吳 敏， 許仙明， 陳 艷， 黃燦英

(南昌大學(xué) 科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 南昌 330029)

目前，隨著工業(yè)用電設(shè)備的負(fù)荷迅速增加，電網(wǎng)系統(tǒng)中存在著大量的諧波注入和低功率因素[1]，其不僅導(dǎo)致負(fù)載電流失真，且容易引起公共耦合點(diǎn)處的電壓畸變，從而引入諧波電壓[2-4].電力系統(tǒng)中諧波電流和電壓的存在增加了線路的損耗，降低了功率因數(shù)，可能導(dǎo)致敏感電子設(shè)備出現(xiàn)時(shí)間誤差[5].

確定主諧波干擾源對(duì)于提高電網(wǎng)的電能質(zhì)量(power quality，PQ)至關(guān)重要.常用的諧波源定位包括基于等效電路模型的方法和基于諧波狀態(tài)估計(jì)的方法[6].基于等效電路模型的方法主要用于單諧波定位，該模型簡(jiǎn)單易懂，但只關(guān)注局部諧波，缺乏整體可觀性[7]；而基于諧波狀態(tài)估計(jì)的方法則適合多源諧波定位，且只需較少的測(cè)量值便可實(shí)現(xiàn)精確定位，其具備整體可觀性[8].目前，有諸多文獻(xiàn)討論了配電系統(tǒng)中諧波源的檢測(cè)和識(shí)別，在文獻(xiàn)[9]中使用混合加權(quán)最小二乘估計(jì)法求解基于基爾霍夫定律的向量矩陣，然后獲得諧波信號(hào)幅度；文獻(xiàn)[10]的仿真和實(shí)驗(yàn)表明，單點(diǎn)策略可以有效對(duì)測(cè)量點(diǎn)上游或下游的主要諧波源進(jìn)行檢測(cè)；文獻(xiàn)[11]提出了一種基于電壓相測(cè)量單元的系統(tǒng)，用于對(duì)可疑總線上的諧波進(jìn)行分類和排序；文獻(xiàn)[12]使用靈敏度分析和最小方差來(lái)確定諧波源測(cè)量設(shè)備的最佳位置；文獻(xiàn)[13]基于卡爾曼濾波方法解決了有限數(shù)量的諧波測(cè)量最佳位置和諧波源位置的最優(yōu)動(dòng)態(tài)估計(jì)問(wèn)題；文獻(xiàn)[14]提出了一種基于壓縮感知理論的諧波檢測(cè)方法，使用改進(jìn)的CoSaMP算法能在信號(hào)稀疏度未知時(shí)有效地檢測(cè)諧波信號(hào)，但該算法求解過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算結(jié)果受線路參數(shù)的影響.

基于以上分析，本文提出了一種基于加速梯度投影法的諧波源定位方法，將壓縮感知理論應(yīng)用到諧波采集過(guò)程中，不僅能減少測(cè)量次數(shù)，而且能加快檢測(cè)速度.本文首先介紹了諧波源定位的原理；然后提出了一種加速梯度投影法來(lái)求解約束二次規(guī)劃問(wèn)題，并基于諧波信號(hào)本身的稀疏特性和所采集的數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)諧波源定位；最后通過(guò)分析不同噪聲干擾條件下的諧波定位精度來(lái)驗(yàn)證本算法的有效性.

1 諧波定位原理

電力系統(tǒng)不同節(jié)點(diǎn)的電壓和饋線支路電流的大小與相位可以使用同步向量測(cè)量裝置進(jìn)行采樣，因此，可以以節(jié)點(diǎn)的注入諧波電流為狀態(tài)量，支路的諧波電流或節(jié)點(diǎn)的諧波電壓為量測(cè)量來(lái)計(jì)算諧波源的位置與狀態(tài).其中，以節(jié)點(diǎn)的諧波電壓為量測(cè)量的最小二乘諧波源定位方法易受線路的型號(hào)、長(zhǎng)度和變壓器等影響[15-16]，因此，本文以節(jié)點(diǎn)的注入諧波電流為狀態(tài)量，支路的諧波電流為量測(cè)量，并使用加速梯度投影法定位諧波源.

電網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)的注入諧波電流I和支路的諧波電流Ik的關(guān)系表達(dá)式[17-18]為

Ik=AI

(1)

式中，A為未知的支路諧波電流和已知節(jié)點(diǎn)的注入諧波電流的關(guān)系矩陣.

