申景金 郭家楨 MASOUD Kalantari

(1.南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院， 南京 210023； 2.國(guó)民油井華高公司高新技術(shù)部， 卡爾加里 T2P 3G3)

0 引言

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差是指由零件加工誤差、裝配誤差等造成的機(jī)器人關(guān)節(jié)實(shí)際軸線方位和名義方位之間的差異。根據(jù)誤差辨識(shí)方式的不同，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)可分為開(kāi)環(huán)辨識(shí)法、閉環(huán)辨識(shí)法和關(guān)節(jié)軸直接測(cè)定法[1-4]。其中，開(kāi)環(huán)辨識(shí)法基于誤差模型，以多個(gè)位形下機(jī)器人末端位姿誤差為目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)機(jī)器人參數(shù)辨識(shí)。在辨識(shí)過(guò)程中，若直接利用末端的絕對(duì)位置誤差和角度誤差，會(huì)涉及位姿誤差在測(cè)量坐標(biāo)系和機(jī)器人基坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，降低了參數(shù)辨識(shí)的精度[5]。為避免坐標(biāo)系之間的變換，可采用具有坐標(biāo)系不變性的距離誤差。文獻(xiàn)[6-9]分別把距離誤差引入到DH模型、MDH模型、DH/MDH模型、加法型指數(shù)積模型，對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)。為實(shí)現(xiàn)有效辨識(shí)，辨識(shí)參數(shù)須滿足完備性、比例性和連續(xù)性原則[10-11]。但是，對(duì)于距離誤差辨識(shí)方法，辨識(shí)參數(shù)冗余性方面的研究還相對(duì)匱乏[12-14]。

本文利用關(guān)節(jié)旋量的空間幾何特性，建立機(jī)器人的伴隨變換型距離誤差模型，使得辨識(shí)后的關(guān)節(jié)旋量自動(dòng)滿足物理約束條件。在此基礎(chǔ)上，基于辨識(shí)雅可比矩陣的零空間，分析不同距離誤差測(cè)量方式下可辨識(shí)參數(shù)的冗余性。最后，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)距離誤差模型的有效性和參數(shù)冗余性分析的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 伴隨變換型誤差模型

1.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

對(duì)于n自由度串聯(lián)機(jī)器人，令i和θi分別為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)i的運(yùn)動(dòng)旋量和轉(zhuǎn)動(dòng)角度，則有

(1)

其中

vi=qiwi

式中O1×3——1行3列零矩陣

vi——關(guān)節(jié)量矩

qi——關(guān)節(jié)軸線上任一點(diǎn)坐標(biāo)

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，wi和vi須滿足物理約束條件

(2)

基于指數(shù)積形式機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型表示為

gst=ee…egst0

(3)

(4)

式中R——末端坐標(biāo)系相對(duì)于基坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)矩陣

θi——轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)i的轉(zhuǎn)動(dòng)角度

p——末端坐標(biāo)系原點(diǎn)在基坐標(biāo)系的坐標(biāo)

gst、gst0——當(dāng)前位形和初始位形下機(jī)器人末端相對(duì)于其基坐標(biāo)系的位姿矩陣

1.2 關(guān)節(jié)旋量的誤差補(bǔ)償

(5)

(6)

式中 Δξ——關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)旋量實(shí)際值和名義值差值

Ade——旋量對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣(圖1)與加法方法相比，伴隨變換方法通過(guò)剛體變換把和聯(lián)系起來(lái)，不僅具有明確的物理意義，而且保證旋量自動(dòng)滿足式(2)[15]。此時(shí)，對(duì)關(guān)節(jié)旋量的補(bǔ)償即為確定旋量

圖1 關(guān)節(jié)旋量的伴隨變換誤差補(bǔ)償Fig.1 Error compensation of joint screw using adjoint transform

由旋量理論可知：η∈se(3)，se(3)為特殊歐氏群SE(3)的李代數(shù)。由于se(3)部分旋量元素構(gòu)成的子空間N(ξn)對(duì)伴隨變換補(bǔ)償無(wú)效，為剔除誤差模型中的冗余參數(shù)，令η可取得有效子空間為Σ(ξn)，則有

N(ξn)⊕Σ(ξn)=se(3)

(7)

(8)

(9)

其中

式中qn——關(guān)節(jié)軸線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)

η=BK

(10)

其中

確定K中的4個(gè)系數(shù)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)關(guān)節(jié)旋量的補(bǔ)償。

1.3 線性誤差模型

為得到線性誤差模型，對(duì)式(3)線性化可得

(11)

