陳武暉， 張 軍， 高國琴

(江蘇大學 電氣信息工程學院， 江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

0 引言

“自動控制原理”是電氣工程專業(yè)和自動化專業(yè)的核心課程，課程內(nèi)容主要分為系統(tǒng)建模、系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設計三大模塊。其中系統(tǒng)建模是基礎，系統(tǒng)分析的核心是穩(wěn)定性，而系統(tǒng)設計是在穩(wěn)定性的基礎上根據(jù)性能指標進行系統(tǒng)綜合[1]。

“自動控制原理”課程的特點是數(shù)學推導復雜、概念繁多、內(nèi)容抽象,是一門公認的學生難學、教師難教的課程[2]。

目前，“自動控制原理”課程存在將其當做一門數(shù)學課程來講的誤區(qū)。教師注重理論推導以及講解如何求解各種類型題目，這導致學生理解概念困難，難以把該課程與后續(xù)的專業(yè)課程相聯(lián)系，出現(xiàn)理論和實踐嚴重脫節(jié)的問題。

例如：現(xiàn)有的教材在控制系統(tǒng)數(shù)學模型一節(jié)中，對傳遞函數(shù)進行了詳細的推導和闡述，讓學生建立起模型的概念。但是對非線性微分方程線性化這一知識點卻寫得很簡單，只給出一般的概念和推導，導致問題分析不深入，與實際應用有較大差距。

實際上，工程中大部分系統(tǒng)都是具有非線性的，而非線性微分方程線性化是簡化模型的一項關(guān)鍵技術(shù)，有著明確的應用背景，后續(xù)的電類專業(yè)課程中都有相關(guān)的內(nèi)容涉及。從目前講課效果來看，學生對這部分內(nèi)容理解不深入，無法將系統(tǒng)分析理論與實際工程對象聯(lián)系起來，造成解決復雜工程問題的能力較弱。

針對上述情況，結(jié)合我院電氣工程專業(yè)和自動化專業(yè)的具體情況，對這部分教學內(nèi)容進行改進，在原有的一般理論推導過程中，分別針對電氣工程專業(yè)和自動化專業(yè)增加了風力發(fā)電的小擾動線性化建模和飛行器的小擾動線性化動力學建模兩個知識點，讓學生對該部分教學內(nèi)容理解和應用有了更加深入的認識，從而取得了良好的課堂效果。

1 風力發(fā)電的小擾動線性化建模

風力發(fā)電是電氣工程領(lǐng)域中的新興技術(shù)，是把風能轉(zhuǎn)換成機械能，再把機械能轉(zhuǎn)化為電能的過程。

風力發(fā)電具有明顯的隨機性、波動性、間歇性等特點，大規(guī)模風電場接入電網(wǎng)，會改變電力系統(tǒng)原有的結(jié)構(gòu)和運轉(zhuǎn)方式，勢必會給電力系統(tǒng)的小擾動穩(wěn)定性造成一定影響，這是一個非線性問題。因此，需要研究風力發(fā)電的小擾動線性化數(shù)學模型。我們根據(jù)專業(yè)特色將任課教師的“含大規(guī)模風電場的電力系統(tǒng)分析”科研成果移植到這部分教學中[3]。通過這種根據(jù)實際應用的需求將風力發(fā)電專業(yè)的背景闡述出來的教學方式，極大增強了學生學習“自動控制原理”的興趣。

我們在授課中遵循“基礎性知識→專業(yè)性綜合知識→系統(tǒng)性創(chuàng)新知識”的多層次培養(yǎng)原則，通過多媒體課件PPT和板書結(jié)合的方法多角度展現(xiàn)這一知識點的不同層面內(nèi)涵。在闡述應用背景之后，風電機組的電力系統(tǒng)機電暫態(tài)特性的分析便可以描述為微分—代數(shù)方程組。其中用非線性一階常微分方程來表述元件的動態(tài)特性，用非線性代數(shù)方程(組)表示傳輸網(wǎng)絡的準穩(wěn)態(tài)行為，其表達式如下：

(1)

式中，x為方程組中系統(tǒng)狀態(tài)變量,u為輸入向量，y為輸出控制向量。將式(1)在穩(wěn)態(tài)運行點(x0,u0)線性化可得：

(2)

式中：

Δx是n維狀態(tài)向量；Δu是r維輸入向量；Δy是m維輸出向量；A是n×n狀態(tài)矩陣；B是n×r控制矩陣；C是m×n輸出矩陣；D是m×r前饋矩陣。這樣，在講述非線性系統(tǒng)概念時便有了明確的物理對象，即電力系統(tǒng)的暫態(tài)動態(tài)行為是非線性的。在講述公式(2)的含義和推導過程中，很自然地與傳統(tǒng)教材中的非線性微分方程線性化的知識點相對應，即

Δy=xKΔx

(3)

