王 瑛,孫 贇,孟祥飛,亓 堯,李 超

(空軍工程大學裝備管理與無人機工程學院,陜西 西安 710051)

0 引 言

隨著國防技術(shù)的迅猛發(fā)展,武器裝備融合多種高新技術(shù),系統(tǒng)關(guān)聯(lián)復雜,部隊戰(zhàn)斗力得到很大提升,如何對這些復雜裝備進行科學的管理是急需解決的問題[1-2]。復雜裝備系統(tǒng)內(nèi)部各個子系統(tǒng)之間相互作用和相互影響使得系統(tǒng)在執(zhí)行任務的過程中存在一定的脆弱性和風險,刻畫系統(tǒng)各個風險因素間的關(guān)系,研究復雜裝備系統(tǒng)中的風險傳遞,對于發(fā)現(xiàn)復雜裝備系統(tǒng)的風險機理有著很重要的意義[3-4]。

圖形評審技術(shù)(gragh evaluation review technique,GERT)是能夠反映系統(tǒng)在內(nèi)部與外部隨機因素、隨機變量作用下,各構(gòu)成要素間相互關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)分析技術(shù)[5],該方法為解決包含隨機因素的問題提供了有效的工具[6-7]。傳統(tǒng)的GERT網(wǎng)絡(luò)理論基于經(jīng)典的概率論,主要描述隨機型問題[8-9]。但是在實際的社會實踐中,常常遇到各種非決定性的現(xiàn)象,這些非決定現(xiàn)象有足量樣本數(shù)據(jù)的情況下可以利用概率統(tǒng)計得到概率分布函數(shù),應用概率論解決問題,比如裝備保障系統(tǒng)庫存優(yōu)化中備件配送的具體時間[10],裝備維修決策中部件的磨損程度等[11];沒有足量樣本數(shù)據(jù)的情況下,只能邀請相關(guān)的專家給出事件發(fā)生的信度得到不確定分布函數(shù),比如無人機任務分配中無人機執(zhí)行具體任務的威脅程度[12],部隊安全管理狀況對任務完成的影響程度等。對于這種包含多種非決定現(xiàn)象的問題,傳統(tǒng)的GERT網(wǎng)絡(luò)不再適用。為解決專家信度給出的不確定變量,劉寶碇教授提出不確定理論[13],隨著大量學者的深入研究,該理論已經(jīng)成為一個嚴密的數(shù)學系統(tǒng),并且已經(jīng)應用到多目標規(guī)劃、數(shù)據(jù)挖掘、網(wǎng)絡(luò)分析等領(lǐng)域[14]。為處理同時存在隨機變量和不確定變量的問題[15],劉寶碇教授提出不確定隨機變量,進而發(fā)展出機會理論[16-17],目前該理論主要在目標規(guī)劃[18-19]、網(wǎng)絡(luò)分析[20-21]等領(lǐng)域進行應用,在裝備風險分析方面的研究比較少見。

在復雜裝備系統(tǒng)中一個合理的假設(shè)是,有些風險變量為隨機變量可以得到概率密度函數(shù),有些變量為不確定變量可以得到不確定分布。本文針對復雜裝備系統(tǒng)在進行任務活動中表現(xiàn)出的兼具隨機性和不確定性的特點,提出不確定隨機GERT(uncertain random GERT,UR-GERT)網(wǎng)絡(luò)模型。首先基于風險度的不確定隨機特性,提出不確定隨機矩母函數(shù),并對該矩母函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進行了探討;然后針對風險度的不同類型提出相應的求解方法;最后通過復雜裝備系統(tǒng)執(zhí)行眼鏡蛇機動的任務進行了風險分析,證明該方法的科學性和有效性。

1 相關(guān)理論介紹

定義1[16]機會測度。如果(Ω,A,Pr)表示概率空間,(Γ,L,M)表示不確定空間,那么兩者的乘積(Γ,L,M)×(Ω,A,Pr)表示機會空間,如果Θ表示的是L×A的一個事件,則稱事件Θ的機會測度為

(1)

