高嫄嫄， 王維玉， 趙慶新

(1. 燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004； 2. 河北省建筑科學(xué)研究院，河北 石家莊 050051)

0 引 言

半剛性基層瀝青路面以其良好的剛度，強(qiáng)度和穩(wěn)定性成為目前國(guó)內(nèi)廣泛采用的一種路面結(jié)構(gòu)形式。但是由于半剛性基層材料的特性，由溫縮和干縮所引起的半剛性基層開(kāi)裂且裂縫向?yàn)r青面層反射是這類(lèi)路面結(jié)構(gòu)的主要破壞形式之一。當(dāng)裂縫不斷擴(kuò)展而貫穿整個(gè)路面結(jié)構(gòu)，路表水進(jìn)入到對(duì)水更為敏感的土基時(shí)將形成更為嚴(yán)重的路面結(jié)構(gòu)性破壞，因此，成諸多學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題。

針對(duì)瀝青路面半剛性基層裂縫反射機(jī)理的研究方法主要包括室內(nèi)試驗(yàn)[1-3]、室外足尺試驗(yàn)[4-5]和理論建模模擬等[6-7]。徐華等利用改進(jìn)的Williams級(jí)數(shù)，結(jié)合廣義參數(shù)有限元法和常規(guī)等參元法等方法，對(duì)反射裂縫擴(kuò)展過(guò)程中應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律進(jìn)行研究[8]。王雪蓮等采用，對(duì)半剛性基層復(fù)合路面結(jié)構(gòu)裂縫尖端應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行研究，分析裂縫擴(kuò)展機(jī)理以影響裂縫擴(kuò)展速率的因素[9]。鄭大為等應(yīng)用有限差分?jǐn)?shù)值軟件FLAC3D數(shù)值模擬基層水泥含量對(duì)反射裂縫影響[10]。元松等基于疲勞斷裂理論，應(yīng)用ANSYS有限元軟件研究路面結(jié)構(gòu)層各參數(shù)、層間接觸狀態(tài)和荷載的作用方式等對(duì)瀝青路面反射裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子變化規(guī)律的影響[11]。對(duì)于半剛性基層瀝青路面裂縫反射機(jī)理的研究雖然開(kāi)展了大量的工作，但仍沒(méi)能完全解決這一問(wèn)題。開(kāi)展基于解析方法的半剛性基層開(kāi)裂瀝青路面的力學(xué)性能研究，解析解可更直接的體現(xiàn)裂縫擴(kuò)展控制變量與路面各參數(shù)間的量化關(guān)系。

以斷裂力學(xué)理論為基礎(chǔ)，建立半剛性基層含裂縫的瀝青路面理論分析模型，根據(jù)線彈性疊加理論將問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，并在此基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)公式推導(dǎo)求得路面結(jié)構(gòu)內(nèi)任一點(diǎn)位移、應(yīng)力及應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式和數(shù)值解。分析裂縫在半剛性基層中出現(xiàn)的位置、車(chē)輛荷載的位置及各結(jié)構(gòu)層模量對(duì)裂縫擴(kuò)展的影響。為半剛性基層瀝青路面結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和施工提供理論參考依據(jù)。

1 模型的建立

將半剛性基層瀝青路面結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為彈性層狀體，計(jì)算模型如圖1。模型中x為路面深度方向，y為路面縱向方向，h0為瀝青面層的厚度，h1為半剛性基層的厚度，Em(m=0,1,2)分別為瀝青面層、半剛性基層和土基彈性模量，μm(m=0,1,2)為路面各結(jié)構(gòu)層的泊松比，P(y)為車(chē)輛荷載的線分布函數(shù)，L為荷載作用的范圍，l為荷載中心到裂縫的水平距離，a，b分別為裂縫兩端點(diǎn)到路表面的距離。當(dāng)a=h0時(shí)，裂縫出現(xiàn)在半剛性基層頂部。

圖1 含裂縫半剛性基層瀝青路面結(jié)構(gòu)理論分析模型Fig. 1 Theoretical analysis model of semi-rigid base asphalt pavement structure with cracks

由線彈性疊加原理，為簡(jiǎn)化計(jì)算，將圖1模型簡(jiǎn)化為3個(gè)子問(wèn)題疊加的形式，如圖2、圖3和圖4。圖2模型為車(chē)輛荷載作用下的瀝青路面結(jié)構(gòu)。圖3模型為半剛性基層含有裂縫且裂縫表面作用有對(duì)稱(chēng)荷載的瀝青路面結(jié)構(gòu)。圖4為半剛性基層含有裂縫且裂縫表面作用有反對(duì)稱(chēng)荷載的瀝青路面結(jié)構(gòu)。

