楊廣宇，仇洪冰,2

(1. 西安電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院，陜西 西安 710071；2. 桂林電子科技大學(xué) 信息與通信學(xué)院，廣西 桂林 541004)

近年來(lái)，為確保無(wú)線攜能傳輸(Simultaneous Wireless Information and Power Transfer，SWIPT)系統(tǒng)中的通信安全，SWIPT與物理層保密傳輸相結(jié)合的研究日益引起學(xué)界和工業(yè)界的關(guān)注和研究．多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Out，MIMO)或多輸入單輸出(Multiple Input Single Out，MISO)SWIPT系統(tǒng)中的研究主要集中于發(fā)射功率最小化和保密速率最大化問(wèn)題[1-5]．文獻(xiàn)[5]研究了MISO SWIPT系統(tǒng)的保密速率最大化問(wèn)題，提出了兩種優(yōu)化方案，一種方案是用Charnes-Cooper變換將原非凸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等效的半正定規(guī)劃，采用二分法和內(nèi)點(diǎn)法聯(lián)合優(yōu)化; 另一種是采用連續(xù)凸近似算法將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸問(wèn)題后，直接采用內(nèi)點(diǎn)法最優(yōu)化．

能量效率是未來(lái)綠色通信網(wǎng)絡(luò)的一項(xiàng)重要指標(biāo)和基本要求．保密能量效率(Secrecy Energy Efficiency，SEE)定義為保密傳輸速率與總消耗功率之比，文獻(xiàn)[6]研究了三節(jié)點(diǎn)MIMO竊聽(tīng)信道的保密能量效率最大化問(wèn)題，采用Dinkelbach方法結(jié)合泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法求解問(wèn)題的近似最優(yōu)解．

在假定發(fā)送端掌握完全精準(zhǔn)的信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)的情況下，文獻(xiàn)[7]研究了存在多個(gè)竊聽(tīng)者的MIMO SWIPT系統(tǒng)的能效優(yōu)化問(wèn)題，由于目標(biāo)函數(shù)包含凹函數(shù)之差以及多個(gè)變量之間的耦合，即便對(duì)目標(biāo)函數(shù)參數(shù)化減式形式等效后，其仍是難以處理的非凸問(wèn)題，經(jīng)過(guò)等效變換，采用Dinkelbach方法和交替算法得到優(yōu)化解．

在實(shí)際中，由于信道估計(jì)誤差和反饋延遲，獲得精準(zhǔn)的CSI 是非常困難的．在CSI不精準(zhǔn)的MIMO SWIPT系統(tǒng)中，文中提出一種魯棒的人工噪聲輔助優(yōu)化方案．通過(guò)聯(lián)合設(shè)計(jì)波束成形矩陣、人工噪聲方差矩陣和功率分配(Power Splitting, PS)比，最大化系統(tǒng)最差情況的保密能量效率．目標(biāo)函數(shù)是非線性分式規(guī)劃問(wèn)題，且由于信道的不確定性，約束項(xiàng)中包含半無(wú)限約束項(xiàng)，這些因素導(dǎo)致原問(wèn)題是非凸的，難以處理．通過(guò)S-Procedure和一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，把原問(wèn)題近似等效為帶有線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality， LMI)約束的凸問(wèn)題，針對(duì)等效后近似目標(biāo)函數(shù)中相關(guān)優(yōu)化變量的凸性特點(diǎn)，提出了一種基于Dinkelbach方法的兩級(jí)優(yōu)化迭代算法．

1 系統(tǒng)模型和問(wèn)題描述

考慮下行MIMO攜能系統(tǒng)．該系統(tǒng)包含一個(gè)配備N(xiāo)T個(gè)發(fā)射天線的發(fā)射端，一個(gè)配備N(xiāo)R個(gè)天線的信息和能量接收用戶(hù)，M個(gè)竊聽(tīng)者，每個(gè)竊聽(tīng)者配備N(xiāo)E個(gè)天線．發(fā)射端的基帶信號(hào)b=Ws+v，其中W是波束成形矩陣，s是攜帶保密信息的信號(hào)矢量，v～ CN(0，V)，是發(fā)射端產(chǎn)生的人工噪聲(Artificial Noise， AN)矢量．則用戶(hù)接收信號(hào)可表示為

(1)

第m個(gè)竊聽(tīng)者接收到的信號(hào)可表示為

(2)