式中,Ω表示非空集合;A表示Ω上的σ-代數(shù);A中的每個元素稱為事件;Pr表示概率測度;Γ表示非空集合;L表示Γ上的σ-代數(shù);L中的每個元素稱為事件;M表示不確定測度。

定義2[16]不確定隨機變量。從機會空間(Ω,A,Pr)×(Γ,L,M)到實數(shù)集R的一個可測函數(shù)稱為不確定隨機變量。

注釋1?B∈R,A×L中的事件可以表示為{ξ∈B}={(γ,ω)∈?！力竱ξ(γ,ω)∈B}。其中,γ表示不確定變量,ω表示隨機變量。如果γ確定,那么ξ就變?yōu)殡S機變量,如果ω確定,那么ξ變?yōu)椴淮_定變量。

定義3[16]機會分布。如果Φ(x)對不確定隨機變量ξ滿足

Φ(x)=Ch{ξ≤x},?x∈R

(2)

那么,Φ(x)稱為ξ的機會分布。

定義4[20]不確定隨機變量的期望值。如果不確定隨機變量ξ存在期望值,那么,稱

(3)

為不確定隨機變量的期望值。

注釋2如果不確定隨機變量的機會分布為Φ(x),那么,變量的期望值為

(4)

(5)

(6)

ξ=f(ω1,ω2,…,ωm,γ1,γ2,…,γn)

(7)

滿足f(ω1,ω2,…,ωm,γ1,γ2,…,γn)對于γ1,γ2,…,γn是單調(diào)函數(shù)時,該變量存在期望值為

E[ξ]=

(8)

2 風險傳遞UR-GERT模型構(gòu)建

風險傳遞UR-GERT模型由節(jié)點、流和邊構(gòu)成,在該模型中異或型節(jié)點表示風險基元vi,風險基元分為不確定型風險基元和隨機型風險基元;網(wǎng)絡(luò)的邊表示風險基元之間的相互影響關(guān)系;網(wǎng)絡(luò)的流表示為sij=(pij,hi),pij表示風險傳遞強度,hi表示風險度,可以建立如圖1所示的風險傳遞UR-GERT的基本構(gòu)成單元。

圖1 UR-GERT結(jié)構(gòu)模型
Fig.1 Structure model of UR-GERT

構(gòu)建風險傳遞UR-GERT模型的步驟如下:

步驟1根據(jù)復雜裝備系統(tǒng)的不同任務活動,識別出可能出現(xiàn)的事故場景;

步驟2在事故場景中識別風險基元,同時區(qū)分風險基元類型,明確網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點;

步驟3分析各風險基元間串聯(lián)、并聯(lián)等邏輯關(guān)系,明確網(wǎng)絡(luò)的邊;

步驟4收集風險基元和風險傳遞強度等數(shù)據(jù),明確網(wǎng)絡(luò)的流,繪制UR-GERT網(wǎng)絡(luò)圖。

定義5風險度。描述復雜裝備系統(tǒng)對于完成任務產(chǎn)生影響的可能性程度稱為風險度。風險度根據(jù)系統(tǒng)的組成可分為基元風險度和系統(tǒng)風險度;根據(jù)風險度不同的刻畫方法可分為不確定型風險度和隨機型風險度。

定義6[9]風險傳遞UR-GERT網(wǎng)絡(luò)的矩母函數(shù)和傳遞系數(shù)。如果復雜裝備系統(tǒng)風險基元vi的風險度hi∈R,那么,稱

(9)

為風險基元vi風險度hi的矩母函數(shù);

稱

Wij(θ,hi)=pijMvi(θ,hi)

(10)

為風險基元vi→vj的傳遞系數(shù)。

性質(zhì)1不確定隨機變量的矩母函數(shù)可以生成該變量的各階原點矩。

證明

證畢

性質(zhì)2不同的不確定隨機矩母函數(shù)對應于不同的正則機會分布。

注釋5不確定變量的矩母函數(shù)計算公式為

(11)

注釋6[9]隨機變量的矩母函數(shù)計算公式為

(12)

定義7UR-GERT網(wǎng)絡(luò)的等價傳導強度和等價矩母函數(shù)。

稱風險傳遞UR-GERT模型的等價傳導強度為

pE=WE(θ)|θ=0

(13)