圖2 子模型1Fig. 2 Sub-model 1

圖3 子模型2Fig. 3 Sub-model 2

圖4 子模型3Fig. 4 Sub-model 3

由于子問(wèn)題2與子問(wèn)題3的求解過(guò)程相類(lèi)似，子問(wèn)題1的求解過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，所以這里不做詳細(xì)介紹。由線彈性疊加理論，子問(wèn)題2、3中的p1(x)和q1(x)可通過(guò)子問(wèn)題1的求解得到，可表示為：

(1)

筆者將著重論述子問(wèn)題2的求解過(guò)程。

子問(wèn)題2(圖3模型)的邊界條件如下：

σxx0(0,y)=0,-∞

(2)

σxy0(0,y)=0,-∞

(3)

σxy0(x,0)=0,0

(4)

v0(x,0)=0,0

(5)

σxy1(x,0)=0,h0

(6)

v1(x,0)=0,h0

(7)

σyy2(x,0)=p1(x),a

(8)

σxy2(x,0)=0,h0+h1

(9)

v2(x,0)=0,h0+h1

(10)

σxx2→0,σyy2→0,σxy2→0,y→∞,x→∞

(11)

u0(h0,y)=u1(h0,y),-∞

(12)

v0(h0,y)=v1(h0,y),-∞

(13)

σxx0(h0,y)=σxx1(h0,y),-∞

(14)

σxy0(h0,y)=σxy1(h0,y),-∞

(15)

u1(h0+h1,y)=u2(h0+h1,y),-∞

(16)

v1(h0+h1,y)=v2(h0+h1,y),-∞

(17)

σxx1(h0+h1,y)=σxx2(h0+h1,y),-∞

(18)

σxy1(h0+h1,y)=σxy2(h0+h1,y),-∞

(19)

2 子問(wèn)題2的求解

平面問(wèn)題位移解法控制方程可統(tǒng)一表示為[12]：

(20)

(21)

式中：對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，k=(3-μ)/(1+μ)，對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，k=3-4μ，在子問(wèn)題2中，k=3-4μ；u，v分別為沿x和y軸方向的位移。

由胡克定律，應(yīng)力與位移可表示為：

(22)

(23)

(24)

式中：G為剪切模量。

分別對(duì)位移控制方程式(20)，(21)做關(guān)于x和y的傅里葉變換，將偏微分方程組轉(zhuǎn)化為常微分方程組，解常微分方程組可以得到位移um和vm的表達(dá)式為：

(25)

e-ηx[ηAm3+(ηx-km)Am4]}sin(ηy)dη+

(26)

式中：Bm3和Bm4為變量ξ的函數(shù)；Am1，Am2，Am3和Am4為變量η的函數(shù)；m=0,1,2。

由胡克定律，將式(25)和(26)代入到式(22)～(24)中，可以得到應(yīng)力表示：

e-ηx[-2ηAm3+(km-1-2ηx)Am4]}cos(ηy)dη+

|ξ|(km2-4km+3)Bm4]dξ

(27)

e-ηx[2ηAm3-(km+3-2ηx)Am4]}cos(ηy)dη+

(28)

e-ηx[-2ηAm3+(km+1-2ηx)Am4]}sin(ηy)dη-

(29)

因計(jì)算模型各層中μm的取值相差不大，對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的影響不大，所以取μ0=μ1=μ2=μ，即k0=k1=k2=k。

為推導(dǎo)公式方便，引入位錯(cuò)密度函數(shù)[13]，其定義是為：

(30)

式中：g1(x)=0,h0

未知函數(shù)Am1、Am2、Am3、Am4、Bm3和Bm4可用位錯(cuò)密度函數(shù)表示。

將應(yīng)力與位移的表達(dá)式代入到邊界條件式(6)、(7)、(9)、(10) 和 (11)中，可得到：

B01=B02=B23=B24=0

(31)

A21=A22=0

(32)

根據(jù)位錯(cuò)密度函數(shù)的定義式，將應(yīng)力表達(dá)式帶入到邊界條件式(6)中，經(jīng)過(guò)整理可以得到：

(33)

(34)

將位移及應(yīng)力表達(dá)式帶入到邊界條件(2)～(3)和(12)～(19)，分別對(duì)等式兩邊進(jìn)行傅里葉積分逆變換并應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)雜積分，可以得到：