(12)

((δe)e)∨=

(13)

其中

(14)

sai=sinaicai=cosaiai=‖wηi‖

(15)

把式(15)代入式(11)，同時(shí)對(duì)等號(hào)右側(cè)的末端初始位姿項(xiàng)進(jìn)行與關(guān)節(jié)旋量相同的分析，可得機(jī)器人線性誤差模型

(16)

其中δηi=BiKiδηst=BstKst

由于關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度誤差δθi可用關(guān)節(jié)旋量誤差表達(dá)，因此δθi和δηi不能同時(shí)通過(guò)式(16)進(jìn)行辨識(shí)[17]。后續(xù)的分析中，把δθi誤差歸結(jié)于δηi的誤差中。為方便表達(dá)，把式(16)寫成

(17)

其中Qi=Adi-1-AdiQs=Adn

機(jī)器人末端點(diǎn)位置的誤差dq可表達(dá)為

(18)

2 距離誤差模型和參數(shù)冗余性分析

2.1 距離誤差模型

距離誤差表示機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中末端點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)距離與名義距離之間的偏差。對(duì)任意兩個(gè)位形，末端點(diǎn)的距離誤差δl與其位置誤差之間存在如下關(guān)系[18]

(19)

把式(19)代入式(18)，dq2-dq1可具體表達(dá)為

其中

(20)

(21)

若r為機(jī)器人轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的個(gè)數(shù)，通過(guò)對(duì)雅可比矩陣奇異性的分析，文獻(xiàn)[19]已確定位姿誤差模型式(17)可辨識(shí)4r+6個(gè)參數(shù)，位置誤差模型式(18)可辨識(shí)4r+3個(gè)參數(shù)。本文將確定采用距離誤差時(shí)可辨識(shí)參數(shù)的數(shù)目。

2.2 可辨識(shí)參數(shù)冗余性分析

可辨識(shí)參數(shù)的冗余性是指辨識(shí)參數(shù)之間存在線性相關(guān)性，使得辨識(shí)雅可比矩陣奇異，降低參數(shù)辨識(shí)的精度。為避免該問(wèn)題，可通過(guò)參數(shù)的冗余性分析，在誤差模型中預(yù)先剔除線性相關(guān)的參數(shù)。

(1)初始位置參數(shù)Kst的可辨識(shí)性

由式(17)可得

(22)

顯然

此時(shí)，初始位置參數(shù)的雅可比矩陣為關(guān)節(jié)旋量雅可比矩陣的線性組合。因此，在距離誤差模型中，Kst不可與關(guān)節(jié)旋量同時(shí)辨識(shí)。

(2)關(guān)節(jié)旋量參數(shù)Ki的可辨識(shí)性

為分析Ki可辨識(shí)性，考慮3種不同的距離誤差測(cè)量方式。

①采用繞對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)軸線旋轉(zhuǎn)的末端距離誤差測(cè)量方式，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到如下位形

(23)

此時(shí)，式(21)中雅可比矩陣的元素為

(24)

根據(jù)1.2節(jié)所述，無(wú)效子空間N(ξn)的基向量可作為待求零空間的兩個(gè)基向量。為確定其余3個(gè)基向量，考慮式(10)中B的張成基，可以看到零空間的基矢量ζ為

(25)

(26)

式(25)可簡(jiǎn)化為

(27)

顯然地，零空間的兩個(gè)基向量可選擇為

(28)

②為辨識(shí)與λ1和λ2相關(guān)的參數(shù)，對(duì)i≥2關(guān)節(jié)，考慮第2種測(cè)量方式，即相對(duì)于初始位形測(cè)量距離誤差

(29)

式(21)中的雅可比矩陣有

(30)

為分析{λ1,λ2}是否位于該種測(cè)量的零空間，首先對(duì)λ1進(jìn)行分析。

(31)

(32)

其中

(33)

③為辨識(shí)與κ相關(guān)的參數(shù)，考慮第3種測(cè)量方式，即

(34)

(35)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所建立的距離誤差模型的有效性和辨識(shí)參數(shù)冗余性分析的正確性，利用三維掃描儀和5自由度KUKA youBot機(jī)器人搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)(圖2)。通過(guò)點(diǎn)云處理和數(shù)據(jù)分析后，掃描儀的對(duì)齊誤差精度小于0.02 mm，遠(yuǎn)高于KUKA youBot運(yùn)動(dòng)精度，滿足機(jī)器人標(biāo)定的要求。另外，通過(guò)誤差統(tǒng)計(jì)分析，確定了忽略高階誤差項(xiàng)的線性模型可實(shí)現(xiàn)對(duì)KUKA youBot機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的有效辨識(shí)[21]。