用戶(hù)配備有功率分配器用于對(duì)接收到的信號(hào)功率分流，一部分功率用于對(duì)解碼端接收到的信號(hào)解碼，一部分功率用于能量接收端對(duì)接收信號(hào)的能量收獲．分流到用戶(hù)解碼端的信號(hào)為

(3)

(4)

基于以上設(shè)定，系統(tǒng)最差情況下的保密傳輸速率[8]為

用戶(hù)能量收獲端收獲的功率為

(8)

其中，ζ表示能量轉(zhuǎn)換效率,ζ∈(0，1]．

系統(tǒng)消耗的總功率定義為

Ptot(W，V，ρ)=ξtr(WWH+V)+PC-EEH，

其中，ξ是功率放大器效率的倒數(shù)，ξ≥1；PC表示電路的恒定功率消耗．不失一般性，文中假定ζ=1，ξ=1．

在CSI非精準(zhǔn)情況下，系統(tǒng)的最差情況保密能量效率定義為最差情況保密速率與所消耗總功率之比，即

ηEE(W，V，ρ)=RS(W，V，ρ)/Ptot(W，V，ρ) ．

(9)

則最差情況保密能量效率最大化問(wèn)題可以描述為

其中，約束項(xiàng)式(10b)表示用戶(hù)能量接收端最小能量收獲約束，式(10c)表示最大發(fā)射功率約束．

求解優(yōu)化問(wèn)題式(10)的難點(diǎn)在于目標(biāo)函數(shù)分式形式的非凸性，以及目標(biāo)函數(shù)及約束項(xiàng)中優(yōu)化變量間的耦合．

2 問(wèn)題變換和算法

2.1 目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換

由于問(wèn)題式(10)是典型的分式規(guī)劃問(wèn)題，是難以處理的非凸問(wèn)題．為此，引入?yún)?shù)化的減式函數(shù)[10-11]為

(11)

其中，λ≥0，Π是問(wèn)題式(10)的可行域．

引理1 令λ*表示問(wèn)題式(10)的最大SEE，優(yōu)化問(wèn)題式(10)和式(11)是等價(jià)的，當(dāng)且僅當(dāng)F(λ*)=0．

上述引理1給出了求解問(wèn)題式(10)的方法，即采用兩級(jí)優(yōu)化迭代算法求解最優(yōu)(W，V，ρ)及對(duì)應(yīng)的最大SEE．具體來(lái)講，在內(nèi)層給定λ≥0，求解優(yōu)化問(wèn)題式(11); 外層利用Dinkelbach方法求方程F(λ)=0 的根，得到最優(yōu)值λ*．

因此，首先研究λ給定情況下問(wèn)題式(11)的優(yōu)化．由于目標(biāo)函數(shù)、最小能量收獲約束以及信道誤差，問(wèn)題式(11)仍然是非凸問(wèn)題．

2.2 內(nèi)層問(wèn)題的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)和LMI近似

在這節(jié)中，利用一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)近似和LMI方法處理非凸問(wèn)題式(11)．

固定λ的值不變，令Q=WWH，q=1/ρ，把式(6)和Ptot代入式(11)，整理后得到

(13)

式(12b)和式(12c)都是凸約束，但問(wèn)題式(12)中目標(biāo)函數(shù)的前兩項(xiàng)是關(guān)于(Q，V，q)的兩個(gè)凹函數(shù)之差，所以式(12)是非凸問(wèn)題．對(duì)目標(biāo)函數(shù)第2項(xiàng)進(jìn)行線性化近似，在給定點(diǎn)(V(k)，q(k))對(duì)其進(jìn)行一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，其中右上標(biāo)k表示一階泰勒級(jí)數(shù)近似的第k次迭代．引入輔助變量t≥0，問(wèn)題式(12)近似等效為

由式(13)Ptot(Q，V，q)的表達(dá)式可以看出，(Q，V)與q之間是相互耦合的，因此，式(14a)的目標(biāo)函數(shù)不是關(guān)于(Q，V，q，t)的聯(lián)合凹函數(shù)，但若固定q，該目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于(Q，V，t)的凹函數(shù)，反之亦然．因此，可用分級(jí)算法最優(yōu)化問(wèn)題式(14)，可得

(15)

容易證明，問(wèn)題式(16)優(yōu)化求解后，其結(jié)果F(λ，q)是關(guān)于q的單變量凹函數(shù)，可用一維搜索算法黃金分割法求取F(λ)．因此，接下來(lái)將集中研究問(wèn)題式(16)的優(yōu)化．