2ηA01+(k-1)A02-2ηA03+(k-1)A04=0

(35)

-2ηA01-(k+1)A02-2ηA03+(k+1)A04=0

(36)

eηh0(A01+A02h0)+e-ηh0(A03+A04h0)-

eηh0(A11+A12h0)-e-ηh0(A13+A14h0)=

(37)

(38)

G0{eηh0[2ηA11+(k-1+2ηh0)A12]+

e-ηh0[-2ηA13+(k-1-2ηh0)A14]}-

G1{eηh0[2ηA21+(k-1+2ηh0)A22]+

e-ηh0[-2ηA23+(k-1-2ηh0)A24]}=

(39)

G0{eηh0[-2ηA01-(k+1+2ηh0)A02]+

e-ηh0[-2ηA03+(k+1-2ηh0)A04]}-

G1{eηh0[-2ηA11-(k+1+2ηh0)A12]+

e-ηh0[-2ηA13+(k+1-2ηh0)A14]}=

(40)

eη(h0+h1)[A11+(h0+h1)A12]+e-η(h0+h1)[A13+(h0+h1)A14]-e-η(h0+h1)[A23+(h0+h1)A24]=

(41)

-eη(h0+h1){ηA11+[η(h0+h1)+k]A12}+

e-η(h0+h1){ηA13+[η(h0+h1)-k]A14}-

e-η(h0+h1){ηA23+[η(h0+h1)-k]A24}=

(42)

G1eη(h0+h1){2ηA11+[k-1+2η(h0+h1)]A12}+

G1e-η(h0+h1){-2ηA13+[k-1-2η(h0+h1)A14]}-

G2e-η(h0+h1){-2ηA23+[k-1-2η(h0+h1)]A24}=

(43)

(44)

式中：F11(η,t)～F18(η,t)為η,t的函數(shù)。

解由式(35)～(44)組成的線性方程組，可得到Am1、Am2、Am3、Am4、Bm3和Bm4關(guān)于g1(x)的具體表達(dá)式。

將Am1、Am2、Am3、Am4、Bm3和Bm4帶入到邊界條件式(8)中，經(jīng)過(guò)整理化簡(jiǎn)可得到：

(45)

(46)

(47)

式中：ωj為權(quán)函數(shù)，ωj=π/(n-1),j=2,…,n-1，ω1=ωn=π/2(n-1)；rj=cos((j-1)π/(n-1)),j=1,…,n；si=cos((2i-1)π/(2n-1)),i=1,…,n-1。

由位錯(cuò)密度函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于平面內(nèi)部含有裂縫的問(wèn)題可以得到補(bǔ)充方程：

(48)

求解線性方程組(47)和(48)可以得到問(wèn)題的數(shù)值解。

由應(yīng)力強(qiáng)度因子的定義式[13]：

(49)

(50)

經(jīng)過(guò)整理可以得到：

(51)

(52)

子問(wèn)題3與子問(wèn)題2的求解過(guò)程相類(lèi)似，其應(yīng)力強(qiáng)度因子定義式為：

(53)

(54)

3 計(jì)算實(shí)例分析

為了分析影響裂縫在半剛性基層中擴(kuò)展的主要因素，以實(shí)際瀝青路面為例，應(yīng)用本文前面介紹的公式推導(dǎo)過(guò)程和奇異積分?jǐn)?shù)值求解方法，計(jì)算裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值解。圖1為瀝青路面模型，各參數(shù)選取如下：h0=0.25 m，h1=0.5 m，k=1.6，L=0.15 m，P(y)=0.7 MPa，E0=1500 MPa，E1=2 000 MPa，E2=50 MPa，裂縫的長(zhǎng)度d=b-a=0.01 m。筆者重點(diǎn)研究了裂縫向?yàn)r青面層擴(kuò)展的規(guī)律，所以只對(duì)裂縫尖端a的應(yīng)力強(qiáng)度因子值進(jìn)行了討論。對(duì)比分析了裂縫在基層中出現(xiàn)的位置、車(chē)輛荷載與裂縫的相對(duì)位置及路面結(jié)構(gòu)層模量對(duì)裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果的影響，計(jì)算結(jié)果如圖5～圖10。

圖5 不同裂縫位置及不同荷載位置應(yīng)力強(qiáng)度因子KIa計(jì)算結(jié)果Fig. 5 Calculation results of stress intensity factor KIa with differentvcrack locations and different load positions

圖6 不同裂縫位置及不同荷載位置應(yīng)力強(qiáng)度因子KIIa計(jì)算結(jié)果Fig. 6 Calculation results of stress intensity factor KIIa with different crack locations and different load positions