稱風險傳遞UR-GERT模型的等價矩母函數(shù)為

(14)

定義8[22]復雜裝備系統(tǒng)風險度。復雜裝備風險傳遞UR-GERT網(wǎng)絡(luò)的風險度，復雜裝備系統(tǒng)風險度為

(15)

其中

(16)

(17)

注釋7基元風險度h既包括概率型風險度hω1,hω2,…,hωm,也包括不確定型風險度hγ1,hγ2,…,hγn,那么系統(tǒng)風險度HE為不確定隨機變量。

HE=f(hω1,hω2,…,hωm,hγ1,hγ2,…,hγn)

(18)

系統(tǒng)風險度為不確定隨機變量,由系統(tǒng)風險度推導出的等價矩母函數(shù)和等價傳導強度也是不確定隨機變量,由此構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)模型為UR-GERT模型。

定義9風險基元重要度。基元風險度的改變導致系統(tǒng)風險度HE改變的程度,稱復雜裝備活動中風險基元vi重要度為

Ii(t)=HE(1i,h(t))-HE(0i,h(t))

(19)

式中,HE(1i,h(t))、HE(0i,h(t))分別為復雜裝備在t時刻風險vi傳遞和不傳遞時的系統(tǒng)風險度。

3 風險傳遞UR-GERT模型求解

3.1 計算風險傳遞強度

復雜裝備系統(tǒng)執(zhí)行不同的任務活動,事故場景中的風險基元相互作用和影響,風險傳遞UR-GERT模型中的風險流隨之發(fā)生變化,當風險度超過風險閾值,復雜裝備系統(tǒng)就會出現(xiàn)事故。利用復雜裝備系統(tǒng)風險傳遞強度pij描述風險基元vi對風險基元vj的影響程度。此處主要考慮風險基元間的相互影響,暫不考慮風險基元的風險變化直接對整個系統(tǒng)風險度的影響。根據(jù)定義可知,pij越大,相應的風險基元的風險傳遞能力就越強。

定義10[22]風險傳遞強度。如果復雜裝備風險基元vi與vj的功效系數(shù)分別表示為Ui、Uj,那么,稱風險傳遞模型的風險傳遞強度為

(20)

其中

式中，αi,βi表示復雜裝備系統(tǒng)風險基元vi的風險度hi樣本的邊界值。

3.2 不確定型風險度的矩母函數(shù)求解

本文使用矩估計法依據(jù)專家的經(jīng)驗數(shù)據(jù)來確定hi的不確定分布。假設(shè)收集數(shù)據(jù)可以得到一系列專家經(jīng)驗數(shù)據(jù)即

(x1,α1),(x2,α2),…,(xm,αm)

式中,經(jīng)驗數(shù)據(jù)滿足0≤x1

假設(shè)該不確定變量服從如下不確定分布為

Φ(x|θ1,θ2,…,θm)

(21)

式中,當滿足k=1,2,…,m時有

在風險分析中較為常見的是線性不確定分布和之字形不確定分布,因此本文以這兩種分布為例進行討論,線性不確定分布L(a,b)和之字形不確定分布Z(a,b,c)如式(22)和式(23)所示。在求解出未知數(shù)得到風險度不確定分布的基礎(chǔ)上可以計算風險度對應的矩母函數(shù)。

線性不確定分布L(a,b)的分布為

(22)

之字形不確定分布的分布函數(shù)為

(23)

定理3如果不確定變量hi服從線性不確定分布L(a,b),那么它的矩母函數(shù)表示為

(24)

證明

線性不確定分布相應的逆分布為

(25)

對應的矩母函數(shù)為

(26)

證畢

定理4如果不確定變量hi服從之字形不確定分布Z(a,b,c),那么它的矩母函數(shù)表示為

(27)

證明

之字形不確定分布相應的逆分布為

(28)

對應的矩母函數(shù)為

(29)

3.3 隨機型風險度的概率密度函數(shù)

假設(shè)隨機型風險度概率密度函數(shù)為f(hi),那么,根據(jù)極大熵準則構(gòu)建的模型為

(30)

(31)

(32)