圖2 機(jī)器人標(biāo)定實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.2 Experiment platform of robot calibration1.KUKA youBot機(jī)器人 2.天遠(yuǎn)三維掃描儀 3.控制器 4.計(jì)算機(jī)點(diǎn)云處理及配套軟件

為驗(yàn)證辨識(shí)參數(shù)冗余性分析的正確性，分別采用第1種測(cè)量方式和第2種測(cè)量方式生成20個(gè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)位形。在第1種測(cè)量方式的每次測(cè)量過(guò)程中，只有一個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，其余關(guān)節(jié)為鎖定狀態(tài)。在隨機(jī)生成驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)于參考位形和驅(qū)動(dòng)位形的角度后，通過(guò)測(cè)量機(jī)器人末端從參考位形運(yùn)動(dòng)到驅(qū)動(dòng)位形的相對(duì)位移，來(lái)完成一次測(cè)量。從基關(guān)節(jié)開(kāi)始，全部關(guān)節(jié)依次被設(shè)定為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)。對(duì)每一個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，分別測(cè)量4組不同位形下的機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)位移。在第2種測(cè)量方式的每次測(cè)量過(guò)程中，兩個(gè)相鄰的關(guān)節(jié)為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，其余關(guān)節(jié)為鎖定狀態(tài)。與第1種測(cè)量方式的參考位形可變不同，第2種測(cè)量方式的參考位形保持為機(jī)器人的初始位形。對(duì)4組不同的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，分別測(cè)量5組不同位形下的末端位移。將測(cè)量數(shù)據(jù)和不同位形的關(guān)節(jié)角代入式(21)，即可確定機(jī)器人的距離誤差模型。通過(guò)對(duì)誤差模型中雅可比矩陣的特征值分析，發(fā)現(xiàn)在2種測(cè)量方式下，雅可比矩陣的秩分別為10和14，這與冗余性分析結(jié)果相一致。

在實(shí)際辨識(shí)時(shí)，為得到較好的辨識(shí)效果，一般隨機(jī)產(chǎn)生大量的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)位形，從中選擇所構(gòu)成的雅可比矩陣中特征值較大的行所對(duì)應(yīng)的位形，作為辨識(shí)位形。本文實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，在隨機(jī)生成的100個(gè)不同運(yùn)動(dòng)位形中，選擇了32個(gè)特征值較大的位形用于機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)。此時(shí)，把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式(19)，通過(guò)辨識(shí)雅可比矩陣的奇異值分解，發(fā)現(xiàn)可辨識(shí)參數(shù)的個(gè)數(shù)為18，驗(yàn)證了距離誤差模型所辨識(shí)參數(shù)最多為4r-2。

基于距離誤差模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用最小二乘法對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行迭代求解。圖3給出了測(cè)量位形上距離誤差最大值、平均值和迭代步數(shù)之間的關(guān)系。經(jīng)過(guò)3次迭代之后，機(jī)器人參數(shù)收斂到穩(wěn)定值(表1)。圖4給出了3次迭代過(guò)程中，32個(gè)測(cè)量位形上的距離誤差的變化曲線。所測(cè)量位形的距離誤差最大值由6.226 mm降低到0.718 8 mm，精度提高了8.7倍，距離誤差平均值從2.978 mm降低到0.257 6 mm，精度提高了11.6倍。

圖3 距離誤差與迭代次數(shù)之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between distance errors and iterations

表1 關(guān)節(jié)旋量的名義值ξn和辨識(shí)值ξaTab.1 Nominal value ξn and identified value ξa of joint screws

圖4 不同位形上的距離誤差變化Fig.4 Variations of distance errors with respect to different configurations

4 結(jié)論

(1)為實(shí)現(xiàn)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)，建立了基于關(guān)節(jié)旋量伴隨變換的距離誤差模型，提出了一種誤差測(cè)量策略，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型的有效性。

(2)確定了距離誤差模型的可辨識(shí)測(cè)量方式之間的關(guān)系，可辨識(shí)參數(shù)的最大數(shù)目為 4r-2；繞對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的測(cè)量方式為2r；相對(duì)于初始位形的參數(shù)與誤差測(cè)量方式為 3r-1。

(3)所采用的辨識(shí)雅可比矩陣零空間分析方法，可為其他誤差模型中參數(shù)相關(guān)性分析提供參考。