諧波源定位即通過(guò)計(jì)算注入諧波電流來(lái)估計(jì)諧波源的分布情況，又因?yàn)殡娋W(wǎng)中起主要作用的諧波源較少，且其空間分布較稀疏，因此，本文使用測(cè)量矩陣觀測(cè)原始信號(hào)，以獲得低維的觀測(cè)數(shù)據(jù).該方法同步進(jìn)行采樣和壓縮過(guò)程，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的先采樣后壓縮的方式.稀疏信號(hào)最優(yōu)化問(wèn)題可表示為

(2)

可使用拉格朗日乘數(shù)法將式(2)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，即

(3)

式中，τ>0，為拉格朗日因子.

引入正數(shù)部分向量和負(fù)數(shù)部分向量[19]可將式(3)轉(zhuǎn)化為界約束二次規(guī)劃問(wèn)題(BCQP)，即

s. t.u≥0，v≥0

(4)

求解出式(4)中的注入諧波電流I，即可利用配電網(wǎng)的定位分區(qū)思想估計(jì)出諧波源的嫌疑區(qū)域，并進(jìn)行定位.

2 加速梯度投影法

為了求解式(4)所示的BCQP問(wèn)題，本文基于滯后最速下降法提出了一種加速梯度投影法，將式(4)表示成標(biāo)準(zhǔn)的BCQP問(wèn)題，即

(5)

文獻(xiàn)[20]通過(guò)使用變步長(zhǎng)梯度投影法求解該問(wèn)題，然而該方法沿著負(fù)梯度方向進(jìn)行搜索，容易導(dǎo)致震蕩和收斂緩慢的問(wèn)題.本文提出一種加速梯度投影法，該方法能自動(dòng)選取動(dòng)量參數(shù)，顯著提高收斂速度，并沿著動(dòng)量項(xiàng)和負(fù)梯度方向的凸組合進(jìn)行搜索，加速梯度投影表達(dá)式為

rk=-(1-wk)Fk+wkΔzk-1

(6)

式中：Δzk為動(dòng)量步長(zhǎng)；wk∈(0，1)，為動(dòng)量參數(shù)；Fk為投影梯度，并且有

(rk)TFk= -(1-wk)Fk+

wkΔzk-1Fk

(7)

確定梯度下降方向后，更新步長(zhǎng)的選取規(guī)則為

(8)

zk的下一次梯度更新為

(9)

該算法的整體流程如下所述：

1) 初始化，令z0、Δz0、wk∈(0，1)，ηk=η0，k=0；

2) 計(jì)算動(dòng)量步長(zhǎng)，即

Δzk=max(zk+ηkrk，0)-zk

(10)

3) 更新迭代并進(jìn)行線性搜索，即

γk=(Δzk)TBΔzk

(11)

(12)

zk+1=zk+λkΔzk

(13)

4) 更新ηk，即

(14)

若此時(shí)滿足以下兩個(gè)終止條件中的任何一個(gè)，則停止更新；否則，轉(zhuǎn)到步驟2).

終止條件1：

|F(zk)-F*|≤emax

(15)

式中：F*為函數(shù)的近似最小值；emax為所允許的最大誤差.

終止條件2：

(16)

3 基于加速梯度投影法的諧波源定位

在傳統(tǒng)的壓縮感知諧波源定位過(guò)程中，量測(cè)節(jié)點(diǎn)的配置不同，會(huì)得到不同的定位精度.若忽視干擾噪聲的存在，而只根據(jù)導(dǎo)納矩陣和電網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來(lái)選擇量測(cè)點(diǎn)，極易導(dǎo)致系統(tǒng)的不可觀，從而無(wú)法得到精確的諧波源定位.

本文所提出的基于加速梯度投影法的諧波源定位不僅能提高諧波源定位的速度，且還可以排除干擾電流的影響.該方法主要包括兩個(gè)步驟，一是粗略估計(jì)諧波源電流得到諧波源嫌疑區(qū)域；二是根據(jù)粗估計(jì)結(jié)果調(diào)整量測(cè)節(jié)點(diǎn)，并消除噪聲干擾.基于加速梯度投影法諧波源定位方法的基本流程如圖1所示.

圖1 基于加速梯度投影法的諧波源定位方法流程Fig.1 Flow chart of harmonic source location method based on accelerated gradient projection algorithm

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文使用如圖2所示的IEEE 123節(jié)點(diǎn)模型進(jìn)行仿真測(cè)試.圖2中嫌疑諧波源區(qū)域已用黑圈圈出，現(xiàn)使用本文算法精確定位諧波源區(qū)域.

IEEE 123節(jié)點(diǎn)線路長(zhǎng)度按照標(biāo)準(zhǔn)模型設(shè)置，額定電壓為4.16 kV.文中使用均方根誤差(root mean square error，RMSE)來(lái)衡量本文估計(jì)的諧波電流與真實(shí)諧波電流之間的偏差，其計(jì)算公式為

(18)

式中：m為估計(jì)節(jié)點(diǎn)的總數(shù)；d為估計(jì)值與真實(shí)值之間的差值.