量子菌群算法[23]將量子理論引入菌群算法(bacterial foraging optimization algorithm,QBFO),有很強的隨機性和全局搜索能力。但是固定的旋轉(zhuǎn)相位不利于算法收斂,因此引入如式(33)所示的自適應旋轉(zhuǎn)角,利用改進QBFO(improved QBFO,NAQBFO)進行求解。

(33)

式中,θmax、θmin表示的是旋轉(zhuǎn)角的最值;θ0表示的是目前最優(yōu)細菌在單位圓上的角度;θi表示的是目前細菌在單位圓上的角度;C表示的是|θ0-θi|最大值;n表示的是線性指數(shù);m表示的是非線性指數(shù)。

算法流程具體如下:

步驟1初始化參數(shù)。量子種群的數(shù)量N,繁殖的次數(shù)Nre,量子趨化的次數(shù)Nc,量子遷徙的次數(shù)Ned,量子遷徙的概率Ped,量子初始種群Q(t)和旋轉(zhuǎn)角θ;

步驟2測量Q(t)產(chǎn)生二進制解集P(t),評估適應度,得到最佳適應度值為下一目標;

步驟3趨化操作。利用量子旋轉(zhuǎn)門對種群Q(t)更新,測量Q(t)產(chǎn)生二進制解集P(t),評估適應度,得到最佳適應度值為下一目標;

步驟4繁殖操作。對適應度的數(shù)值進行降序方式排序,剔去排序差的一半,復制排序好的一半,保證總數(shù)不變。

步驟5遷徙操作。隨機產(chǎn)生概率Prand,若是Prand

步驟6達到收斂精度或最大迭代次數(shù),輸出最佳個體和適應度,算法結(jié)束,否則繼續(xù)。

4 案例分析

本文以某型戰(zhàn)機眼鏡蛇機動[24-25]為例,進行風險傳遞UR-GERT模型的分析。

4.1 事故場景的描述

眼鏡蛇機動的事故場景有3個:一是飛機機動前,大氣數(shù)據(jù)計算機發(fā)生故障,戰(zhàn)機狀態(tài)超出進入條件的限制,戰(zhàn)機進入復雜狀態(tài),影響飛行安全;二是戰(zhàn)機具備進入條件,機動時,飛行員對戰(zhàn)機狀態(tài)誤判導致操作失誤,影響飛行安全;三是飛行員雖然及時準確操縱戰(zhàn)機,但是戰(zhàn)機機械操縱系統(tǒng)故障或戰(zhàn)機“雙發(fā)”故障,影響飛行安全。

4.2 裝備風險基元分析

通過事故場景的分析可見,眼鏡蛇機動的風險基元有大氣計算機故障、電傳操縱系統(tǒng)和迎角限制器電門故障、機械操縱系統(tǒng)故障、雙發(fā)故障、飛行員處置不當,對應的風險度分別記為h1、h2、h3、h4、h5。假設(shè)部件或系統(tǒng)累積使用ta小時的故障率為λ(ta),該變量服從三參數(shù)Weibull分布。飛行員處置不當?shù)挠绊懸蛩貜碗s,無法獲取足量的樣本數(shù)據(jù),只能借助相關(guān)領(lǐng)域?qū)＜覍κ录l(fā)生的信度進行估計,因飛行員的處置不當引起的風險度h5的分布可以通過矩估計法進行計算。

4.3 風險傳遞UR-GERT模型

分析各風險基元間的邏輯關(guān)系,建立如圖2的戰(zhàn)機眼鏡蛇機動科目風險傳遞UR-GERT模型。風險基元1～7分別表示起始節(jié)點、大氣計算機故障、電傳操縱系統(tǒng)和迎角限制器電門故障、飛行員不當處置、機械操縱系統(tǒng)故障、“雙發(fā)”故障、結(jié)束節(jié)點。

圖2 風險傳遞UR-GERT模型Fig.2 Model of risk transfer UR-GERT

根據(jù)某型07號飛機2002-2012年期間該科目訓練數(shù)據(jù)樣本,分別計算相應的h1、h2、h3、h4,本文以大氣計算機的風險度h1為例,提供的樣本數(shù)據(jù)如表1所示,優(yōu)化曲線如圖3所示。