公式(2)是公式(3)的維數(shù)推廣矩陣，系統(tǒng)工作點的概念與電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行點(x0,u0)相對應，這樣原有的抽象空洞的概念有了明確對象，理解便容易，并且這種方式講述把專業(yè)的知識串聯(lián)起來，系統(tǒng)性很強，還原了“自動控制原理”課程的本色。

在此基礎上，設此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平衡點(x0,u0)不是網(wǎng)絡方程的奇點，對式(2)進行Laplace變換之后可得

(4)

對式(4)化簡之后可得Δx在頻域范圍內(nèi)的表達式：

Δx(s)=(sI-A)-1[Δx(0)+BΔu(s)]

(5)

通過上述講述，學生初步建立了電力控制系統(tǒng)的數(shù)學概念，加深了其與實際對象的聯(lián)系，在后續(xù)的專業(yè)課中會自然而然地聯(lián)系到“自動控制原理”的知識點，鞏固了相應的建?；A。

2 飛行器小擾動的線性化動力學建模

對于自動化專業(yè)的學生，四軸旋翼飛行器是大學生創(chuàng)新比賽的常見對象之一。通過四軸旋翼飛行器的小擾動線性化建模，可以明顯提高學生學習“自動控制原理”的熱情，理解控制的本質(zhì)。

四軸旋翼飛行器在空間的運動可以描述為一組非線性微分方程組，代表了飛行器空間運動的物理本質(zhì)，主要包括運動學和動力學兩部分模型，其中運動學方程為

(6)

式中α、β、γ三者分別是橫滾角、俯仰角、偏航角；p、q、r是ω在機載坐標系中X軸、Y軸、Z軸上的分量。其中動力學方程為

(7)

式中Mz、My、Mz是機體上力矩M在機載坐標軸上的分量，Ix、Iy、Iz是慣量I在機載坐標軸的分量。針對公式(6～7)通過課堂討論方式，能詳細了解四軸旋翼飛行器的俯仰、偏航、滾動通道存在的非線性耦合、慣性耦合、控制耦合等概念，與前面講過的線性疊加定理相對應。由此,學生明確建立了非線性系統(tǒng)概念，與原來簡單空洞地闡述非線性系統(tǒng)f=f(x)概念有著本質(zhì)的區(qū)別。

在非線性概念的基礎上，假設飛行器運動參數(shù)與在同一時間內(nèi)未擾動參數(shù)數(shù)值間的差異很小，對飛行器非線性模型在平衡點處實施小擾動，然后將非線性模型展開為Taylor級數(shù)，忽略高次項，得到近似的線性模型，即

(8)

我們在課堂上分析航空航天中的這種小擾動動力學建模是一種小偏差線性化方法，前提是假設輸入量和輸出量在靜態(tài)工作點附近作微小變化，這與“自動控制原理”的非線性微分方程線性化的理論適用場合完全對應，這樣將兩門課程有機地聯(lián)系起來，培養(yǎng)了學生分析問題的能力[4]。在此基礎上，用小擾動線性化方法處理式(6～7)，通過Matlab課堂教學軟件現(xiàn)場得到俯仰通道傳遞函數(shù)為

(9)

通過這樣有明確應用背景的闡述，使自動化專業(yè)學生初步建立飛行器非線性系統(tǒng)概念，以及如何線性化建模，為后續(xù)的PID控制律設計打下基礎。此后，可進一步分析闡述線性化模型的適用范圍。當飛行器姿態(tài)角與工作平衡點的范圍小于10°時，線性化誤差很小，因此工程上采用線性化小擾動模型作為常規(guī)飛行器的控制設計模型是合宜的。當與工作平衡點的范圍大于10°時，飛行器運動學方程中的Δe=sinα-α線性化誤差明顯加大(見圖1)，線性模型不能完全反映飛行器的動態(tài)特性，需要采用非線性模型，這也是當今高超聲速飛行器新的的制導和控制方向研究重點，從而進一步拓展學生的知識視野[5]。

圖1 飛行器姿態(tài)角線性化誤差變化圖

該教學改進已在我院的自動化專業(yè)2013級03班學生中進行試驗，并且在2015年學生評教中獲得我院的最高分，學生認為這種有明確應用背景的知識講解，把自動化專業(yè)的特色鮮明凸現(xiàn)出來，有利于提高設計復雜工程的能力。

3 結(jié)語

我們在“自動控制原理”非線性微分方程線性化的這一章節(jié)的教學改進中，對電氣工程專業(yè)的學生授課時，增加了大規(guī)模風電場的電力系統(tǒng)小擾動線性化建模實例；對自動化專業(yè)學生的授課時，增加了四軸旋翼飛行器的小擾動線性化建模實例，使得線性化建模知識點與工程實踐有機結(jié)合起來，有效提高學生解決復雜工程問題的能力。