量，不能只考慮這幾個(gè)焦距位置的像差校正，也要盡量減小其它焦距的像差。這是求初始解的重要內(nèi)容之一。為了解決這一問(wèn)題，過(guò)去采用阻尼最小二乘法求解各組元的兩個(gè)變數(shù)。這一方法很難求出像差變化量小的解，也很難找出影響像差變化量的因素。其和用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件進(jìn)行優(yōu)化也沒(méi)什么聯(lián)系。因此作者改用解像差聯(lián)立方程的方法，將參與解方程的焦距位置的像差校正到0，下面稱這一位置為0點(diǎn)。通過(guò)0點(diǎn)焦距位置的選擇，來(lái)減小除0點(diǎn)以外其它焦距位置的像差，下面稱其為像差變化量。

(11)

(12)

對(duì)于無(wú)光焦度組為，

(13)

此外還需要算出各組元的P0值：

(14)

方程中的w= -(i-i′)(i′-u)，在文獻(xiàn)[11]中該公式前邊無(wú)負(fù)號(hào)。而在以上的方程中，和w有關(guān)項(xiàng)的符號(hào)都為負(fù)號(hào)。這是為了和已有程序接軌。

對(duì)無(wú)光焦度組，在S3和S5方程中的常數(shù)項(xiàng)為零?？梢宰C明，方程中的φ在無(wú)光焦度組中，則為該組單透鏡的值。系統(tǒng)每個(gè)參數(shù)的改變都會(huì)影響到像差變化量、同時(shí)也要影響到P、W和P0變化。因此要二者兼顧。

5個(gè)組元可有10個(gè)0點(diǎn)，分配給S1、S2和S3各3個(gè)，焦距位置都為F=100、F=55和F=10。剩下一個(gè)給最短焦距S5。S5不需要校正到0。對(duì)于大視場(chǎng)S5是有要求的，對(duì)于較小視場(chǎng)，可將它作為變數(shù)來(lái)參與求解。

由表3可見(jiàn)，除0點(diǎn)位置以外，其它焦距位置的像差都很小，S3幾乎沒(méi)變化。這是由于10個(gè)0點(diǎn)是比較充足的緣故。假如將只起校正像差作用而對(duì)高斯光學(xué)沒(méi)有影響的無(wú)光焦度組去掉，則0點(diǎn)由10個(gè)減少到8個(gè)。因此需要去掉兩個(gè)0點(diǎn)。除了把方程S5去掉外，再把F=55位置的S3方程去掉。得出的各焦距位置的像差見(jiàn)表4。顯然，只因少了一個(gè)組元，像差S3的變化量就大多了，S1和S2也變大了。這說(shuō)明，0點(diǎn)位置數(shù)，即系統(tǒng)的組元數(shù)對(duì)像差變化量影響很大，系統(tǒng)組元數(shù)越多，越有利于減小像差的變化量。

表3 解方程后得出的各焦距的像差系數(shù)

表4 去掉無(wú)光焦度組四組元的像差系數(shù)

為減小S3的變化量，可將兩邊的0點(diǎn)焦距向中間靠攏一點(diǎn)，結(jié)果變化量就變小了不少，見(jiàn)表5。這說(shuō)明，通過(guò)改變0點(diǎn)的位置，可有效地減小像差變化量。如果使像差的正量和負(fù)量相等，就可使像差變化量達(dá)到最小。如果經(jīng)過(guò)0點(diǎn)選擇還達(dá)不到要求，就要選擇改變其它參數(shù)，或用放大筒長(zhǎng)的辦法來(lái)解決了。解方程得到的結(jié)果，不僅要求像差變化量小，還要求P、W和P0值(絕對(duì)值)也小。二者往往是矛盾的。這要通過(guò)0點(diǎn)以及相關(guān)參數(shù)的選擇來(lái)進(jìn)行折中。

表5 采用0點(diǎn)方法時(shí)像差的減小量

由上述分析可知，為了得到好的成像質(zhì)量且小型化，高倍率變焦物鏡應(yīng)采用多組元結(jié)構(gòu)形式，低倍率的應(yīng)采用組元少的形式。譬如對(duì)低倍率變焦距物鏡，后固定組可以采用單組形式。但是，如果允許加大筒長(zhǎng)，即便組元少的形式也可以設(shè)計(jì)成高倍率。因?yàn)楹蠊潭ńM只起到校正前邊變倍分剩余像差的作用，而這剩余像差為S1、S2、S3和S5四個(gè)。因此多余兩組元的后固定組對(duì)減小像差變化量不起作用。