問(wèn)題式(16)的目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于(Q，V，t)的凹函數(shù)．但其約束項(xiàng)式(14c)不等式左邊是兩個(gè)凹函數(shù)之差[12]，是非凸不等式，所以問(wèn)題式(16)仍然不是凸優(yōu)化問(wèn)題．引入輔助變量β1m≥0，β2m≥0，對(duì)式(14c)進(jìn)行等效變換，即

對(duì)于式(18)，由文獻(xiàn)[3]的引理2，可得如下關(guān)系：

(20)

(21)

利用S-Procedure[13]和關(guān)系式tr(ABCD)=vec(AH)H(DT?B) vec(C)，式(20)和式(21)變換為等效的線性矩陣不等式，即

(22)

如前所述，兩個(gè)原因?qū)е率?19)的非凸性，因此首先把不等式左邊項(xiàng)近似線性變換，將其在給定點(diǎn)(Q(k)，V(k))一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi):

(23)

將式(23)代入式(19)整理后，得

(24)

與式(20)的處理方法相同，式(24)等效變換為如下線性矩陣不等式：

(25)

經(jīng)過(guò)上述變換后，在給定點(diǎn)(Q(k)，V(k)，q(k))，問(wèn)題式(16)可近似等效為

其中，

問(wèn)題式(26)是關(guān)于(Q，V，t，β1m，β2m，bm，cm)的聯(lián)合凸優(yōu)化問(wèn)題，可用內(nèi)點(diǎn)法[14]求解．

2.3 基于Dinkelbach Method的迭代算法

基于以上分析，系統(tǒng)具體優(yōu)化迭代算法如下:

初始化:i=1，λ1≥0，ε1，ε2，ε3，Q(0)，V(0)，q(0)．

圖1 文中算法更新收斂速率

3 結(jié)果分析

圖2 不同信道不確定性情況下最大發(fā)射功率對(duì)SEE的影響

從圖3中可看出，與無(wú)輔助人工噪聲(Artifical Noise，AN)優(yōu)化方案相比，采用輔助噪聲方法可極大提高系統(tǒng)最差情況SEE．這是由于引入AN可以有效地“惡化”偷聽(tīng)者對(duì)信息的接收．

圖3還表明，無(wú)論在低功率區(qū)還是在高功率區(qū)，固定功率分配因子ρ不變僅優(yōu)化其他變量所獲得的SEE，總是低于或差于系統(tǒng)所有變量聯(lián)合優(yōu)化得到的SEE．

圖3還顯示了所提方案和保密速率最大化(Secrecy Rate Maximization，SRM)方案相對(duì)于最大發(fā)射功率的性能．在低功率區(qū)，兩種方案的SEE都以相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，這說(shuō)明在這一區(qū)域，最大功率傳輸是能量效率最大的．隨著發(fā)射功率進(jìn)一步增加到較高功率區(qū)，文中方案的SEE保持穩(wěn)定不變，而SRM方案的SEE是減小的．這是因?yàn)樵赟RM方案中，保密速率的增長(zhǎng)率低于最大發(fā)射功率的增大率，從而導(dǎo)致能量效率降低．

圖4給出了所提算法與文獻(xiàn)[14]路徑跟蹤算法相對(duì)于最大發(fā)送功率的最差情況保密能量效率曲線．從圖4中可以看出，文中算法性能要優(yōu)于路徑跟蹤算法的性能，其原因在于，文中算法對(duì)引入的輔助人工噪聲相關(guān)變量的優(yōu)化，能夠以最小的功率消耗盡可能大的提高保密傳輸速率; 另外，路徑跟蹤算法的局部最優(yōu)性也是其性能相對(duì)較差的原因．

4 結(jié) 束 語(yǔ)

針對(duì)MIMOME SWIPT系統(tǒng)，研究了在信道狀態(tài)信息不準(zhǔn)確情況下系統(tǒng)的能量效率問(wèn)題．通過(guò)減式等效、一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)和S-Procedure變換，原問(wèn)題變?yōu)橐滋幚淼膶?duì)各變量的凸優(yōu)化問(wèn)題；針對(duì)最后形成的目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，提出了一種兩級(jí)優(yōu)化迭代算法．仿真結(jié)果和對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了文中提出的人工噪聲輔助、波束成形、功率分配因子聯(lián)合優(yōu)化方法，在信道存在誤差的場(chǎng)景下對(duì)系統(tǒng)提高最差情況SEE性能的有效性．