杜兵芳 畢孝儒 王曉娟

摘 要：運(yùn)用行嚴(yán)格占優(yōu)矩陣設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)了混沌金融系統(tǒng)的同步控制。理論分析和數(shù)值仿真驗(yàn)證了方法的有效性。

關(guān)鍵詞：混沌金融系統(tǒng)；行嚴(yán)格占優(yōu)矩陣；混沌同步

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.22.094

1 預(yù)備知識

記表示利率，表示投資需求，表示價(jià)格指數(shù)，文獻(xiàn)[1]給出了混沌金融系統(tǒng)的微分方程模型：

（1）

式中為儲(chǔ)蓄量，為投資成本，為商品需求彈性。

定義1 設(shè)，如果成立：

（2）

則稱為行對角占優(yōu)矩陣。若（2）的個(gè)不等式是嚴(yán)格的，則稱為行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。

引理1[2] 設(shè)是行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則有：

（1）是可逆的；

（2）若，則的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部。

引理2[3] 設(shè)連續(xù)線性時(shí)不變自治系統(tǒng)方程為：

（3）

其中為n維狀態(tài)，狀態(tài)空間原點(diǎn)即為系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)。對于系統(tǒng)（3），是漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件為，矩陣B的特征值均具有負(fù)實(shí)部。

2 改進(jìn)的混合控制同步法

混沌同步是指一個(gè)系統(tǒng)的混沌軌道將收斂于另一個(gè)混沌系統(tǒng)軌道的同一值，兩個(gè)系統(tǒng)始終保持步調(diào)一致，并且這種同步是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的。

設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為：

（4）

其中，把系統(tǒng)（4）改寫為如下形式[2]：

（5）

令：

，， （6）

設(shè)響應(yīng)系統(tǒng)寫為：

（7）

令：

， （8）

是控制函數(shù)，決定系統(tǒng)（4）和系統(tǒng)（7）實(shí)現(xiàn)同步。定義同步誤差為：

（9）

則誤差動(dòng)力系統(tǒng)可寫為：

（10）

為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)（4）和系統(tǒng)（7）實(shí)現(xiàn)同步，設(shè)計(jì)控制器[2]如下：

，其中 （11）

（12）

矩陣是反饋增益常數(shù)矩陣，很顯然是一個(gè)非線性控制器，是一個(gè)線性控制器，所以是一個(gè)混合控制器。把（11）和（12）代入到（10）式中，誤差動(dòng)力系統(tǒng)可以寫為如下形式：

（13）

其中：

（14）

若矩陣能使矩陣的特征值均具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)（13）就在原點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定。結(jié)合引理1和引理2，本文選擇增益矩陣使矩陣滿足引理1中的條件，則有：

（15）

取不等式（15）的一組解，，于是有如下定理1。

定理1 設(shè)計(jì)控制器，其中，，， ，分別是系統(tǒng)（4）和系統(tǒng)（7）的利率，投資需求，價(jià)格指數(shù)。受控系統(tǒng)（13）在原點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定，即系統(tǒng)（4）和系統(tǒng)（7）達(dá)到同步。仿真見第4部分圖1。

3 仿真

取，，初值為，仿真時(shí)間為，參數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃登仕，李后強(qiáng).非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論和方法[M].成都：四川大學(xué)出版社，1993：220-223.

[2]李尚南.一類金融混沌系統(tǒng)的同步控制研究[D].碩士學(xué)位論文，2008（04）：23-37.

[3] Hassan K. Khalil（著），董輝，李作洲等（譯）. 非線性系統(tǒng)第三版[M].電子工業(yè)出版社：32-33.

基金項(xiàng)目：四川外國語大學(xué)重慶南方翻譯學(xué)院科研項(xiàng)目（No. ky2018019）

作者簡介：杜兵芳（1989-），女，湖北利川人，碩士，講師，研究方向：運(yùn)籌與優(yōu)化控制及在經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)中的應(yīng)用。