3.2 由和求各組元的結(jié)構(gòu)

各組元采用的結(jié)構(gòu)主要根據(jù)最長(zhǎng)焦距各組元的、軸上光線的偏角u′-u大小來(lái)確定。其次還要考慮主光線距離光欄的遠(yuǎn)近，以及主光線的偏角和高度。根據(jù)表2可知，前固定組、變倍組和后固定組前組的偏角都比較大，因此采用了雙膠合加單透鏡的形式。這有很多解，其中雙膠合透鏡，又分冕在前和火石在前，以及它們之間的光焦度分配。如果偏角很大，可以采用包括膠合透鏡的，由4片以上的透鏡組成的更復(fù)雜的形式，解就更多了。補(bǔ)償組的偏角比較小，可采用雙膠合或雙分離形式。對(duì)于無(wú)光焦度組，可選擇正透鏡在前或負(fù)透鏡在前。兩塊透鏡的玻璃可選擇折射率和阿貝數(shù)都相等，也可選擇阿貝數(shù)相同，折射率不同的。因?yàn)檫@是一種正、負(fù)分離形式，所以無(wú)光焦度組可以滿足很大的P、W和P0值的要求。但要將它放在合適的位置，本例中將它放在像面前邊，離開(kāi)光欄較遠(yuǎn)處。利用無(wú)光焦度這一特性，作者曾多次用到無(wú)光焦度組校正像差[5，12-13]。

P、W和P0值小的解容易得到高級(jí)像差小的解。P0值小，可選用的玻璃多，P0值大則需要采用較特殊的玻璃，如高折射率、高色散，高折射率、低色散，低折射率、低色散等。如果P0值小，P和W大，用普通玻璃也可能有解，但得出的半徑小。

依據(jù)上述理念，得出各組元的結(jié)構(gòu)。前固定組的P0值為-0.319 4，是比較大的，其中膠合透鏡采用高折射率、高色散和低折射率、低色散玻璃ZF7和K9，而單透鏡采用高折射率、低色散玻璃LAK2，取雙膠合光焦度比為0.3，得到了高級(jí)像差小的解。前膠合透鏡組的光焦度比小還有個(gè)好處是，透鏡加厚后可以使主面向后移，這可以減小透鏡加厚以后產(chǎn)生的像差變化量。如果將LAK2換成ZK9,則光焦度比為0.4才有解，解出的膠合面半徑比用LAK2小。雙膠合光焦度占比應(yīng)盡量小，這會(huì)增大膠合面半徑。對(duì)后固定組前組，因P0值比前固定組還大，為-0.446 6,因此用同樣的玻璃，取光焦度比為0.4才有解。變倍組的P0值很小為-0.057 3，因此可選用玻璃比較多，允許的光焦度分配范圍也比較寬，但P和W值比較大，經(jīng)綜合考慮后，選用ZF7和ZK9，雙膠合占光焦度比為0.4。前固定組的雙膠合選取火石在前，變倍組為冕在前。得出的膠合面半徑都彎向光欄，可以有效地降低軸外視場(chǎng)的高級(jí)像差。對(duì)于補(bǔ)償組，因偏角較小，且離光欄較近，主光線高度很低，不用考慮軸外高級(jí)像差，但因?yàn)镻0值(-4.159 7)和P(-1.865 3)、W(1.802 6)都很大，從P0表可知[11]，若采用雙膠合形式，需兩個(gè)折射率較低，且差值較小，以及阿貝數(shù)較小的玻璃才有解。即使有這樣的玻璃，但得到的解要極度彎曲，致使半徑很小，而且透鏡加厚以后，還會(huì)令主面離開(kāi)透鏡組外比較遠(yuǎn)，這會(huì)使透鏡組加厚后的像差產(chǎn)生大的變化。因此采用了雙膠合分離的形式。這種正負(fù)分離的形式可滿足很大的P、W和P0值。最終采用高折射率、高色散和高折射率、低色散玻璃ZF7和ZK9，且火石玻璃在前，解出的半徑比較大，產(chǎn)生的高級(jí)像差小。有時(shí)還可以利用補(bǔ)償組產(chǎn)生的正的高級(jí)像差來(lái)補(bǔ)償前固定組產(chǎn)生的負(fù)的高級(jí)像差。對(duì)于無(wú)光焦度組，單透鏡焦距可任意選擇，可用來(lái)校正高級(jí)像差，最終選定為-22 mm。負(fù)焦距表示負(fù)透鏡在前，用的都是ZK9玻璃。