首先向節(jié)點(diǎn)注入諧波電流以設(shè)置諧波源，并以注入諧波電流為狀態(tài)量，以支路的諧波電流為量測(cè)量.量測(cè)值可使用前推回代潮流法計(jì)算得到，并分別比較穩(wěn)態(tài)與不同噪聲級(jí)別時(shí)傳統(tǒng)的稀疏表示法、最小二乘法和本文算法諧波源定位的性能.

4.1 穩(wěn)態(tài)諧波定位

首先在IEEE 123節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的嫌疑諧波區(qū)域布置6個(gè)信噪比(SNR)為20 dB的7次諧波源，并量測(cè)20個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流.假設(shè)實(shí)驗(yàn)設(shè)置的諧波源節(jié)點(diǎn)分別為20、22、23、31、41和43，得到如表1所示的諧波電流比較結(jié)果.

圖2 IEEE 123節(jié)點(diǎn)電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Topological structure of IEEE 123 node power grid

從表1的結(jié)果可看出，使用最小二乘法得到的估計(jì)結(jié)果精度最差，傳統(tǒng)的稀疏表示法只能準(zhǔn)確估計(jì)出41和43號(hào)節(jié)點(diǎn)的電流值，而本文算法能準(zhǔn)確估計(jì)所有6個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流.

表1 諧波源估計(jì)結(jié)果比較Tab.1 Comparison in estimation results of harmonic source A

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的有效性，使用隨機(jī)設(shè)置的6個(gè)7次諧波源進(jìn)行100次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，得到傳統(tǒng)的稀疏表示法、最小二乘法和本文算法諧波源定位的均方根誤差，結(jié)果如圖3所示.

圖3 RMSE結(jié)果Fig.3 RMSE results

從圖3可以看出，本文提出的加速稀疏表示法只在部分位置出現(xiàn)了較大的波動(dòng)，大部分仿真結(jié)果的均方根誤差均保持在5%以下；而最小二乘法的波動(dòng)更為穩(wěn)定，但均方根誤差在9.9%左右，誤差值較大；傳統(tǒng)的稀疏表示法波動(dòng)較本文算法更頻繁，但誤差均值達(dá)到了6.3%.綜合表1和圖3的結(jié)果可知，本文提出的加速稀疏表示法能獲得更高的諧波源定位精度，且具有一定的抗噪聲能力.

4.2 抗噪聲能力測(cè)試

本文測(cè)試了不同信噪比時(shí)3種算法的RMSE結(jié)果，實(shí)驗(yàn)設(shè)置信噪比為5～45 dB，并進(jìn)行100次實(shí)驗(yàn).圖4為3種算法的平均RMSE情況.

從圖4中可以看出：本文提出的加速稀疏表示法的RMSE隨著信噪比的增加逐漸減??；最小二乘法的RMSE在20 dB時(shí)就趨于穩(wěn)定到10%；傳統(tǒng)稀疏表示法則緩慢下降并有所波動(dòng)，而誤差基本在3%以上.綜上所述，本文提出的加速稀疏表示法具有更強(qiáng)的抗噪聲能力.

圖4 不同信噪比時(shí)RMSE結(jié)果Fig.4 RMSE results at different signal-to-noise ratio(SNR)

4.3 諧波檢測(cè)時(shí)間比較

將3種算法在3次、5次、7次和11次諧波情況下的檢測(cè)時(shí)間進(jìn)行比較，其結(jié)果如表2所示.

表2 諧波檢測(cè)時(shí)間比較Tab.2 Comparison in harmonic detection time ms

從表2可以看出，隨著諧波次數(shù)的增加，檢測(cè)時(shí)間也在明顯增加.在各種諧波情況下，基于加速稀疏表示法均能獲得較快的檢測(cè)速度，證明本文提出的基于加速稀疏表示法具有較高的檢測(cè)效率.

5 結(jié) 論

為了提高電網(wǎng)的電能質(zhì)量水平，并確定電網(wǎng)中的諧波干擾源，本文提出了一種基于加速梯度投影法的諧波源定位方法.首先將諧波源定位問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解界約束二次規(guī)劃問(wèn)題，然后提出一種加速梯度投影法.該方法能自動(dòng)選取動(dòng)量參數(shù)，顯著提高收斂速度，并沿著動(dòng)量項(xiàng)和負(fù)梯度方向的凸組合進(jìn)行搜索，不僅提高了諧波源定位的速度，且還能排除干擾電流的影響.在IEEE 123節(jié)點(diǎn)上的多次仿真結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)的稀疏表示法和最小二乘法，本文提出的加速稀疏表示法能獲得更高的諧波源定位精度，且具有更強(qiáng)的抗噪聲能力.