◇宋煜陽

什么是運用論據(jù)進行說理的思維習慣？主要表現(xiàn)為學生不僅知道這個結(jié)果，而且能通過推理或舉出事例讓自己或他人確信這個結(jié)論是正確的。具體到“三角形內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論，就要從“我知道三角形內(nèi)角和是180°”轉(zhuǎn)向“我該用哪些例子來說明三角形內(nèi)角和為什么是180°”的例證思考。當然，能夠運用例證思考的基礎(chǔ)是學生首先得有說明三角形內(nèi)角和是180°的數(shù)學實例，然后選取適切的例子加以論證。那么，各版本教材在前期編排中提供了哪些論據(jù)支持呢？又該如何認識這些經(jīng)驗性論據(jù)？筆者僅從經(jīng)驗性論據(jù)支持的視角對人教版、蘇教版、北師大版、浙教版、臺灣教材等進行比較分析。

經(jīng)驗性論據(jù)一：直角三角形所構(gòu)造的例證事實

在角的度量單元，大陸教材都設(shè)計了測量三角尺的內(nèi)角和與利用三角尺拼組畫角的活動，幫助學生明確了這兩個直角三角形每個角的具體度數(shù)，并在三角尺拼組畫角活動中熟記了“30°，60°，90°”和“45°，45°，90°”這兩組常用數(shù)據(jù)。出于對數(shù)據(jù)的敏感，學生已經(jīng)能感知這兩個直角三角形的內(nèi)角和是180°。而像蘇教版教材，索性給出“每塊三角尺上三個角的度數(shù)和各是多少度”的問題討論（如圖1），明示了這兩個直角三角形內(nèi)角和是180°這一數(shù)學事實。

圖1

教學實踐表明，在三角形內(nèi)角和的例證中，多數(shù)學生能夠把這兩個直角三角形內(nèi)角和的結(jié)果作為論據(jù)進行提取，成為名副其實的經(jīng)驗性論據(jù)。問題在于，直角三角形有無數(shù)個，這兩個直角三角形不僅在例證的數(shù)量上顯得少，而且在例證的性質(zhì)上屬于特殊直角三角形，不具有一般性，甚至有可能使學生誤解直角三角形只有這兩種情形。作為三角形內(nèi)角和的論據(jù)，直角三角形是三角形的特殊例證，而“30°，60°，90°”和“45°，45°，90°”兩組數(shù)據(jù)的直角三角形是直角三角形的特殊例證，如何處理好例證的特殊與一般關(guān)系，是尋找經(jīng)驗性論據(jù)支持的重要視角。如在臺灣教材中（如圖2和圖3），就非常強調(diào)從特殊直角三角形到其他直角三角形，從直角三角形到不是直角三角形的三角形的論證思路，處理非常細膩。臺灣教材給我們的啟發(fā)是，在前期角的度量活動中，適度擴充直角三角形個數(shù)與類型，有利于學生尋求到更多、更為一般的例證，在后續(xù)學習中運用論據(jù)進行說理的活動才能更為充分和深入。

圖2

圖3

經(jīng)驗性論據(jù)二：等邊三角形所構(gòu)造的例證事實

等邊三角形（正三角形）每個內(nèi)角是60°，也是證實“三角形內(nèi)角和是180°”的特殊經(jīng)驗性論據(jù)。在“等邊三角形每個內(nèi)角相等”“等邊三角形每個內(nèi)角是60°”兩個數(shù)學事實面前，各版本教材之間存在較大差異。臺灣教材（如圖4和圖5）先通過對折方法得出等邊三角形三個角大小相等，再通過測量得出每個角都是60°這個結(jié)論。而人教版是一次性得出“等邊三角形三個角都相等”“等邊三角形每個角都是60°”這樣的結(jié)論（如圖6）。

圖4

圖5

這些版本教材在編排順序上都把等邊三角形相關(guān)內(nèi)容安排在“三角形內(nèi)角和”一課之前，都可以作為特殊的經(jīng)驗性論據(jù)使用。在實際教學中，相對于兩個特殊直角三角形例證的調(diào)用，等邊三角形例證被調(diào)用的幾率很低。因此，從經(jīng)驗性論據(jù)積累角度而言，在前期“三角形分類”一課學習中，要加強學生對“等邊三角形三個角都是60°”特點的刺激與識記；在后續(xù)“三角形內(nèi)角和”一課的學習中，要適度引導(dǎo)學生關(guān)注這個特殊例證的調(diào)用。

圖6

經(jīng)驗性論據(jù)三：長方形與直角三角形之間形成的關(guān)系例證事實

在“三角形內(nèi)角和是180°”例證中，個別學生能夠把長方形分成兩個直角三角形，根據(jù)“長方形四個角是直角、內(nèi)角和是360°”這一數(shù)學事實，通過對角線分割推算得出每個直角三角形的內(nèi)角和是180°。與這種“長方形一分為二”分割思路相近的是，臺灣教材給出了“兩個全等直角三角形合拼成長方形”的拼組思路。值得關(guān)注的是臺灣教材在前期“直角”學習中明確指出“長方形和正方形的四個角都是直角”這個結(jié)論，并引入全等圖形概念。

無獨有偶，在三角形內(nèi)角和一課的練習中，蘇教版、北師大版、青島版等教材都安排了長方形、正方形紙翻折或直角三角形合拼成長方形、正方形，觀察討論每種圖形內(nèi)角和，感受圖形之間的關(guān)系。不同的是，蘇教版、北師大版教材是把長方形、正方形內(nèi)角和作為原有的數(shù)學事實使用，而青島版教材是根據(jù) “三角形內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論來推出長方形、正方形內(nèi)角和。

如果說前文的經(jīng)驗性論據(jù)一和二是直接可證的話，這種利用長方形和直角三角形之間關(guān)系的論據(jù)則是間接的、需要轉(zhuǎn)化的，推理要求更高一些。在強調(diào)推理思想的當前受到了較高的關(guān)注，不少教學設(shè)計就使用了這個論據(jù)。

考慮到論據(jù)提取的可行性和有效性，筆者對教材的前期編排提出三點建議：一是在“長方形、正方形的認識”一課進一步強調(diào)四個角是直角，甚至可以把內(nèi)角和為360°列入特征范疇。二是理清長方形、正方形和直角三角形概念的上下位關(guān)系，為兩種圖形之間的分割、拼組提供邏輯依據(jù)。三是引入全等圖形概念，便于形成較為嚴密的圖形變換關(guān)系。

培養(yǎng)學生的推理能力，教學中必須增強運用論據(jù)進行說理的意識，相應(yīng)地教材必須多視角、多渠道提供合理有效的例證事實，真正讓學生有理可說、有例可證。