究竟選哪一種結(jié)構(gòu)形式和什么玻璃，最后要經(jīng)過(guò)光線追跡算出像差后，由高級(jí)像差大小來(lái)確定。對(duì)無(wú)先例的、非常規(guī)光學(xué)系統(tǒng)要經(jīng)過(guò)多次地選擇和計(jì)算。對(duì)于像本例這樣的常規(guī)光學(xué)系統(tǒng)，因?yàn)橛辛私?jīng)驗(yàn)，追跡光線次數(shù)就少多了。得出的最終結(jié)果見(jiàn)表6。對(duì)于色差，令每組C1=0，因此C2=0。追跡光線計(jì)算像差是用國(guó)內(nèi)程序CAOD程序完成的，其中色差的符號(hào)和ZEMAX程序相反。計(jì)算出的像差見(jiàn)表7。

表6 各組元的和p0值以及結(jié)構(gòu)

表7中的像差系數(shù)和由解像差方程得出的像差系數(shù)(表3)不完全一致。這是由于在公式中采用了統(tǒng)一的、歸一化的場(chǎng)曲系數(shù)μ值的緣故，而實(shí)際上各組元選用的玻璃不同，因而μ值也不同。但因μ值差別很小，對(duì)結(jié)果沒(méi)什么影響。由非0點(diǎn)位置的F=70和F=30兩欄的像差可見(jiàn)，像差變化量很小，和由解像差方程得出的結(jié)果是一致的。

由于C1=0，因此C線和F線在軸上交于一點(diǎn)，此點(diǎn)距d線軸上點(diǎn)的距離為0.086 mm(相當(dāng)于1.14個(gè)波長(zhǎng))。這就是二級(jí)光譜的幾何量。二級(jí)光譜是影響長(zhǎng)焦距成像質(zhì)量的主要因素。它隨筒長(zhǎng)的增加而減小，這和變焦距系統(tǒng)的形式，如正組補(bǔ)償還是負(fù)組補(bǔ)償，沒(méi)多大關(guān)系。

表7 薄透鏡系統(tǒng)像差

注：S2一列中的像差為O.S.C. C1一列中的色差是以波長(zhǎng)為單位。

表8 初始解(厚透鏡系統(tǒng))的像差

經(jīng)分析，透鏡加厚后產(chǎn)生的色差和單色像差校正有矛盾。為只改變色差而單色像差保持不變，用折射率相等、阿貝數(shù)不等的玻璃ZBAF1換掉變倍組中單透鏡的玻璃ZK9；用F2換掉無(wú)光焦度組中的ZK9。上述結(jié)果在ZEMAX軟件上進(jìn)行像差優(yōu)化。經(jīng)計(jì)算得到的像差見(jiàn)表8。和薄透鏡系統(tǒng)比較，像差特別是高級(jí)像差變化不大?？v觀各焦距的像差，最長(zhǎng)焦距的O.S.C和像散的高級(jí)量大了點(diǎn)。但考慮到最長(zhǎng)焦距的邊緣光線要攔掉30%多，因此影響不會(huì)大。無(wú)光焦度組加厚以后，將產(chǎn)生像差很小的最后一面半徑稍加修改，使之滿足實(shí)際上的無(wú)光焦度，即滿足u＇-u= 0。因此焦距不再是無(wú)窮大。初始解結(jié)果見(jiàn)表9。

表9 初始解結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)

表10 最終設(shè)計(jì)結(jié)果結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)

4 用ZEMAX 程序進(jìn)行像差優(yōu)化

用ZEMAX 或 CODE V 進(jìn)行像差優(yōu)化，在初始解合理的前提下，可以得到很好的效果[14-15]，但如果優(yōu)化結(jié)果中各組元的焦距和主面間隔與初始解相差較大，則前面求初始解的意義就要打折扣了。為此采用以下措施來(lái)盡量減小兩者的差別。