圖3 優(yōu)化曲線Fig.3 Curve of optimal

表1 戰(zhàn)機眼鏡蛇機動危險度樣本Table 1 Risk sample of aircraft Cobra maneuver

利用QBFO、遺傳算法(genetic algorithm,GA)、NAQBFO同時求解該問題,得到迭代200次的對比圖,算法性能比較如表2所示。

表2 算法比較Table 2 Comparison of algorithms

通過比較可知,NAQBFO算法的收斂速度最快,精度最高;QBFO相比GA算法精度更高,可見,NAQBFO算法的改進是有效的。

根據(jù)以上數(shù)據(jù),利用極大熵模型可以得到概率型風險基元的風險度h1的概率密度函數(shù)，即

f(h1)=exp(-3.786-0.256x-0.158x2+0.089x3)

同理,可以得到其他概率密度函數(shù)為

f(h2)=exp(-2.895+0.651x-0.442x2+0.102x3)

f(h3)=exp(5.965-0.856x+0.692x2+0.025x3)

f(h4)=exp(-3.011-0.062x-0.602x2+0.009x3)

邀請部隊專家針對飛行員處置不當對飛行安全的影響進行評價,經(jīng)過討論研究,專家依10%的信度認為飛行員處置不當對飛行安全的影響為0.12,專家依50%的信度認為飛行員處置不當對飛行安全的影響為0.58,專家依100%的信度認為飛行員處置不當對飛行安全的影響為0.89,由此可以得到飛行員處置不當對飛行安全影響的經(jīng)驗分布曲線如圖4所示,得到該變量的不確定分布為

圖4 經(jīng)驗數(shù)據(jù)曲線Fig.4 Curve of empirical data

利用式(20)和表1數(shù)據(jù),可以得到(p23,p24,p34)=(0.004 98,0.003 65,0.006 10)。此外,1→2,1→3都表示戰(zhàn)機準備進入眼鏡蛇機動科目,該活動一定能實現(xiàn),即p12=p13=1;案例給定p43=0.78,p45=0.22; 5→7表示機械系統(tǒng)故障導致飛機出現(xiàn)非指令機動,根據(jù)部隊訓練數(shù)據(jù)可得p56=0.024 5。

根據(jù)式(9)和式(10),得到各風險基元的風險傳遞系數(shù)wij。由圖2的風險基元傳遞關(guān)系和梅森公式,得到UR-GERT網(wǎng)絡(luò)等效傳遞系數(shù)為

根據(jù)式(15),得到眼鏡蛇機動科目的總風險度為HE=1.481×10-7,進一步評估可以得到復雜裝備系統(tǒng)總風險度的趨勢圖,在趨勢圖中通過設(shè)定臨界風險點,可對任務的風險度進行預警。

計算風險基元重要度:I2=0.561,I3=0.351,I4=0.475,I5=0.018,I6=0.005。I2>I4>I3>I5>I6,表明在該任務中,大氣計算機故障對任務安全完成的影響最大,飛行員處置水平和電傳操縱系統(tǒng)電門、迎角限制器電門故障對任務安全完成的影響次之,機械操縱系統(tǒng)故障對任務安全完成的影響相對較小。

5 結(jié) 論

根據(jù)復雜裝備系統(tǒng)在執(zhí)行任務過程中存在多種不同類型風險的特點,基于機會理論構(gòu)建了UR-GERT模型,對不同類型的風險采取對應的方法進行描述。定義了風險度和不確定隨機矩母函數(shù),推導了常見情形下矩母函數(shù)的解析表達式,給出了系統(tǒng)風險度、基元風險度、風險基元重要度等概念,旨在解決復雜裝備系統(tǒng)執(zhí)行任務中風險傳遞關(guān)系的建模與風險的定量評價問題,進一步揭示復雜裝備系統(tǒng)的風險機理。

但文中需要進一步改進,本文主要研究了單傳遞參量風險傳遞模型,具體以退化后的不確定隨機變量進行分析。應該繼續(xù)研究多傳遞參量風險傳遞模型,對未退化的不確定隨機變量進行分析同時考慮其他不確定分布的變量以進行更復雜的風險分析。