圖7 不同瀝青面層模量及不同裂縫位置應(yīng)力強(qiáng)度因子KIa計(jì)算結(jié)果Fig. 7 Calculation results of stress intensity factor KIa with different asphalt surface modulus and different crack locations

圖8 不同瀝青面層模量及不同裂縫位置應(yīng)力強(qiáng)度因子KIIa計(jì)算結(jié)果Fig. 8 Calculation results of stress intensity factor KIIa with different asphalt surface modulus and different crack locations

圖9 不同半剛性基層模量及不同裂縫位置應(yīng)力強(qiáng)度因子KIa計(jì)算結(jié)果Fig. 9 Calculation results of stress intensity factor KIa with different semi-rigid base modulus and different crack locations

圖10 不同半剛性基層模量及不同裂縫位置應(yīng)力強(qiáng)度因子KIIa計(jì)算結(jié)果Fig. 10 Calculation results of stress intensity factor KIIa with different semi-rigid base modulus and different crack locations

當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子KIa為負(fù)值時(shí)說(shuō)明裂縫尖端作用有壓應(yīng)力，這對(duì)于阻止裂縫擴(kuò)展是有利，所以本文側(cè)重討論KIa為正值得情況。而KIIa的正負(fù)只表明裂縫滑動(dòng)趨勢(shì)方向不同，對(duì)于裂縫擴(kuò)展的效果都是一樣的，所以對(duì)KIIa主要討論其絕對(duì)值的大小。

圖5為裂縫出現(xiàn)在不同位置及不同荷載位置下KIa的計(jì)算結(jié)果。由圖5可知：當(dāng)a-h0小于0.15 m時(shí)，KIa都為負(fù)值，在這里不做討論；當(dāng)a-h0大于0.2 m，KIa為正值，并且在荷載位置一定的情況下，KIa隨著a-h0的增大而增大。所以裂縫出現(xiàn)的位置越靠近半剛性基層下部越容易出現(xiàn)張開(kāi)型反射裂縫。

圖6為裂縫出現(xiàn)在不同位置及不同荷載位置下KIIa的計(jì)算結(jié)果。由圖6可知：裂縫與荷載中心的水平相對(duì)位置l小于0.3 m且荷載位置一定時(shí)，KIIa值隨著a-h0增大而增大；當(dāng)l大于0.3 m時(shí)，這種變化趨勢(shì)不再明顯；當(dāng)a-h0為定值，l在0.2 ～0.3 m時(shí)，KIIa出現(xiàn)最大值，這也是滑開(kāi)型裂縫是最不利的荷載位置。

圖7和圖8分別為瀝青面層彈性模量在1 200～1 600 MPa范圍內(nèi)變化時(shí)KIa和KIIa的計(jì)算結(jié)果。圖7中曲線KIa>0的部分和圖8中的幾條曲線都幾乎重疊在一起，說(shuō)明通過(guò)改變?yōu)r青面層的彈性模量來(lái)抑制裂縫擴(kuò)展是不可行的。

圖9和圖10分別為在最不利荷載位置(即l=0 m和l=0.3 m)下且半剛性基層模量在1 200 MPa～2 000 MPa范圍內(nèi)變化時(shí)KIa和KIIa的計(jì)算結(jié)果。對(duì)比圖9中幾條曲線KIa大于0的部分和圖10的幾條曲線，KIa和KIIa都隨著半剛性基層模量的減小而減小，所以可以考慮通過(guò)降低半剛性基層的彈性模量來(lái)減緩或抑制裂縫向面層的反射。

5 結(jié) 論

以斷裂力學(xué)理論為基礎(chǔ)，建立含裂紋半剛性基層瀝青路面理論分析模型。通過(guò)公式推導(dǎo)、數(shù)值計(jì)算得到含裂紋半剛性基層瀝青路面內(nèi)任一點(diǎn)的位移、應(yīng)力及應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式及其數(shù)值解。從實(shí)例的計(jì)算結(jié)果可知：

1)從半剛性基層向?yàn)r青面層擴(kuò)展的裂縫主要為滑開(kāi)型裂縫，荷載中心到裂縫的水平距離在0.2～0.3 m時(shí)為最不利荷載位置。

2)改變?yōu)r青面層彈性模量對(duì)抑制基層中裂縫的擴(kuò)展作用不大。

3)降低半剛性基層模量值可以減小裂縫尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值、可以抑制或減緩基層中裂縫的擴(kuò)展。