首先按照0點(diǎn)理念，參與用ZEMAX優(yōu)化的焦距位置應(yīng)該是3個(gè)，且3個(gè)焦距位置應(yīng)該和求初始解時(shí)的0點(diǎn)焦距相同，即F為100、55和10。這3個(gè)焦距位置都要在程序設(shè)定的默認(rèn)操作數(shù)前邊加進(jìn)兩個(gè)操作數(shù)，一是ISFN，以保證3個(gè)焦距的相對(duì)孔徑和焦距值不變，二是ZTHI,以保證各焦距位置的總長(zhǎng)度相等。結(jié)果是比較快地就得到了MTF值比較高的結(jié)果，但是各組元的焦距和主面之間的距離和初始解差別比較大。后來(lái)在最長(zhǎng)焦距位置(也可以是其它焦距)上加進(jìn)3個(gè)操作數(shù)，一是TOTR， 讓光學(xué)筒長(zhǎng)和初始解盡量保持相同。二是PETZ， 讓匹茲瓦曲率半徑(程序中有這個(gè)值)、也即S4 和初始解盡量保持相同 。三是PARB，將每一組元的、軸上光線的出射角(用Y方向的余弦表示)和初始解相同。最終取得了比較滿意的結(jié)果。經(jīng)優(yōu)化得到的最終結(jié)果見(jiàn)表10。結(jié)構(gòu)圖和傳遞函數(shù)見(jiàn)圖3。根據(jù)人眼的敏感程度，將D線C線和F線的權(quán)重比設(shè)為2∶ 1∶ 1.筒長(zhǎng)為109.6 mm。

參與像差平衡的3個(gè)焦距F=100、55和10都處在最佳像面，而且都在一個(gè)像面上，而沒(méi)參與像差平衡的F=70和30兩個(gè)焦距的最佳像面偏離了參與像差平衡的3個(gè)焦距的最佳像面。見(jiàn)表10。兩個(gè)焦距的最佳像面是用工具欄中的快速調(diào)焦得到的。為保證在連續(xù)變焦過(guò)程中的成像質(zhì)量，應(yīng)該按文獻(xiàn)[10]的方法，對(duì)初始解得到的補(bǔ)償曲線進(jìn)行修正。其實(shí)，對(duì)一般的變焦距物鏡設(shè)計(jì)，也都應(yīng)當(dāng)進(jìn)行這一修正。

F=70.05和F=30.02的傳遞函數(shù)和參與優(yōu)化的3個(gè)焦距相比差別不大，說(shuō)明在連續(xù)變焦過(guò)程中，像差變化不大。這和初始解得到的結(jié)果一致的。

5 結(jié) 論

從設(shè)計(jì)過(guò)程可見(jiàn)，系統(tǒng)各參數(shù)，包括各組元的焦距、主面距離、結(jié)構(gòu)形式、光學(xué)材料、光學(xué)筒長(zhǎng)、凸輪形式、倍率段的選擇，獨(dú)有的后固定組形式的設(shè)計(jì)等，以及減小在連續(xù)變焦過(guò)程中的像差變化量等問(wèn)題，在求初始解的過(guò)程中就已經(jīng)解決了。從表10和表9的對(duì)比可見(jiàn)，透鏡組彎曲狀況也沒(méi)有發(fā)生太大的變化。這說(shuō)明了初始解所起到的作用是主導(dǎo)性的，而且能夠給出一個(gè)好的初始解。而ZEMAX的優(yōu)化功能只是起到像差最佳平衡的作用。但是，像差優(yōu)化的工作量比求初始解大得多，沒(méi)有ZEMAX這樣先進(jìn)的軟件是很難得到好的設(shè)計(jì)結(jié)果的。兩者還能用0點(diǎn)理念有效地連接起來(lái)。因此，利用高斯光學(xué)和三級(jí)像差理論求初始解，再用ZEMAX或CODE V進(jìn)行像差優(yōu)化是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。這一事實(shí)也表明，在具有先進(jìn)的計(jì)算機(jī)技術(shù)和像ZEMAX和CODE V這樣可以提供強(qiáng)大優(yōu)化功能的光學(xué)軟件的今天，傳統(tǒng)的像差理論并沒(méi)有過(guò)時(shí)，而是應(yīng)該更加有用武之地。